第4章 第3讲 第1课时 两角和、差及倍角公式（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 三角函数恒等变换专项训练，通过分级设计实现从公式应用到综合创新的能力递进，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|10题|公式直接应用|从同角关系到和差公式，构建三角变换基础逻辑链| |能力提升|4题|综合公式应用|结合角的范围分析，强化公式逆用与变形能力| |拓广探索|2题|创新情境应用|通过方程与三角综合，发展数学抽象与逻辑推理|

[对应学生用书P352] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共83分． A级　基础过关 1．sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝(　　) A．－ B． C．－ D．1 解析　sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77° ＝sin (77°＋43°)＝sin 120°＝. 答案　B 2．若α为锐角，sin α＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为α为锐角，sin α＝，所以cos α＝. sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝sin α＋cos α＝×＋×＝. 答案　A 3．已知sin α＝，α为钝角，tan (α－β)＝，则tan β＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　因为sin α＝，α为钝角，所以cos α＝－，则tan α＝＝－，又tan (α－β)＝，所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝－1.故选B. 答案　B 4．(2025·甘肃兰州模拟)已知sin －sin α＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为sin －sin α＝cos α－sin α＝cos ＝，所以sin ＝sin ＝－cos ＝1－2cos2＝－.故选B. 答案　B 5．(2026·辽宁大连模拟)若α∈，且5cos2α＝sin ，则tan α＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．1 解析　5cos 2α＝5(cos2α－sin2α)＝＝cos α－sin α，5(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos α－sin α，所以cos α－sin α＝0或cos α＋sin α＝，因为α∈，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝0舍去．由cos α＋sin α＝， cos2α＋sin2α＝1得或(舍去)，所以tan α＝＝－，故选A. 答案　A 6．若sin (α＋β)sin (α－β)＝，则cos 2α－cos 2β＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为sin (α＋β)sin (α－β)＝，所以sin2αcos2β－cos2αsin2β＝， 则(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝， cos2β－cos2α＝， 即－＝，所以cos 2α－cos 2β＝－. 答案　D 7．(多选)下列各式中，值为的是(　　) A． B．tan15°cos215° C．cos2－sin2 D． 解析　∵＝tan45°＝； tan 15°cos215°＝sin15°cos 15°＝sin 30°＝； cos2－sin2＝cos＝； ＝sin 30°＝，故选ACD. 答案　ACD 8．(多选)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则下列各式正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos (α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝3 解析　因为cos 2α＝－，且0＜α＜，所以0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝，故A正确；因为cos (α＋β)＝－，0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，所以sin (α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝－×＋×＝，故B正确；cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝　①，cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－　②，由①＋②，得2cos αcos β＝，解得cos αcos β＝，故C不正确；由①－②，得2sin αsin β＝，解得sin αsin β＝，则tan αtan β＝＝＝3，故D正确．故选ABD. 答案　ABD 9．化简：＝________． 解析　＝＝＝＝. 答案　 10．(2025·武汉二调)已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝________． 解析　依题意，tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β， 由cos (α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝， 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－. 答案　－ B级　能力提升 11．(2025·山东菏泽一模)若α∈，tan 2α＝，则sin ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　∵tan 2α＝，∴＝＝， ∵α∈(0，π)，∴sin α≠0， ∴＝，化简得cos α＝－， ∴α＝， ∴sin ＝sin ＝sin ＝.故选C. 答案　C 12．(2025·浙江杭州一模) 已知－＝4，则λ＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析　由－＝4可得λ＝cos 10°＝＝＝ ＝＝，故选C. 答案　C 13．(多选)已知0＜α＜β＜，且3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝2，则(　　) A．cos (α＋β)＝ B．sin (α＋β)＝ C．tan (2α＋2β)＝ D．β∈ 解析　因为3cos α＋cos β＝3，3sin α－sin β＝2，两式平方后相加可得9＋10＋6(cos αcos β－sin αsin β)＝13，所以cos (α＋β)＝－.故A错误． 因为0＜α＜β＜，所以0＜α＋β＜π，又cos (α＋β)＜0，故α＋β∈，由于2β＞α＋β＞，故β＞，又0＜α＜β＜，所以β∈.故D正确． sin (α＋β)＝＝＝.故B正确． tan(α＋β)＝＝－3，故tan (2α＋2β)＝＝＝.故C错误．故选BD. 答案　BD 14．(2025·江苏锡东高级中学段考)已知a＝，b＝，设f(x)＝a·b.若x0∈，且f＝，则tan ＝________． 解析　因为a＝，b＝， 所以f(x)＝a·b＝2cos x sin ＋＝cos x sin x－cos2x＋＝sin2x－cos 2x＝sin ，所以f＝sin ＝，又x0∈，则x0－∈， 所以cos ＝，所以tan ＝， 所以tan ＝tan ＝＝＝－，所以tan＝tan ＝＝＝－. 答案　－ C级　拓广探索 15．(2025·河南新乡二模)设tan 是关于x的方程x4＋4x3－6x2＋mx＋1＝0的一个实根，其中m为常数，则m＝(　　) A．－2 B．－4 C．－3 D．－4 解析　设tan ＝x，则tan ＝tan ＝＝， tan＝tan ＝＝＝＝， 整理得x4＋4x3－6x2－4x＋1＝0，故m＝－4.故选D. 答案　D 16．(2025·浙江杭州二模)若sinx＋cos x＝2sin α，sin x cos x＝sin2β，则(　　) A．4cos22α＝cos22β B．cos22α＝4cos22β C．4cos2α＝cos 2β D．cos 2α＝4cos 2β 解析　将sin x＋cos x＝2sin α平方得1＋2sin x cos x＝4sin2α， 结合sinx cos x＝sin2β可得1＋2sin2β＝4sin2α，即1＋1－cos2β＝2(1－cos 2α)， 即cos 2β＝2cos 2α，两边平方，得4cos22α＝cos22β，故选A. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $