27.1 反比例函数的概念 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦九年级“27.1 反比例函数的概念”新授课，引导学生理解反比例函数意义及三种等价形式。课堂导入通过温故知新复习一次函数、二次函数，再结合京沪高铁速度与时间等实际问题，建立“乘积为定值”的新旧知识联系，搭建学习支架。 这份资料突出数学抽象与数学建模素养，从实际问题中抽象反比例函数模型，用“判定三步法”辨析函数，通过即时练习与拓展提升巩固待定系数法求解析式。注重解释k≠0、x≠0的原因，帮助学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维解决问题，提升学习效率与应用能力。

九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：27.1 反比例函数的概念 课型：新授课 教学随笔 课标要求： 1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，了解三种等价形式。 2. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式。 学科素养： 1. 数学抽象：从实际问题中抽象出反比例函数模型，辨析三种形式。 2. 数学建模与运算：用待定系数法建立并求解函数关系。 课后反思： 学习目标： 1. 理解反比例函数的概念，会说清 k≠0、x≠0 的原因，掌握三种等价形式 y＝k/x、xy＝k、y＝kx⁻¹（k≠0）。 2. 能辨析反比例关系与反比例函数，会用判定三步法识别反比例函数。 3. 能根据实际问题中两个变量的关系建立反比例函数模型，并用待定系数法求解析式。 学习重难点： 重点：反比例函数的概念（三种形式）与待定系数法求解析式。 难点：理解并说明 k≠0 与 x≠0 的原因；从实际问题中抽象出"乘积为定值"的模型。 学习过程： 一、温故知新（3分钟） 1. 复习：我们已经学过一次函数 y＝kx＋b（k≠0），当 b＝0 时叫正比例函数 y＝kx；还学过二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）。研究一种新函数，通常先关注它的解析式和自变量的取值范围。 【联想】如果两个量一个增大、另一个随之减小，且乘积始终不变，这种关系叫什么？ 二、探究引入（4分钟） 2. 思考（课本）：下列问题中变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ （1）京沪高铁全程为 1318 km，某次列车的平均速度 v（km/h）随全程运行时间 t（h）的变化而变化； （2） 某小区要种植面积为 1000 m² 的矩形草坪，相邻一边长 y（m）随另一边长 x（m）的变化而变化； （3） 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用流量 Q（GB）随使用总天数 t（天）的变化而变化。 【生活链接】压力一定时受力面积越小压强越大；电压不变时电阻越大电流越小；工程人数越多完工时间越短——都体现"一增一减、乘积恒定"。 【归纳】三个解析式的共同特点：两个变量的乘积为定值，都可写成 y＝k/x 的形式。 三、新课探究（16分钟） 3. 概念：一般地，形如 y＝k/x（k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。 【注意1·为什么 k≠0？】 【注意2·为什么 x≠0？】 【三种等价形式】①分式型 y＝k/x；②乘积型 xy＝k；③负指数型 y＝kx⁻¹（k≠0）。 【知识锦囊】反比例关系 ≠ 反比例函数：反比例关系是"两量乘积为定值"的一般关系；反比例函数是它的特殊形式——能写成 y＝k/x 的函数才是反比例函数（如 xy＝3、y＝5x⁻¹ 都是）。 4. 即时练习一： （1）选择：下列函数中是反比例函数的是（　　） A．y＝2x　B．y＝3/x　C．y＝x²　D．y＝x＋1 （2）填空：若函数 y＝(m＋1)x(m²－2) 是反比例函数，则 m＝＿＿。 【易错提醒·判定三步法】①化为最简整式；②自变量次数为 −1；③比例系数不为 0（本题易漏 m＋1≠0）。 5. 例题（课本）：已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x＝2 时，y＝6。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）当 x＝4 时，求 y 的值。 6.即时练习二：已知 y 与 x 成反比例，且当 x＝3 时，y＝4，则 y 与 x 的函数解析式为（　　） A．y＝12/x　B．y＝(4/3)x　C．y＝(3/4)x　D．y＝12x 四、课堂练习（10分钟） 7. 课本练习：用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系（先找"乘积为定值"的等量关系）： （1）一个游泳池的容积为 2000 m³，注满水所用时间 t（h）随注水速度 v（m³/h）的变化而变化； （2） 学校准备将 1000 m² 实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积 y（m²）随班级个数 x 的变化而变化； （3） 在某次物理实验中，电路电压 U 为 3 V，则该电路电流 I（A）随电阻 R（Ω）的变化而变化。 8.课本练习：已知 y 是 x 的反比例函数，当 x＝－2 时，y＝4。求这个函数的解析式和自变量的取值范围。 五、拓展提升（机动2分钟，有时间再做） 9. 填空：已知 y 与 x－1 成反比例，且当 x＝2 时，y＝3，则 y 关于 x 的函数解析式是＿＿。 10. 复合关系（提升）：已知 y 是 z 的反比例函数，z 是 x 的正比例函数，求证：y 是 x 的反比例函数。 六、课堂小结（3分钟） 11. 填一填：（1）反比例函数的三种等价形式：y＝k/x、xy＝k、y＝kx⁻¹（k≠0），且必须满足 k＿＿0、自变量 x＿＿0； （2）判定三步：化为最简整式→自变量次数为−1→比例系数 k＿＿0； （3）求解析式用＿＿法（设、代、求、写）；实际问题中要先找出"乘积为定值"的等量关系。 七、作业布置（2分钟） 必做题：课本习题 27.1 第 1、2 题。 选做题：已知 y 与 2x＋1 成反比例，且当 x＝1 时，y＝2，求 y 关于 x 的函数解析式。 学科网（北京）股份有限公司 $