1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间垂直关系，通过基础概念辨析、几何体中垂直判定、综合应用推理三阶分层，强化空间向量工具性，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|方向向量、法向量基本概念|单选题1-2直接考查向量垂直判定，夯实数学抽象基础| |中档应用|几何体中线线、线面、面面垂直关系|单选题3-8结合正方体、直三棱柱等模型，培养空间观念与推理能力| |综合提升|垂直关系证明与参数计算|解答题15-17需建系用空间向量解决探究性问题，发展模型观念与创新意识|

1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 3．如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 5．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 6．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若平面，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 二、多选题 9．在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（    ） A．平面 B． C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面 10．（多选），分别是两条不同直线，的方向向量，，分别是两个不同平面，的法向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知点 是平行四边形 所在的平面外一点，如果 ，，．下列结论正确的有（    ） A． B． C． 是平面 的一个法向量 D． 三、填空题 12．如图，在直四棱柱中，∠ADC＝90°，且，平面ABCD，当平面时，DM＝______． 13．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________． 14．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是__________．    四、解答题 15．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4. (1)证明： (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 17．如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． (1)在B1B上是否存在一点P，使平面？ (2)在平面上是否存在一点N，使平面？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C C C B B D AB AD 题号 11 答案 ABC 1．D 根据直线方向向量、法向量的定义，结合线线垂直、线面平行、线面垂直、面面垂直的向量判断方法进行逐一判断即可. A因为不重合，所以由直线方向向量与直线的位置关系可得，所以本选项说法不正确； B由法向量与方向向量的定义易知或，所以本选项说法不正确； C由于为平面的法向量，所以，所以本选项说法不正确； D由平面法向量与平面的位置关系可得，所以本选项说法正确， 故选：D 2．B 由已知可得，即，计算即可得出结果. 因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 3．C 根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 4．C 建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 5．C 建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 6．B 根据，根据共线的坐标运算列式探索满足的条件. 由题意：，所以. 故选：B 7．B 建系，根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解. 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a， 则， 设，则， 因为BF⊥PE，则，解得， 即，可知F是AD的中点，故. 故选：B. 8．D 首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 9．AB 根据线面平行的判定定理可判断A；由线线垂直证线面垂直，再证线线垂直可判断B；根据直线与平面的位置关系可判断C；建系可判断D. 对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点P，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点P，使得平面平面，故D错误. 故选：AB. 10．AD 根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断得解. 对于A，，A正确； 对于B，或，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，平面，不重合，，D正确. 故选：AD 11．ABC 运用数量积逐项分析. 由题意可知 都是非零向量， 对于A， ，正确； 对于B， ，正确； 对于C， 平面ABCD， 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，正确； 对于D， 平面ABCD， 平面ABCD， ，错误； 故选：ABC. 12． 建系，根据题意利用空间向量的坐标运算可求点M的坐标，即可得结果. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则， 由题意可设，则， 若平面，则，解得，即， 故. 故答案为：. 13．/ 连接EO，证明OB，OD，OE两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答. 连接EO，因，则，而平面，且平面平面， 平面平面，于是得平面，又平面，平面， 即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形， 以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因，，则， 则， 设，，， 设平面BMN的一个法向量，则，令，得， 设平面ABE的一个法向量，则，令，得， 因为平面平面ABE，则有，即，解得， 所以线段AN的长为． 故答案为： 14． 通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进而转换为方程有解问题.    因为在矩形中，平面， 所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，其中或不符题意， 则，，， 则有， 由，得 即， 若线段上存在点，即方程在有解， 设函数为，，对称轴为， 则方程在有解需满足， 又因为， 所以. 故答案为： 15．(1)证明见解析 (2) (1)建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；(2)计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解. （1）（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，, ，， =,,即 . （2）由(1)得，， 设平面的一个法向量为， 则取 因为与法向量所成的角和与平面所成的角互余， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 16．(1) 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． (2) 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． （1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. （1）略 （2）略 17．(1)不存在 (2)存在 （1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设点，由可得答案； （2）设，由可得答案. （1）如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则点A(1，0，0)，E，， ，＝． 假设存在点满足题意，于是， 所以 ，所以， 解得与矛盾， 故在上不存在点使平面． （2）假设在平面上存在点N，使平面． 设， 则，因为， 所以，解得， 故平面AA1B1B上存在点N，使平面． 学科网（北京）股份有限公司 $