1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量的距离与夹角问题，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，构建从公式直接应用到几何体综合运算的知识路径，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|点线距离、线面距离等单一公式应用|选择题1-3直接套用距离公式，填空题12考查线面距离计算，夯实概念理解| |中档|结合正方体、三棱锥等几何体的距离与夹角问题|选择题4-6涉及线面角、面面距离，多选题9-10辨析空间位置关系，提升空间想象能力| |综合|含参数、动态探究及复杂几何体综合问题|选择题7-8、解答题15-16涉及存在性探究（如λ值求解），培养逻辑推理与应用意识|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知A(2，2，1)，B(3，2，0)，则点P(2，0，-1)到直线AB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 【答案】D 【解析】因为A(2，2，1)，B(3，2，0)，P(2，0，-1)，则=(1，0，-1)，=(0，-2，-2)， 所以点P到直线AB的距离 d===. 2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 【答案】A 【解析】 由正方体性质可知，A1A∥B1B，又A1A⊄平面B1D1DB，B1B⊂平面B1D1DB，所以A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求．由题意可得A1O1＝A1C1＝. 3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)， B(0，1，0)，C(0，0，1). 可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)， 则点P到平面ABC的距离为d==. 4.在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面DBC，且AB=BC=BD，∠CBA=∠CBD=60°，则直线BC与平面ABD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为AB=BC=BD，且∠CBA=∠CBD=60°，所以△ABC，△BCD均为正三角形，取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，因为平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC=BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面DBC，连接DO，则DO⊥CO，以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设AB=BC=BD=2，则A(0，0，)，B(0，-1，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)，设平面ABD的法向量为n=(x，y，z)，又=(0，-1，-)，=(，0，-)，则令x=1，得z=1，y=-，n=(1，-，1)，=(0，2，0). 设直线BC与平面ABD所成的角为θ，θ∈，则sin θ=|cos〈n，〉|===， 所以cos θ==. 5.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)， C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以=(1，0，-1)， =(0，1，-1)， =(-1，0，0)， 设平面A1C1D 的一个法向量为m=(x，y，1)， 则即解得 故m=(1，1，1)， 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d===. 6.设两条异面直线m，n的一个方向向量分别为a=(-1，1，0)，b=(0，-1，1)，则直线m与n所成的角为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为两条异面直线m，n的一个方向向量分别为a=(-1，1，0)，b=(0，-1，1)， cos〈a，b〉==-=-， 所以直线m与n所成角的余弦值为， 所以直线m与n所成的角为. 7.（2024-2025·内蒙古高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，为中点，所以. 又，，平面，所以平面. 以为原点，，的方向分别为，轴正方向，过作平行于的直线为轴， 如图所示建立空间直角坐标系. 已知， 可得，，，，. 则，因为，所以. ，，所以. 设平面的法向量，，. 由，令，得，，即. 点到平面的距离. 即，则. 当时，，（舍去，因为）. 当时，，. 答案是A选项. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设该正方体的棱长为1， 建立空间直角坐标系如图所示. 则D(0，0，0)，B(1，1，0)， B1(1，1，1)，所以=(0，0，1)， 平面ACD1的一个法向量为=(1，1，1). 设直线BB1与平面ACD1所成的角为θ，则sin θ=|cos〈，〉|===. 二、多选题（共3小题） 9.直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n，则直线l∥平面α B.若a∥n，则直线l⊥平面α C.若cos〈a，n〉=，则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos〈m，n〉=，则平面α，β夹角的大小为 【答案】BCD 【解析】 对于A，若a⊥n，则直线l∥平面α或直线l在平面α内，故选项A不正确； 对于B，若a∥n，则a也是平面α的一个法向量，所以直线l⊥平面α，故选项B正确； 对于C，若cos〈a，n〉=，则直线l与平面α所成角的正弦值为，所以直线l与平面α所成角的大小为，故选项C正确； 对于D，若cos〈m，n〉=，则平面α，β夹角的大小为，故选项D正确. 10.（2025-2026·甘肃兰州高二下期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（） A.若，则直线平面 B.若，则平面平面 C.若，则平面所成锐二面角的大小为 D.若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【解析】由得直线平面或，故A错误，由得平面平面，故B正确. 设平面所成锐二面角为，，由得，故平面所成锐二面角的大小为，C正确. 设直线与平面所成角为，，由得，故直线与平面所成角的大小为，D正确. 答案为BCD. 11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，高为h，记异面直线A1C与BC1所成的角为θ，则(　　) A.若a=h，则cos θ= B.若cos θ=，则a=h C.若a=h，则θ=90° D.若θ=60°，则h=a 【答案】ACD 【解析】 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，E，连接OE，OB， 则OE⊥平面ABC，OB⊥AC， 以O为坐标原点，OB，OC，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 对于A，当a=h时，A1，C，B，C1， 则=(0，a，-a)，=， 则cos〈，〉===-， 由于异面直线A1C与BC1所成的角θ∈， 故cos θ=，A正确； 对于B，A1，C， B，C1， 则=(0，a，-h)，=，由于cos θ=， 则|cos〈，〉|= ==， 解得a=h或a=h，B错误； 对于C，当a=h时，A1， C，B，C1， 则=(0，h，-h)，=， 则·=h2-h2=0，故⊥，则θ=90°，C正确； 对于D，若θ=60°，则cos θ=， 则A1，C，B， C1， 则=(0，a，-h)，=， 则|cos〈，〉| ===， 解得h=a或h=0(舍)，D正确. 三、填空题（共3小题） 12.