第21讲两角和、差及倍角公式专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦两角和差及倍角公式，通过公式变形、角的拆分与构造，系统训练三角恒等变换的核心方法，构建从基础应用到综合创新的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|1-4题|平方关系、两角和差公式展开、方程思想|从单角到复角，公式直接应用与逆用| |角的变换技巧|5-9题|角的拆分（α=β+(α-β)）、诱导公式转化|角的组合与变换，建立角之间的关联| |综合应用|10-14题|多公式联用、实际问题建模（九芒星）|公式体系综合应用，发展数学思维与创新意识|

第21讲　两角和、差及倍角公式 (时间:45分钟) 1.若cos α+sin α=,则sin 2α= (　 ) A. B.- C. D. 2.[2026·江苏苏州调研] 已知sin α+cos α=(0<α<π),则tan 2α= (　 ) A.- B. C.- D. 3.[2025·广东揭阳模拟] 已知α为锐角,且cos=,则cos 2α= (　 ) A. B. C.- D.- 4.若cos(α-β)=2cos(α+β),则tan αtan β= (　 ) A.- B. C. D.- 5.[2026·浙江宁波模拟] 已知α为锐角,且sin βcos(α-β)-cos βsin(β-α)=,则tan = (　 ) A. B. C. D. 6.已知2tan α=tan 2θ,tan(α-θ)=-8,则tan θ= (　 ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 7.(多选题)已知tan =,则 (　 ) A.tan=3 B.tan α= C.sin 2α= D.1+cos α=2sin α 8.[2025·河北邯郸模拟] 已知tan=-,则sin α=　　　　.  9.[2026·重庆调研] 设β∈,已知tan α=cos β,cos(α+β)=sin α,则sin 2β=　　　　.  10.[2026·河北承德联考] (1)若sin α+sin β=-,cos α+cos β=,求cos(α-β)的值. (2)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,求sin的值. 11.如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形,若九芒星的顶点将圆九等分,设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α,则cos αcos 2αcos 4α= (　 ) A.- B. C. D.- 12.(多选题)[2026·湖北宜昌联考] 已知 cos αcos β=,cos(α+β)=,则 (　 ) A.sin αsin β= B.cos(α-β)= C.tan αtan β= D.cos 2α+cos 2β= 13.已知tan(α+β)tan β=,cos(α+2β)=,则cos α=　　　　.  14.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=. (1)求sin αcos β,cos αsin β的值; (2)求的值; (3)若α,β均为锐角,且tan β<,求cos 2α的值. 1.B　[解析] 由(cos α+sin α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α=,得sin 2α=-.故选B. 2.B　[解析] 由sin α+cos α=,sin2α+cos2α=1,及α∈(0,π),可得sin α=,cos α=-,所以tan α=-,则tan 2α===,故选B. 3.B　[解析] 因为α为锐角,cos>0,所以<α+<,又cos=,所以sin==,则cos 2α=sin=sin 2=2sincos=2××=,故选B. 4.C　[解析] 由cos(α-β)=2cos(α+β),可得cos αcos β+sin αsin β=2(cos αcos β-sin αsin β),则cos αcos β=3sin αsin β,则tan αtan β==,故选C. 5.B　[解析] sin βcos(α-β)-cos βsin(β-α)=sin βcos(α-β)+cos βsin(α-β)=sin α=,因为α是锐角,所以cos α==,则tan ===,故选B. 6.C　[解析] 由2tan α=tan 2θ,得tan α=①,由tan(α-θ)=-8,得=-8,即tan α(8tan θ+1)=tan θ-8,所以tan α=②,由①②得=,化简得tan3θ=-8,所以tan θ=-2.故选C. 7.ACD　[解析] 由题可知tan==3,故选项A正确; tan α==,故选项B不正确;sin 2α=2sin αcos α===,故选项C正确;==tan=,即1+cos α=2sin α,故选项D正确.故选ACD. 8.±　[解析] 由tan==-,解得tan α=-, 由tan α=-=,sin2α+cos2α=1,解得或故sin α=±. 9.　[解析] 由tan α=cos β可得sin α=cos αcos β,又cos(α+β)=sin α,即sin α=cos αcos β-sin αsin β,所以sin α=sin α-sin αsin β,由题易知sin α≠0,所以sin β=,因为β∈,所以cos β=,故sin 2β=2sin βcos β=2××=. 10.解:(1)由sin α+sin β=-,cos α+cos β=,可得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=+=,故2+2(sin αsin β+cos αcos β)=, 即2+2cos(α-β)=,解得cos(α-β)=-. (2)因为α,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=-, 所以cos(α+β)===.因为sin=,β-∈,所以cos= -=-=-,所以sin=sin=sin(α+β)cos-cos(α+β)sin=×-×=-. 11.A　[解析] 由题可知,α=,所以cos αcos 2αcos 4α=coscoscos,因为sincoscoscos=sincoscos=sincos=sin=sin·=-sin, 即sincoscoscos=-sin,且sin≠0,所以coscoscos=-.故选A. 12.ACD　[解析] 由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=,得sin αsin β=,故A正确;cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=,故B错误;tan αtan β===,故C正确;cos 2α+cos 2β=2coscos=2××=,故D正确.故选ACD. 13.　[解析] 因为tan(α+β)tan β==,所以cos(α+β)cos β=3sin(α+β)sin β,又cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]=cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β=,所以3sin(α+β)sin β-sin(α+β)sin β=,解得sin(α+β)sin β=,故cos(α+β)cos β=3×=,所以cos α=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=+=. 14.解:(1)由sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=, 解得sin αcos β=,cos αsin β=. (2)= ·=·===. (3)由β为锐角,且tan β<tan =,得0<β<.由==,得tan α=tan β<<,因为α为锐角,所以0<α<,所以0<α+β<,-<α-β<,由sin(α+β)=,sin(α-β)=,得cos(α+β)= =,cos(α-β)==, 所以cos 2α=cos(α+β+α-β)=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=. 学科网（北京）股份有限公司 $