高二数学上学期第一次月考（苏教版选择性必修第一册第一章～第二章，高效培优）

**基本信息** 聚焦直线与圆核心内容，通过基础巩固、能力提升、创新探究三级梯度设计，融合数学审美与文化传承，适配高二月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|直线倾斜角、圆的方程、直线垂直|基础概念辨析，几何直观应用| |多项选择|3/18|直线与圆综合命题|多选项辨析，逻辑推理考查| |填空|3/15|距离公式、公切线、数形转化|数学文化渗透（华罗庚名言）| |解答|5/77|轨迹方程、新定义问题（λ共轭线对）|分层探究设计，创新意识培养|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第2章。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将直线的一般式方程化成斜截式方程，得出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率并结合倾斜角的范围，即可求解. 【详解】解：由可得：， 所以直线的斜率为， 设倾斜角为，则， 因为， 所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2．已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在圆外及方程表示圆，列出不等式求解. 【详解】由点在圆外，则，得． 又表示圆，得，得． 综上：，即实数的取值范围为． 故选：D 3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程 【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为， 因为直线过点，所以，得， 所以直线方程为， 故选：D 4．从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用点关于直线的对称点在入射光线上，再由、两点的坐标，结合直线方程的两点式写出入射光线所在的直线方程，即为直线的方程． 【详解】解：点关于直线的对称点为 则，解得，所以M(3,3) 可得直线PM方程为：. 故选：A． 5．若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将曲线C的方程变形可得，分析可得其表示圆心为，半径为2的圆的左半部分，而直线恒过点，由直线与圆的位置关系分析可得的取值范围 【详解】解：曲线的方程变形可得，表示圆心为，半径为2的圆的左半部分，设， 直线恒过点， 若直线与曲线有两个交点，则由图可得， 而， 所以， 所以的取值范围是， 故选：D 6．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 7．已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用特殊值排除错误答案，进而得到结果，数形结合由斜率列式求解计算得到结果. 【详解】因为直线， 变形为，进而，解得， 所以直线恒过定点， 求线段的两个端点与定点的斜率：， 如图可知，当，即时，设直线的斜率为， 则或， 情况1：，即， 可得，解得或， 情况2：，即， 可得，解得； 当，即时，直线与线段有一个公共点.符合题意， 结合以上分析，解得或. 故选：B. 8．在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为2，则， 设，则 ， ， 即，即， 点轨迹为：， 则， 所以 ， 当时，，即； 当时，令，则表示与连线的斜率，如图2，且， 设直线与圆相切，直线化为， 则圆心到直线距离， 解得或 ， 故， 则当时，取得最大值为 的最大值为； 综上：的最大值为． 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 【答案】BD 【分析】分直线是否过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可判断A；求出直线斜率的范围即可判断B；根据两平行直线的距离公式即可判断C；根据直线过定点问题即可判断D. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，直线，即为， 令，解得， 所以直线过定点，故D正确. 故选：BD. 10．已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．存在切点使得为直角 B．直线过定点 C．的取值范围是 D．面积的取值范围是 【答案】BD 【分析】通过分析知不可能为直角，可判断A、C错误；求出直线的方程，令，，即可得直线恒过的定点可判断B；求出面积的取值范围可判断D. 【详解】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径， 显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误； 同理C选项的数量积也取不到，所以C错误； 对于B,设，      因为，，， 则的方程为：，因为 化简可得：， 同理的方程为：， 而在切线，上，所以 ，， 因为在直线 故直线的方程为，令，， 即过定点，故B正确； 对于D，圆心到直线的距离平方为， 线段一半的平方为：， 点到直线的距离的平方为：， 所以面积的平方为： ①，因为， 所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值， 所以面积平方的最大值， 故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（    ） A．曲线C围成的图形的面积是 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2 D．若是曲线C上任意一点，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】根据方程分析曲线C的性质以及图象，根据曲线C的性质和图象结合直线与圆的相关知识逐项分析判断. 【详解】对于曲线上任一点，则， 点关于轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于轴对称； 点关于轴对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于轴对称； 点关于原点对称的点为，则， 即点在曲线C上，故曲线C关于原点对称； 综上所述：曲线C关于坐标轴和原点对称. 对于方程， 令，则，解得或，即曲线C与轴的交点坐标为， 同理可得：曲线C与轴的交点坐标为， 当时，则，整理得，且， 故曲线C在第一象限内为以为圆心，半径的半圆， 由对称性可得曲线C为四个半圆外加坐标原点， 对A：曲线C围成的图形的面积，A正确； 对B：曲线C围成的图形的周长是，B正确； 对C：联立方程，解得或， 即曲线C与直线在第一象限内的交点坐标为，由对称可知曲线C与直线在第三象限内的交点坐标为， 则，C错误； 对D：由图结合对称性可知：当在第一象限时，点到直线的距离相对较小， ∵到直线的距离， 则点到直线的距离， ∴ 故的最小值是，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为________. 【答案】－3或3 【分析】方法一，利用点到直线的距离公式列方程求解可得；方法二，结合图形分析直线的位置可解. 【详解】解：方法一   由题意得，即，所以或，解得或． 方法二   因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3． 故答案为：－3或3 13．写出同时与圆和圆都相切的一条直线方程______________. 【答案】（或或，答案不唯一） 【分析】先判断两圆的位置关系，然后根据公切线的求法求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ，所以两圆外切， 由、相减并化简得： ，即一条公切线方程为. 直线的方程为， 设与直线平行的公切线方程为， 则，解得或， 所以. 故答案为：（或或，答案不唯一）   . 14．