31.1图形的相似 课件 2026-2027学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件围绕“图形的相似”展开，涵盖相似图形概念、比例线段、相似多边形定义与性质等核心知识点。通过“想一想”情境（图形放大缩小）及哈哈镜、放大镜问题导入，引导学生观察形状关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接比例线段到相似多边形的知识脉络。 其亮点在于以情境探究（如哈哈镜对比）培养数学眼光，通过问题链（相似多边形对应角边关系）发展推理意识，结合典例（地图比例尺、矩形折叠）强化模型意识。采用“情境-探究-归纳-应用”教学法，帮助学生直观理解概念，提升解题能力，教师可借助分层练习（举一反三、当堂检测）优化教学效果。

人教版数学九年级下册30.1图形的相似专项练习 ## 核心知识点梳理 图形的相似是初中几何的核心内容，也是后续相似三角形学习的基础。其核心定义为：形状相同、大小不同的图形叫做相似图形，两个图形相似需同时满足两个条件，一是对应角相等，二是对应边成比例，二者缺一不可。相似图形的大小可以相同，此时全等图形是相似图形的特殊情况（相似比为1）。 相似多边形具备两大核心性质：对应角相等，对应边的比值相等，这个比值即为相似比。解题常用结论：所有正方形、正三角形等边数相同的正多边形一定相似；任意两个圆相似；而普通矩形、菱形、等腰三角形不一定相似，因无法同时满足边角双重条件。 ## 易错点专项点拨 1. 误区：对应角相等的多边形一定相似。纠错：仅角相等无法判定相似，如长宽不同的矩形，四角均为直角但对应边不成比例，不相似。 2. 误区：对应边成比例的多边形一定相似。纠错：仅边成比例无法判定相似，如内角不同的菱形，边长比例一致但角度不同，不相似。 3. 误区：相似图形大小一定不同。纠错：全等图形是相似图形的特殊形式，相似比为1，大小、形状均相同。 ## 分层专项练习题（含解析） ### 一、基础选择题（每题5分，共30分） 1. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个等腰梯形 C. 两个正方形 D. 两个等腰三角形 解析：选C。正方形四角均为90°，四边相等，任意两个正方形对应角相等、对应边成比例，必然相似；其余选项图形形状不固定，无法保证相似。 2. 若两个相似多边形的相似比为2:3，则它们对应边的比值为（ ） A. 3:2 B. 2:3 C. 4:9 D. 9:4 解析：选B。相似多边形对应边的比值等于相似比，直接可得比值为2:3。 3. 下列说法正确的是（ ） A. 任意两个圆形一定相似 B. 形状相同的图形一定全等 C. 对应边成比例的四边形一定相似 D. 相似图形一定是全等图形 解析：选A。所有圆的形状完全相同，一定相似；形状相同大小不同的图形不是全等图形，B、D错误；四边形相似需同时满足边角条件，C错误。 ### 二、基础填空题（每题6分，共30分） 4. 相似图形的两大判定条件是________、________。 答案：对应角相等、对应边成比例。 5. 全等图形的相似比为________。 答案：1:1。全等图形对应边相等，比值为1。 6. 一个矩形长6cm、宽4cm，与它相似的矩形长12cm，则宽为________cm。 解析：设宽为x，由对应边成比例得6/12=4/x，解得x=8，答案：8。 ### 三、解答题（每题20分，共40分） 7. 判断命题正误并说明理由：（1）所有正五边形都相似；（2）有一个角相等的两个菱形相似。 解答：（1）正确。正五边形各内角相等、各边相等，任意两个正五边形对应角相等、对应边成比例，满足相似条件。（2）正确。菱形四边相等，若一组对应角相等，则其余角对应相等，对应边必然成比例，图形相似。 8. 已知四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，相似比为1:2，若四边形ABCD的边长分别为3、4、5、6，求四边形A'B'C'D'的各边长。 解答：相似多边形对应边成比例，相似比1:2，即新图形边长为原图形的2倍。计算得各边长依次为6、8、10、12。 ## 专项总结 本节课解题核心是牢牢抓住“边角双重条件”，判定图形相似不可单一依靠角或边。做题时优先判断图形类型，正多边形、圆形等规则图形可直接判定相似，不规则多边形必须验证对应角和对应边。熟练掌握相似比的计算，是后续求解相似图形边长、周长、面积问题的基础，需重点巩固基础题型，规避概念误区。 人教版（新教材）数学九年级下册 31.1图形的相似 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/16 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三十一章 相似 我们刚才所见到的图形有什么联系？ 【想一想】 其中一个图形可以看作是另一个图形放大或者缩小得到的. 情境导入 1. 图形的放大： 相似图形之间的关系： 情境导入 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 2. 图形的缩小： 归纳： 情境导入 你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？ 思考： 探究新知 放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ 练一练 放大镜下的角与原图 形中角是什么关系? 探究新知 比例线段 对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如 （即 ad = bc），我们就说这四条线段成比例. 探究新知 例 1 下列长度对应的四条线段中成比例的是（ ） 典例精析 A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm C. 5 cm，10 cm，15 cm，20 cm D. 5 cm，10 cm，15 cm，30 cm D 探究新知 返回 1．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(　　) A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 D 举一反三 9 返回 2．[2025无锡滨湖区期中]下列长度的四组线段中，是成比例线段的是(　　) A．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm B．4 cm，6 cm，3 cm，5 cm C．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm D．3 cm，4 cm，2 cm，5 cm A 举一反三 10 返回 B 举一反三 11 相似多边形与相似比 A1 B1 C1 D1 E1 F1 A B C D E F 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到幕布上的. 观察与思考 探究新知 问题1 这两个多边形相似吗？ 问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 问题3 在这两个多边形中，对应内角的两边是否成比例？ A1 B1 C1 D1 E1 F1 A B C D E F 探究新知 边数相同，且各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫做相似比. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ◑相似比： ◑相似多边形的性质： ◑相似多边形的定义： 归纳： 探究新知 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ a1 a2 a3 an … 分析：已知等边三角形的每个角都为 60°， 三边都相等. 所以满足边数相同，对应角相等，以及对应边的比相等，即任意两个等边三角形相似. 议一议 探究新知 同理，任意两个正方形也相似. 归纳：边数相同的正多边形都相似. … a1 a2 a3 an 探究新知 思考： 任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？ 探究新知 解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴ 它们的对应角相等． 例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x. 典例精析 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形ABCD中，∠β＝360°－ (78°＋83°＋118°)＝81°. 由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°. ∵ 两个四边形相似， ∴它们的对应边成比例. 探究新知 由此可得 解得 x ＝ 28. ，即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 探究新知 1. 下列图形中能够确定相似的是[多选] ( ) A. 两个半径不相等的圆 B. 所有的等边三角形 C. 所有的等腰三角形 D. 所有的正方形 E. 所有的等腰梯形 F. 所有的正六边形 ABDF 2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5 cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( ) A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m D 当堂检测 3. 如图所示的两个四边形是否相似？ 答案：不相似. 当堂检测 21 4. 填空： (1) 如图①是两个相似的四边 形，则 x = ，y = ， α = ； (2) 如图②是两个相似的矩形， x = . ╰ 65° ╯ 80° α ╭ 6 125° ╯ 80° ╮ 3 x y 图① 3 5 30 20 15 x 图② 2.5 1.5 90° 22.5 当堂检测 5. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1． (1) 求 BC 的长； A B C D E F 解：由折叠知 E 是 AD 的中点， ∴ . 又∵ 矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1， ∴ . ∴ AB2 = AE·BC， 即 . 解得 当堂检测 (2) 求矩形 EABF 与矩形 ABCD 的相似比. 解：矩形 EABF 与矩形 ABCD 的 相似比为 A B C D E F 当堂检测 返回 举一反三 25 5．某校设有三个校区，杨老师欲从槐北路校区步行去槐安路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间的实际路程为1．2 km，当地图上比例尺由1: 1 000变为1: 500时，地图上两个校区的路程增加了________ cm． 120 举一反三 26 返回 举一反三 返回 举一反三 28 7．如图，把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． 举一反三 29 举一反三 30 返回 (2)若原矩形的长AB＝a，宽BC＝b，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长a与宽b应满足的关系式． 举一反三 31 8．已知四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为(　　) C 举一反三 32 相似图形 形状相同的图形叫做相似图形 相似图形的大小不一定相同 相似多边形对应边的比叫做相似比 对应角相等，对应边成比例 图形的相似 相似多边形 课堂小结 谢谢观看 THANKS 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是(　　) A．a＝2 B．m＝2n C．x＝2 D．α＝60° 2 4．已知三个数1，2，，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是______．(只填一个) 【点拨】 1.2 km＝120 000 cm，当比例尺为1: 1 000时，图上距离为＝120(cm) ；当比例尺为1: 500时，图上距离为＝240(cm) ．∵240－120＝120(cm) ，∴所以地图上两个校区的路程增加了120 cm． (－1) 6．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“丶”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝，若NP＝2 cm，则 BC的长为_________ cm．(结果保留根号) 【解】不相似．理由如下： ∵原矩形ABCD的长AB＝6，宽BC＝4， ∴划分后小矩形的长为AD＝4，宽为AE＝6÷3＝2． ∵＝≠＝， ∴每个小矩形与原矩形不相似． 【解】∵原矩形的长AB＝a，宽BC＝b， ∴划分后小矩形的长为AD＝b，宽为AE＝． 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴＝，即＝，整理，得a2＝3b2． A．－1 B．－1 C．＋1 D．＋1 $