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　　. 【答案】 【解析】 因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离， 又=(-1，-2，0)，n=(1，0，1)，则点A到平面α的距离d===. 13.已知AB是圆锥PO的底面直径，P为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，C是底面圆周上的一点，PC=AB=2，AC=，则平面APB与平面CPB夹角的余弦值为　　　　. 【答案】 【解析】 如图，以点O为坐标原点，OB，OP所在直线分别为y，z轴，过点O垂直于AB的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 点C为底面圆周上一点，则∠ACB=90°，又AC=，AB=PC=2，∴BC=1，PO=， ∴A(0，-1，0)，B(0，1，0)，P(0，0，)，C， 则=(0，1，-)，=， 设平面CPB的法向量为m=(x，y，z)， 则 即 令z=1，得x=1，y=，∴m=(1，，1)， 又易知平面APB的一个法向量为n=(1，0，0)， ∴|cos〈m，n〉|====， ∴平面APB与平面CPB夹角的余弦值为. 14.已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为                  ； 【答案】 【解析】由和，可得， 且， 所以点到平面的距离. 四、解答题（共2小题） 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (1)证明：A1C⊥平面ABC1； (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. (1)证明　∵AB=AC=2，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC. 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，AB⊂平面ABC， ∴AB⊥平面AA1C1C. ∵A1C⊂平面AA1C1C，∴AB⊥A1C， 又A1C⊥BC1，AB，BC1⊂平面ABC1，BC1∩AB=B，∴A1C⊥平面ABC1. (2)解∵A1C⊥平面ABC1，AC1⊂平面ABC1， ∴A1C⊥AC1，∴四边形AA1C1C为菱形， 取A1C1的中点E，连接AE，∵∠ACC1=60°， ∴△AA1C1为等边三角形. ∴AE⊥A1C1. 又AC∥A1C1，∴AE⊥AC. 又AB⊥平面AA1C1C，AE⊂平面AA1C1C， ∴AB⊥AE. 如图所示，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AE所在直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，-1，)，C1(0，1，)， ∴=(0，-1，)，=(-2，0，0)，=(-2，1，)，=(-2，2，0)， 又=λ， ∴=(0，-λ，λ)， ∴=+=(-2，-λ，λ)， 设n=(x，y，z)为平面BPC1的法向量， 则 令x=λ，则n=. 设d为点C到平面BPC1的距离， 则d===， ∴28λ2-16λ+1=0， 即λ=或λ=. 故存在λ=或λ=，满足题意. 16.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形. (1)求线段BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离. 【答案】(1)因为四边形AEC1F为平行四边形，所以=， 设DF=a，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1， 则B(2，4，0)，A(2，0，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，F(0，0，a)， 所以=(-2，0，a)，=(-2，0，2)， 所以(-2，0，a)=(-2，0，2)，则a=2， 所以F(0，0，2)，所以=(-2，-4，2). 所以||==2， 即线段BF的长为2. (2)由(1)得，C(0，4，0)，又C1(0，4，3)，A(2，0，0)，E(2，4，1)， 所以=(0，0，3)，=(0，4，1)，=(-2，0，2)， 设平面AEC1F的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则y=-，z=1，所以n=， 所以点C到平面AEC1F的距离d====. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知A(2，2，1)，B(3，2，0)，则点P(2，0，-1)到直线AB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B.2 C. D. 3.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 4.在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面DBC，且AB=BC=BD，∠CBA=∠CBD=60°，则直线BC与平面ABD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 5.已知棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，则平面 AB1C 与平面 A1C1D 之间的距离为(　　) A. B. C. D. 6.设两条异面直线m，n的一个方向向量分别为a=(-1，1，0)，b=(0，-1，1)，则直线m与n所成的角为(　　) A. B. C. D. 7.（2024-2025·内蒙古高二期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（    ） A. B. C. D. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.直线l的方向向量为a，两个平面α，β的法向量分别为n，m，则下列命题为真命题的是(　　) A.若a⊥n，则直线l∥平面α B.若a∥n，则直线l⊥平面α C.若cos〈a，n〉=，则直线l与平面α所成角的大小为 D.若cos〈m，n〉=，则平面α，β夹角的大小为 10.（2025-2026·甘肃兰州高二下期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（） A.若，则直线平面 B.若，则平面平面 C.若，则平面所成锐二面角的大小为 D.若，则直线与平面所成角的大小为 11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，高为h，记异面直线A1C与BC1所成的角为θ，则(　　) A.若a=h，则cos θ= B.若cos θ=，则a=h C.若a=h，则θ=90° D.若θ=60°，则h=a 三、填空题（共3小题） 12.已知AB∥平面α，平面α的一个法向量n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为　　　. 13.已知AB是圆锥PO的底面直径，P为圆锥顶点，O为底面圆的圆心，C是底面圆周上的一点，PC=AB=2，AC=，则平面APB与平面CPB夹角的余弦值为　　　　. 14.已知平面的法向量为，且点，则点到平面的距离为                  ； 四、解答题（共2小题） 15.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2，∠ACC1=60°，A1C⊥BC1，P为线段AA1上一点，且=λ，λ∈[0，1]. (1)证明：A1C⊥平面ABC1； (2)是否存在实数λ，使得点C到平面BPC1的距离为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 16.底面ABCD为矩形的长方体被截面AEC1F所截得到的多面体如图所示，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，四边形AEC1F为平行四边形. (1)求线段BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $