27.1 反比例函数的概念 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

学习内容：27.1 反比例函数的概念

课型：新授课

教学随笔

课标要求：

1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，了解三种等价形式。

2. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式。

学科素养：

1. 数学抽象：从实际问题中抽象出反比例函数模型，辨析三种形式。

2. 数学建模与运算：用待定系数法建立并求解函数关系。

课后反思：

学习目标：

1. 理解反比例函数的概念，会说清 k≠0、x≠0 的原因，掌握三种等价形式 y＝k/x、xy＝k、y＝kx⁻¹（k≠0）。

2. 能辨析反比例关系与反比例函数，会用判定三步法识别反比例函数。

3. 能根据实际问题中两个变量的关系建立反比例函数模型，并用待定系数法求解析式。

学习重难点：

重点：反比例函数的概念（三种形式）与待定系数法求解析式。

难点：理解并说明 k≠0 与 x≠0 的原因；从实际问题中抽象出"乘积为定值"的模型。

学习过程： 

一、温故知新（3分钟）

1. 复习：我们已经学过一次函数 y＝kx＋b（k≠0），当 b＝0 时叫正比例函数 y＝kx；还学过二次函数 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）。研究一种新函数，通常先关注它的解析式和自变量的取值范围。

【联想】如果两个量一个增大、另一个随之减小，且乘积始终不变，这种关系叫什么？

二、探究引入（4分钟）

2. 思考（课本）：下列问题中变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？

（1）京沪高铁全程为 1318 km，某次列车的平均速度 v（km/h）随全程运行时间 t（h）的变化而变化；

（2）某小区要种植面积为 1000 m² 的矩形草坪，相邻一边长 y（m）随另一边长 x（m）的变化而变化；

（3）李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用流量 Q（GB）随使用总天数 t（天）的变化而变化。

【生活链接】压力一定时受力面积越小压强越大；电压不变时电阻越大电流越小；工程人数越多完工时间越短——都体现"一增一减、乘积恒定"。

【归纳】三个解析式的共同特点：两个变量的乘积为定值，都可写成 y＝k/x 的形式。

三、新课探究（16分钟）

3. 概念：一般地，形如 y＝k/x（k 为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。

【注意1·为什么 k≠0？】  【注意2·为什么 x≠0？】

【三种等价形式】①分式型 y＝k/x；②乘积型 xy＝k；③负指数型 y＝