第4章 数学活动(八) 自然数被3整除的规律-【勤径学升】2026-2027学年七年级上册数学同步练测教师用书Word(人教版)

数学活动(八)　自然数被3整除的规律

[答案P12]

【问题提出】

如果一个整数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除．

【问题探究】

以四位数为例，设是一个四位数，若a＋b＋c＋d能被3整除，则这个数能被3整除．这个结论的论证过程表述如下：

＝1 000a＋100b＋10c＋d＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d).显然999a＋99b＋9c能被3整除，因此，若a＋b＋c＋d能被3整除，则就能被3整除．

【类比探究】

判断一个三位数能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征：

(1)根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数，如果10a＋b－2c能被7整除，那么就能被7整除；

(2)证明(1)中猜想的正确性；

【拓展应用】

以上结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是b，除个位数字外的部分用a表示，推理过程与上面相同，依然能得到当a－2b能被7整除时，原数就能被7整除．

(3)(Ⅰ)若一个正整数m能被7整除，且m的末尾三位数为256，求m的最小值；

(Ⅱ)已知四位数，该数既能被3整除，也能被7整除，求a与b之间满足的关系．

解：(2)证明：因为＝100a＋10b＋c＝70a＋30a＋7b＋3b＋7c－6c＝7(10a＋b＋c)＋3(10a＋b－2c).

因为7(10a＋b＋c)能被7整除，

所以当3(10a＋b－2c)能被7整除时，就能被7整除，

即如果10a＋b－2c能被7整除，那么就能被7整除．

(3)(Ⅰ)设m中256前面部分的数字为n，则m可表示为1 000n＋256.

因为100n＋20＋5－2×6＝100n＋13＝98n＋2n＋7＋6＝7(14n＋1)＋2(n＋3)，