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 【答案】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知点，直线. (1)求过，且与平行的直线的一般式方程； (2)求过，且与垂直的直线的斜截式方程； (3)已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直线的平行、垂直关系以及直线倾斜角的计算，解题的关键在于掌握直线的斜率公式、平行和垂直直线斜率的关系以及倾斜角与斜率的关系. 【详解】（1）直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. （2）因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. （3）联立直线方程得到 ，解得， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以. 16．（15分）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，当直线斜率不存在时，结合图形易得切线，当直线斜率存在时，设点斜式方程，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即得圆的切线方程； （2）先判断直线与圆相离，结合图形推出，将求的最小值的问题转化为求的最小值问题，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 17．（15分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为（圆内部的部分）； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 18．（17分）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，利用夹角公式及基本不等式求最值，即可得到，的夹角的最小值； （2）设直线PR，PQ，QR的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线PR与直线PQ的方程，联立得P的坐标； （3）设出直线，的方程，求出原点到它们的距离，计算，转化变形后结合基本不等式可得取值范围． 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 19．（17分）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）设动点坐标，由条件建立等式，整理后得到动点的轨迹方程； （2）设直线方程后联立曲线方程，整理得关于的一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到交点横坐标与参数的关系. ①由条件建立方程，结合为韦达定理的结果，求得斜率，即求得直线方程. ②分别求出向量，由条件建立方程组，解得，即可表示出，结合韦达定理化简求值，即可得出结论. 【详解】（1）设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A D A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．－3或3 13．（或或，答案不唯一） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）直线的斜率为； 因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的一般式方程为. （2）因为所求直线与垂直，所以所求直线的斜率为 因为所求直线过点，所以由点斜式方程得到 所求直线的斜截式方程为. （3）联立直线方程得到 ，解得， 依题意，直线，，的公共交点为， 设的倾斜角为则 ， 因经过点，所以 ， 因为，所以． 16．（15分） 【详解】（1）由题意得 ，则点在圆外，故有条切线， 若切线的斜率不存在，易得直线恰为圆的一条切线； 若切线的斜率存在，设切线的方程为，即. 因为直线与圆相切，所以圆心到的距离为， 即 ，解得， 所以切线的方程为，即. 综上，切线的方程为或. （2）如图，由圆心到直线的距离为 ，可得直线与圆相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值， 由图知，当时，最小，最小值恰为点到直线的距离， 故的最小值为. 17．（15分） 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 18．（17分） 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， 等号成立的条件是，所以的最小值为， 则两直线的夹角的最小值为； （2）设直线的斜率分别为， 则，得或， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，，与点C重合，舍去； 故所求为； （3）由题意可设即，即，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 所以，故即， 所以. 19．（17分） 【详解】（1）设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第2章。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．从点发出的光线经过直线反射，若反射光线恰好通过点，且点的坐标为，则光线所在的直线方程是(　　) A． B． C． D． 5．若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 7．已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（   ） A． B．或 C．或 D． 8．在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．以下四个命题为真命题的是（    ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线过定点 10．已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ） A．存在切点使得为直角 B．直线过定点 C．的取值范围是 D．面积的取值范围是 11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（    ） A．曲线C围成的图形的面积是 B．曲线C围成的图形的周长是 C．曲线C上的任意两点间的距离不超过2 D．若是曲线C上任意一点，则的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为________. 13．写出同时与圆和圆都相切的一条直线方程______________. 14．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）已知点，直线. (1)求过，且与平行的直线的一般式方程； (2)求过，且与垂直的直线的斜截式方程； (3)已知直线，直线经过点，且，，三线共点，求的倾斜角. 16．（15分）已知圆. (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值. 17．（15分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 18．（17分）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点. (1)已知，是一组“共轭线对”，求，的夹角的最小值； (2)已知点､点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标； (3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围. 19．（17分）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $