27.1反比例函数的概念（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数的概念及表达式，通过复习一次函数、二次函数知识，结合高铁速度与时间、矩形草坪边长、手机流量使用等实际问题，引导学生发现变量间的函数关系，搭建从旧知到新知的学习支架。 以实际问题为载体，通过合作探究抽象函数关系培养数学眼光，典例与变式训练强化推理与运算能力发展数学思维，分层练习与检测结合生活情境提升模型意识和应用意识，助力学生理解概念并学会用数学语言表达现实问题。

人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念（导学案） 一、学习目标 1.会通过分析实际问题的情境确定反比例函数的表达式，体会反比例函数的意义。 2.理解反比例函数的概念和表达式。 学习重点： 理解反比例函数的概念和表达式。 学习难点： 通过分析实际问题的情境确定反比例函数的表达式。 二、学习过程 （一）复习引入 1.函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们学习过哪些函数呢？ 2.我们学习了一次函数和二次函数的哪些知识呢？ （二）合作探究 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； (2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化； (3)李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位：GB)随使用完流量的总时间t(单位：天)的变化而变化. 答：(1)函数关系式为 ；(2)函数关系式为 ；(3)函数关系式为 . 思考 观察下列函数关系式(1)(2)(3)，它们有什么共同点? 反比例函数： 一般地，形如 的函数叫作反比例函数，其中x是 ，y是 . 追问 反比例函数y=(k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ ★温馨提示 在实际问题中，还应考虑自变量的实际意义. 概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数？若是，请指出k的值. ① y=3x−1 （ ） ② y=− x （ ） ③ y=− （ ） ④ y= （ ） ⑤xy=5 （ ） ⑥ y=− （ ） 归纳总结 反比例函数的三种表达形式： ， ， .（注意：k ） （三）典例分析x2−x−56=0 例1 已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=4时，求y的值. 归纳总结 待定系数法求函数解析式的一般步骤： 变式 已知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点(1，1)． (1)求y关于x的表达式； (2)当y=4时，求x的值． 例2 若函数y=(m+2)x|m|−3是反比例函数，则m的值是（ ） A．2 B．−2 C．±2 D．0 学习笔记 （四）巩固练习 1. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)一个游泳池的容积为2000 m³，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m³/h)的变化而变化； (2)学校准备将1000 m²实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y(单位：m²)随班级个数x的变化而变化； (3)在某次物理实验中，电路中的电压U为3 V，则该电路中的电流I(单位：A)随电阻R(单位：Ω)的变化而变化. 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A．y=3x B．y= C．y=3x+1 D．y=x2 3. 反比例函数y=的k值是（    ） A．− B．−5 C．5 D． 4. 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量y%与充电时长t（单位：min）的部分数据如下表： 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量y与充电时长t之间满足学过的某种函数关系．则y与t之间的函数关系式为（     ） A．y= B．y=2t C．y= D．y= 5. 已知y是x的反比例函数，当x=−2时，y=4.求这个函数的解析式和自变量的取值范围. （五）当堂检测 1.如图所示，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y. 写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数. 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． （1）若m=0时，y是关于x的反比例函数，则a= ． （2）下列结论正确的是 ．（填写正确结论的序号） ①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数y=ax+1的图象一定有两个不同的交点． 学习笔记 （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题27.1：第1，2题. B组题：习题27.1：第3题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念（导学案） 一、学习目标 1.会通过分析实际问题的情境确定反比例函数的表达式，体会反比例函数的意义。 2.理解反比例函数的概念和表达式。 学习重点： 理解反比例函数的概念和表达式。 学习难点： 通过分析实际问题的情境确定反比例函数的表达式。 二、学习过程 （一）复习引入 1.函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型，我们学习过哪些函数呢？ 答：一次函数（正比例函数），二次函数. 2.我们学习了一次函数和二次函数的哪些知识呢？ 答：函数的概念及相关概念，函数的图象和性质，函数与方程、不等式，函数与实际问题. （二）合作探究 思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1 318 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； (2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化； (3)李明计划在一段时间内使用完5 GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位：GB)随使用完流量的总时间t(单位：天)的变化而变化. 答：(1)函数关系式为 v= ；(2)函数关系式为 y= ；(3)函数关系式为 Q= . 思考 观察下列函数关系式(1)(2)(3)，它们有什么共同点? 答：他们都具有y=的形式，其中k是非零常数. 反比例函数： 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数. 追问 反比例函数y=(k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 答：因为当x=0时，分式无意义， 所以自变量x的取值范围是不等于0的一切实数. ★温馨提示 在实际问题中，还应考虑自变量的实际意义. 概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数？若是，请指出k的值. ① y=3x−1 （ 是，k=3 ） ② y=− x （ 不是 ） ③ y=− （ 不是 ） ④ y= （ 是，k=2 ） ⑤xy=5 （ 是，k=5 ） ⑥ y=− （ 不是 ） 归纳总结 反比例函数的三种表达形式： y= ， y=kx−1 ， xy=k .（注意：k ≠0） （三）典例分析x2−x−56=0 例1 已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=4时，求y的值. 解：(1)设y=. 因为当x=2时，y=6， 所以 6=. 解得 k=12. 因此 y=. (2)把x=4代人y=，得 y==3. 归纳总结 待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设出反比例函数解析式(含待定系数)； ②将已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程； ③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 变式 已知y与x+1成反比例，且其函数图象经过点(1，1)． (1)求y关于x的表达式； (2)当y=4时，求x的值． 解：（1）因为y与x+1成反比例，所以设y=(k≠0). ∵函数图象经过点(1，1)， ∴=1，解得k=2. ∴y关于x的表达式为y=； （2）解：当y=4时，=4，解得x=− ． 例2 若函数y=(m+2)x|m|−3是反比例函数，则m的值是（ A ） A．2 B．−2 C．±2 D．0 分析 ∵函数y=(m+2)x|m|−3是反比例函数， ∴|m|−3=−1，m+2≠0， 解得 m=±2且m≠−2， ∴m=2． 方法总结 已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程或不等式求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0. （四）巩固练习 1. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)一个游泳池的容积为2000 m³，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m³/h)的变化而变化； (2)学校准备将1000 m²实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田面积y(单位：m²)随班级个数x的变化而变化； (3)在某次物理实验中，电路中的电压U为3 V，则该电路中的电流I(单位：A)随电阻R(单位：Ω)的变化而变化. 解：(1) t= ； （2）y= ； （3）I=. 2. 下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ B   ） A．y=3x B．y= C．y=3x+1 D．y=x2 3. 反比例函数y=的k值是（  D   ） A．− B．−5 C．5 D． 4. 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量y%与充电时长t（单位：min）的部分数据如下表： 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量y与充电时长t之间满足学过的某种函数关系．则y与t之间的函数关系式为（ A   ） A．y= B．y=2t C．y= D．y= 5. 已知y是x的反比例函数，当x=−2时，y=4.求这个函数的解析式和自变量的取值范围. 解：(1)设y=. 因为当x=−2时，y=4， 所以 4=. 解得 k=−8. 因此 y=− . 自变量的取值范围是x≠0. （五）当堂检测 1.如图所示，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y. 写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数. 解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以 S菱形ABCD=xy=180. 所以变量y与x之间的关系式为y=， 它是反比例函数. 2.令y=axm+(2a+1)xm−1+1，其中m为整数，a为常数且a≠0． （1）若m=0时，y是关于x的反比例函数，则a=__−1__． （2）下列结论正确的是__①②__．（填写正确结论的序号） ①若y是关于x的一次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ②若y是关于x的二次函数，则其函数图象一定经过第二象限． ③若y是关于x的二次函数，则其与一次函数y=ax+1的图象一定有两个不同的交点． 分析 ①若y是关于x的一次函数， ∵a≠0，∴m=1， ∴y=ax+2a+1+1=a(x+2)+2， 当x+2=0时，即x=−2时，y=2， ∴函数恒过定点(−2，2)，该点在第二象限， ∴函数图象一定经过第二象限，故①正确； ②若y是关于x的二次函数， ∴m=2， ∴y=ax2+(2a+1)x+1， 当x=0时，y=ax2+(2a+1)x+1=1， ∴函数过点(0，1)， ∴函数图象一定经过第二象限，故②正确； ③联立得，y=ax2+(2a+1)x+1且y=ax+1， 整理得：ax2+(a+1)x=0， ∴当Δ=(a+1)2−4a×0=0时，a=−1，此时方程有两个相同的实数根 ∴此时只有一个交点，故③错误． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题27.1：第1，2题. B组题：习题27.1：第3题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $