第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以题载法系统整合诱导公式化简与同角关系式应用，通过分层题型构建“公式记忆-符号判断-弦切互化”的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |诱导公式应用|题1,2,8,16|“奇变偶不变，符号看象限”法则；终边对称转化|从特殊角推广到任意角，建立角的终边关系与函数值联系| |同角关系式应用|题3,4,5,6,13|弦切互化（tanα=sinα/cosα）；平方关系整体代换（sin²α+cos²α=1）|以基本关系式为核心，实现“知一求二”及代数式化简| |综合拓展|题14,15,17|多公式联用；创新定义转化（正矢/余矢）|结合方程思想与三角恒等变形，培养运算能力与推理意识|

第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (时间:45分钟) 1.cos 300°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.- C. D.- 2.若tan 3α=-12,则tan(π-3α)= (　 ) A.-12 B. - C. 12 D. 3.[2024·河南二十名校模拟] 已知tan α=2,则= (　 ) A. B. C. D.2 4.[2024·湖北荆州中学三模] 已知sin θ+cos θ=,则sin θ-cos θ的值为 (　 ) A. B. C.± D.± 5.[2025·广东揭阳质检] 已知角α的终边在函数y=2x的图象上,则1-2sin αcos α-3cos2α的值为 (　 ) A.- B.± C.-2 D.±2 6.若角α为第三象限角,则+=　　　　.  7.已知角α是第二象限角,且满足sin+3cos(α-π)=1,则tan(π+α)=　　　　.  8.[2024·泰安质检] 已知sin=且<α<π,则tan α= (　 ) A.- B.- C. D.3 9.已知α∈(0,π),且2cos2α-sin2α-4cos α=3,则sin α= (　 ) A. B. C. D. 10.(多选题)已知角α的终边与单位圆交于点,则的值可能为 (　 ) A. B.- C.- D. 11.(多选题)[2024·四川德阳模拟] 在△ABC中,下列等式恒成立的是 (　 ) A.sin A-sin(B+C)=0 B.cos A-cos(B+C)=0 C.cos-sin=0 D.cos-cos=0 12.已知tan(3π+α)=2,则 =　　　　.  13.[2024·湖北武汉模拟] 已知=,则tan α+=　　　　.  14.已知<α<π, tan α+=-. (1)求tan α的值; (2)求的值; (3)求2sin2α-sin αcos α-3cos2α的值. 15.已知f(x)=,且f(α)=-1(0<α<π). (1)求α; (2)若sin β=,<β<π,求cos(2α+2β)的值. 16.已知角α(0°<α<360°)终边上一点A的坐标为(sin 310°,cos 310°),则α= (　 ) A.130° B.140° C.220° D.230° 17.(多选题)在数学史上,为了三角计算的简便及计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数:定义1-cos θ为角θ的正矢,记作versin θ,定义1-sin θ为角θ的余矢,记作coversin θ.下列说法正确的是 (　 ) A.versin= B.versin(2025π-θ)-coversin=0 C.若=2,则=- D.函数f(x)=versin+coversin的最大值为4 参考答案 第23讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.A　[解析] cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°=.故选A. 2.C　[解析] 因为tan 3α=-12,所以tan(π-3α)=-tan 3α=12.故选C. 3.B　[解析] 因为tan α=2,所以===.故选B. 4.C　[解析] 由sin θ+cos θ=,可得(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,可得2sin θcos θ=-,则(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1+=,因为2sin θcos θ=-<0,所以sin θ与cos θ异号,可得θ为第二或第四象限.当θ为第二象限角时,可得sin θ-cos θ=;当θ为第四象限角时,可得sin θ-cos θ=-.故选C. 5.A　[解析] 因为角α的终边在函数y=2x的图象上,所以tan α=2,故1-2sin αcos α-3cos2α= = = ==-.故选A. 6.-3　[解析] 因为角α为第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,所以原式=+=-3. 7.-　[解析] 由sin+3cos(α-π)=1,得cos α-3cos α=1,∴cos α=-.∵角α是第二象限角,∴sin α=,∴tan(π+α)=tan α==-. 8.B　[解析] 由诱导公式得sin=sin=-sin=-cos α=,所以cos α=-,又因为α∈,所以sin α=,所以tan α==-.故选B. 9.A　[解析] 因为2cos2α-sin2α-4cos α=3,所以3cos2α-4cos α-4=0,所以cos α=-.又因为α∈(0,π),所以sin α===.故选A. 10.AC　[解析] ∵角α的终边与单位圆交于点,∴+=1,∴y0=±,∴tan α==±.当tan α=时,==;当tan α=-时,==-.故选AC. 11.AC　[解析] 在△ABC中,B+C=π-A.对于A,sin A-sin(B+C)=sin A-sin(π-A)=0,故A正确;对于B,cos A-cos(B+C)=cos A-cos(π-A)=2cos A,cos A不一定为0,故B错误;对于C,cos-sin=cos-sin=0,故C正确;对于D,cos-cos=cos-cos=cos-sin,cos-sin不一定为0,故D错误.故选AC. 12.2　[解析] ∵tan(3π+α)=2,∴tan α=2,∴原式== ==2. 13.4　[解析] 方法一:由=,得=,解得tan α=2-,故tan α+=2-+=2-+2+=4. 方法二:由=,可得=3,故cos αsin α=,故tan α+=+==4. 14.解:(1)由tan α+=-,得3tan2α+10tan α+3=0,解得tan α=-3或-,因为<α<π,所以-1<tan α<0,所以tan α=-. (2)===-. (3)2sin2α-sin αcos α-3cos2α= = = =-. 15.解:(1)f(x)= = , ∴f(α)==-1,整理得tan α=1,又0<α<π,∴α=. (2)∵sin β=,<β<π,∴cos β=-=-,则sin 2β=2sin βcos β=2××=-,∴cos(2α+2β)=cos=-sin 2β=. 16.B　[解析] 因为sin 310°<0,cos 310°>0,所以角α为第二象限角,又因为tan α======tan 140°,且0°<α<360°,所以α=140°.故选B. 17.BCD　[解析] versin=1-cos=1-cos=1+cos=,故A错误;versin(2025π-θ)-coversin=1-cos(2025π-θ)-1+sin=cos θ-cos θ=0,故B正确;因为==tan x=2, 所以=====-,故C正确;f(x)=versin+coversin=1-cos+1-sin=2-sin-sin=2-2sin,所以当sin=-1时,f(x)取得最大值4,故D正确.故选BCD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $