课时12_第二十六章 二次函数 章末复习与检测 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学二次函数章末同步练，以7:2:1难度配比分层，通过基础概念辨析、中等综合应用到拔高动态探究，构建从单一到综合的知识巩固路径，适配新授课后分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数概念、顶点坐标、对称轴、平移规律|直接考查定义与性质，如选择题1-5辨析概念，解答题16-18巩固解析式求解与实际应用，培养抽象能力与运算能力| |中等|解析式确定、函数与方程关系、面积计算|结合交点坐标与图像性质，如选择题6-9分析参数符号，填空题14-15综合方程思想，提升推理意识| |拔高|综合结论判断、动态线段最值|多结论辨析与动态探究，如选择题10判断图像性质，解答题20求PD最大值，发展创新意识与模型观念|

课时训练 12　第二十六章 二次函数 章末复习与检测 （满分 100 分　建议用时 25 分钟　难度配比：基础 70 分／中等 20 分／拔高 10 分） 姓名______________　　班级______________　　学号______________　　得分______________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.（基础） 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 2.（基础） 抛物线 的顶点坐标是（　　） A. (3,1)　　B. (-3,1)　　C. (3,-1)　　D. (-3,-1) 3.（基础） 抛物线 的对称轴是（　　） A. 直线 　　B. 直线 　　C. 直线 　　D. 直线 4.（基础） 对于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上，有最小值　　B. 开口向上，有最大值 C. 开口向下，有最大值　　D. 开口向下，有最小值 5.（基础） 把抛物线 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6.（中等） 已知抛物线 经过点 (-1,0)、(3,0)、(0,-3)，则下列结论正确的是（　　） A. a<0　　B. b<0　　C. c>0　　D. a+b+c>0 7.（中等） 抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则 的面积为（　　） A. 3　　B. 4　　C. 6　　D. 12 8.（中等） 已知二次函数 的图象过点 A(1,0)、B(3,0)，且与 y 轴交于点 C(0,3)，则 a、b、c 的值分别为（　　） A. 1，-4，3　　B. 1，4，3　　C. -1，-4，3　　D. 1，-4，-3 9.（中等） 已知点 、、 在抛物线 上，则 、、 的大小关系是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 10.（拔高） 二次函数 的图象开口向下，与 x 轴交于 (-1,0) 和 (3,0)，给出下列结论：① b>0；② a+b+c>0；③ 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小；④ 方程 的两根为 -1 和 3。其中正确的个数是（　　） A. 1 个　　B. 2 个　　C. 3 个　　D. 4 个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11.（基础） 抛物线 的顶点坐标是 ________，对称轴是 ________。 12.（基础） 把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为 ______________。 13.（基础） 若二次函数 的函数值 y<0，则 x 的取值范围是 ________。 14.（中等） 抛物线 与直线 的交点坐标为 ______________。 15.（中等） 已知抛物线 与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0)，与 y 轴交于点 C，且 的面积为 6，则该抛物线的解析式为 ______________。 三、解答题（共5小题，共50分） 16.（基础·10分） 已知二次函数的图象经过点 (0,3)、(1,0)、(-1,8)。 （1）求这个二次函数的解析式；（6分） （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。（4分） 17.（基础·10分） 已知抛物线 。 （1）求它与 x 轴的交点坐标；（4分） （2）当 x 取何值时，y>0？（3分） （3）求它与直线 的交点坐标。（3分） 18.（基础·10分） 某商店将进价为每件 30 元的商品按每件 40 元销售，每天可售出 60 件。经调查，售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 2 件。设每件商品涨价 x 元，每天的销售利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（4分） （2）每件商品涨价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（6分） 19.（中等·11分） 已知抛物线 与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求这条抛物线的解析式；（4分） （2）求点 C 和顶点 D 的坐标；（4分） （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形面积为 12？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。（3分） 20.（拔高·9分） 抛物线 与 x 轴交于 A(-1,0)、B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是抛物线在第一象限上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 BC 于点 D。 （1）求抛物线和直线 BC 的解析式；（5分） （2）求线段 PD 长度的最大值。（4分） 课时训练 12　参考答案与解析 第二十六章 二次函数 章末复习与检测 一、选择题 1. B　【解析】二次项系数不为 0 且最高次数为 2；D 未说明 ，不一定是二次函数。 2. A　【解析】顶点式 的顶点为 (h,k)，故为 (3,1)。 3. A　【解析】对称轴 。 4. C　【解析】，开口向下；配方得 ，有最大值 -2。 5. B　【解析】左加右减、上加下减，故为 。 6. B　【解析】由交点式得 ，故 ，，，，只有 B 正确。 7. C　【解析】由 得 或 ，故 A(-1,0)、B(3,0)，；C(0,-3)，C 到 x 轴的距离为 3，。 8. A　【解析】设 ，把 (0,3) 代入得 ，，故 ，即 ，，。 9. B　【解析】对称轴 ，开口向下，点离对称轴越远函数值越小。，，，故 。（也可直接计算：，，） 10. C　【解析】由交点式 ，其中 a<0。① ，正确；② a+b+c 即 时的函数值 ，正确；③ 对称轴 ，开口向下，当 x<1 时 y 随 x 增大而增大，错误；④ 正确。故有 3 个正确。 二、填空题 11. (2,-3)；直线 　【解析】，代入得 。 12. 　【解析】向左平移 1 个单位得 ，再向下平移 3 个单位得 。 13. -1<x<3　【解析】由 得 (x-3)(x+1)<0，解得 -1<x<3。 14. (-1,0) 和 (4,5)　【解析】联立得 ，即 ，解得 或 ，对应 或 。 15. 或 　【解析】，由 得 。设 ，则 ，故 或 ，对应解析式分别为 与 。 三、解答题 16.（10分） （1）设二次函数的解析式为 。（1分） 把 (0,3) 代入得 。（1分） 把 (1,0) 代入得 a+b+3=0，即 。（1分） 把 (-1,8) 代入得 a-b+3=8，即 。（1分） 两式相加得 ，，故 。（1分） 所以解析式为 。（1分） （2）因为 ，所以开口向上。（1分） 对称轴 。（1分） 当 时 ，顶点坐标为 (2,-1)。（2分） 17.（10分） （1）令 ，得 ，即 ，（2分） 解得 或 。（1分） 所以与 x 轴的交点坐标为 (1,0)、(3,0)。（1分） （2）抛物线开口向下，与 x 轴交于 (1,0)、(3,0)， 所以当 1<x<3 时 y>0。（3分） （3）令 ，得 ，即 ，（1分） 解得 。（1分） 所以交点坐标为 (2,1)。（1分） 18.（10分） （1）。（4分） （2）对称轴 。（2分） 当 时 。（3分） 答：每件涨价 10 元（即每件 50 元）时利润最大，最大利润为 800 元。（1分） 19.（11分） （1）由交点式得 。（4分） （2）令 得 ，所以 C(0,-3)。（2分） 对称轴 ，（1分）当 时 ，所以 D(1,-4)。（1分） （3）存在。（1分） 设点 P 的坐标为 (1,m)，则 。（1分） 由 得 ，即 或 。（1分） 所以点 P 的坐标为 (1,6) 或 (1,-6)。 20.（9分） （1）由交点式得 。（3分） 令 得 ，所以 C(0,3)。 设直线 BC 的解析式为 ，把 B(3,0)、C(0,3) 代入 得 ，，解得 。（1分） 所以直线 BC 的解析式为 。（1分） （2）设点 P 的横坐标为 t（0<t<3）， 则 ，D(t,-t+3)。（1分） 。（1分） 对称轴 。（1分） 当 时 。（1分） 所以线段 PD 的最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $