31.2.2三角形相似的判定（第1课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦三角形相似的判定，核心内容为“两角分别相等”“两边成比例且夹角相等”两个判定定理。课堂导入通过复习三角形全等的定义、性质及判定方法，类比引出相似三角形的研究思路，以旧知为支架引导学生从特殊到一般构建知识脉络。 其亮点在于以合作探究为核心，通过“画图验证—几何证明—符号表达”的学科特色流程培养推理能力，如探究2中先画图感知两角相等的三角形相似再严谨证明。典例分析结合黄金三角形、中考真题，渗透模型意识与应用意识，如例1利用等腰三角形性质证明相似并求解边长。小结采用结构化知识树，既提升学生逻辑推理与应用能力，也为教师提供清晰教学路径和丰富实例资源。

null 31.2.2 三角形相似的判定（第1课时） 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 一 掌握利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 全等三角形 复习引入 问题1 我们是如何研究三角形全等的判定的？ 两边一夹角(SAS) 两角一夹边(ASA) 两角一对边(AAS) 三边(SSS) 斜边直角边(HL) 判定 对应角相等 对应边相等 定义 性质 六个元素→三个元素 相似三角形 复习引入 问题2 全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，我们又该如何研究呢? ？ ？ ？ 判定 对应角相等 对应边成比例 定义 性质 六个元素→？个元素 一角相等 两边成比例 两角(三角)相等 两边成比例一角相等 三边成比例 合作探究 探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足一角相等或两边成比例，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? ∠B=∠E 不一定相似 BC:EF=AC:DF 合作探究 探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足两角分别相等，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? ∠B=∠E，∠C=∠F 直观上，两个三角形是相似的. 信息技术验证 合作探究 思考 结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似.你能证明这一结论吗？ 如图，在△ABC和△ A′B'C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 在A'B'上截取A'D=AB，在A'C'上截取A'E=AC，连接DE. 又∵∠A=∠A′， ∴△A′DE≌△ABC. ∴∠A′DE=∠B， ∵∠B=∠B'， ∴∠A′DE=∠B'， ∴DE∥B'C'， ∴△A'DE∽△ A'B'C'. ∴△ABC∽△ A'B'C'. 合作探究 △A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 符号语言 ∵∠A=∠A′，∠B=∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C′. 合作探究 三角形相似的判定定理 （1） 两角分别相等的两个三角形相似. 典例分析 例1 如图，△ABC是等腰三角形， AB=AC，∠A=36°，BC=1，BD平分∠ABC，且交AC于点D. (1) 求证：△BCD∽△ABC. (2) 求AC的长. 解：(1)∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C= = =72°. 又 BD平分∠ABC， ∴ ∠ABD=∠CBD=36° . ∵ ∠CBD=∠A，∠BCD=∠ABC， ∴ △BCD∽△ABC. 典例分析 解：(2)在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°， ∴ BD=BC=1. 又∠ABD=∠A，∴AD=BD=1. ∵△BCD∽△ABC， ∴CD:BC=BC:AB，即BC2=CD·AB. 设CD=x，可得1²=x(1+x)，即x²+x-1=0， 解得x1=，x2=(舍去)， ∴AC=. 典例分析 典例分析 黄 金 分 割 及其相关概念 顶角为36°的等腰三角形常称为黄金三角形，它 的底边与腰的比为，称为黄金分割数. 点D把AC分为AD，CD两段，CD与AD的比值为 ，点D称为黄金分割点. 合作探究 探究3 类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什 么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = ，∠A=∠A′. 求证：△ABC∽△A'B'C′. 两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似 猜想 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = ，又 = ，A′D=AB， ∴ = ， ∴A'E=AC. 又 ∠A=∠A′， ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 合作探究 △A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 符号语言 ∵ = ，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A'B'C′. 合作探究 三角形相似的判定定理 （2） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 合作探究 思考 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗? 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似 猜想 反例： △ABC和△ABD不全等 反例： △ABC和△AEF不相似 证明：∵AE·AB=AD·AC， ∴AE:AD=AC:AB， 又∵∠DAE=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC． 典例分析 例2 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC、AB上，且AE·AB=AD·AC，连接DE，求证：△ADE∽△ABC． 证明：(1)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC. 巩固练习 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 证明：(2)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠BDC=∠ACB=90°， 又∵∠CBD=∠ABC， ∴△CBD∽△ABC. 巩固练习 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 证明：∵△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC， ∴△ACD∽△CBD， ∴AD:CD=CD:BD， ∴CD2=AD·BD. 巩固练习 变式 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：CD2=AD·BD. 解：若B、C、D三点共线，A、C、E三点共线，则两个三角形相似. 理由如下： ∵BC:DC=45:30=3:2，AC:EC=54:36=3:2， ∴BC:DC=AC:EC， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴△ACB∽△ECD. 巩固练习 2.图中的两个三角形是否相似?为什么? 解：如图，△DEF即为所求. 画图的依据是： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 巩固练习 3.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，画出一个顶点都在格点上的△DEF，使△DEF∽△ABC，且△DEF 与△ABC的相似比为2.画图的依据是什么? 归纳总结 三角形相似的判定定理（1） 文字语言 的两个三角形相似. 符号语言 图形语言 两角分别相等 ∵∠A=∠A′，∠B=∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C′. ★黄金三角形 ★黄金分割数 ★黄金分割点 归纳总结 三角形相似的判定定理（2） 文字语言 的两个三角形相似. 符号语言 图形语言 两边成比例且夹角相等 ∵ = ，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A'B'C′. 感受中考 1.（2025年河北）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（     ） A．∠B+∠4=180° B．CD∥AB C．∠1=∠4 D．∠2=∠3 D 感受中考 2.（2023年黑龙江大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是________． △MCB 证明：∵BE=3，EC=6， ∴BC=9， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°， ∵AB:EC=9:6=3:2，BE:CF=3:2， ∴AB:EC=BE:CF 又∵∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF． 感受中考 3.（2024年广东广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF． 感受中考 4.（2026年山东烟台）如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题： (1)将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点 为点E，点C的对应点为点F，且点E在线 段AC上，请用尺规作出旋转后的图形(保 留作图痕迹，不写作法)； (2)在（1）的条件下，若AB=2 ，BC=4 ， EF与AD交于点G ，求FG的长． 解：（1）如图所示； 解：∵在矩形ABCD中， ∴∠ABC=∠D=90°， 由（1）知△AEF≌△ABC， ∴AE=AB=2，EF=CB=4，∠AEF=∠B=90°， ∵∠CAD=∠EAG，∠AEG=∠D ∴△AEG∽△ADC， ∴AE:AD=EG:CD， ∴2:4=EG:2， ∴EG=1， ∴FG=4−1=3． 感受中考 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 判定定理 两角分别相等 两边成比例且夹角相等 布置作业 必做题：习题31.2 第4(1)(2)，5，9题. 1 探究性作业：习题31.2 第13题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $