2026-2027学年江苏省无锡市高二上学期数学第一次月考自编模拟卷

**基本信息** 高二数学月考卷聚焦选择性必修1直线与空间向量，通过分层题型考查几何直观、空间观念与推理能力，解答题融合折叠问题等情境，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、线线垂直、空间坐标系|基础概念辨析，如第3题角平分线方程| |多选题|3/18|空间基底、法向量、共面条件|多选项逻辑推理，如第10题基底判断| |填空题|3/15|三线共面、投影向量、点线距离|运算能力考查，如第14题空间距离计算| |解答题|5/77|直线方程、空间向量运算、折叠问题|综合应用，如第19题折叠与线面角探究|

2026-2027学年上学期第一次月考自编模拟卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修1第1章至第2章第3节。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 3．已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　  　） A．x﹣y+2＝0 B．xy+2＝0 C．xy+2＝0 D．x﹣2y+2＝0 4．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 7．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 10．下列命题为真命题的是（    ） A．已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 11．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 13．已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 14．若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为________________________，点 到平面ABC的距离为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过点． (1)若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 16．（15分）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 17．（15分）如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 18．（17分）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19．（17分）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页（共3页） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期第一次月考自编模拟卷 高二数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修1第1章至第2章第3节。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 3．已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　  　） A．x﹣y+2＝0 B．xy+2＝0 C．xy+2＝0 D．x﹣2y+2＝0 【答案】D 【分析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果． 【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5， 所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线， 又线段AC中点坐标为（2，2）， 则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2， 即x﹣2y+2＝0． 故选：D． 【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题． 4．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 5．在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 6．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，求直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理证明，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值. 【详解】在中，， 因为，所以. 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面平面，所以. 如图，以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则. 因为是的中点，所以. 所以. 设直线与直线所成角为， 则 . 所以直线与直线所成角的余弦值为. 7．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求出与，利用，求出，用坐标表示出，转化为关于的一元二次方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，，其中，， 则，， ∵，∴，得 ∵，∴， 由空间中两点之间的距离公式， 得， 当时，，当趋近于时，趋近于， 结合二次函数的性质可得，线段的长度的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两点，到直线l的距离相等，则其方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据几何意义得，所求直线l需满足与MN平行或经过MN的中点，逐个选项检验即可． 【详解】当l与MN平行时，直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即， D选项的直线方程为，斜率为，显然与直线 MN平行，符合题意； 当l过MN的中点时，经检验只有A选项的直线方程符合题意． 故选：AD． 10．下列命题为真命题的是（    ） A．已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底 B．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】ACD 【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断. 【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面， 所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 此时或，所以不一定成立，故B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， 但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存在实数，使， 所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以， 所以共面且有公共点，所以点在平面内； 取中点，则有， 同理取中点，则有， 所以为的重心，故D正确；    故选：ACD. 11．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（    ） A． B．四棱锥的外接球表面积为 C．的最小值为 D．与所成角的余弦值的最大值为 【答案】AC 【分析】A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，因为底面为正方形，所以⊥， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，A正确； B选项，设，取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 又因为底面为正方形，所以， 即即为四棱锥的外接球球心， 因为，，所以，， 所以四棱锥的外接球半径为， 四棱锥的外接球表面积为，B错误； C选项，其中，，， 故，故， 将平面与平面展开到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时取得最小值， 最小值为，C正确； D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，，， 则， 所以，故， 故，， 所以，其中， 设与所成角为，则， 当时，， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即，时， 取得最大值，最大值为， 若，则，令，则， 则， 因为，所以当，即时， 取得最大值，最大值为， 综上，与所成角的余弦最大值为，D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若三条直线，，不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为_____. 【答案】 【分析】分三种情况，三条直线交于同一点，与平行,与平行，分别求出的值，得到答案. 【详解】当三条直线，，交于同一点时，不能构成三角形， 联立，解得，将代入得，解得； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 当与平行时，不能构成三角形，此时； 综上，实数所有可能的取值组成的集合为. 故答案为： 13．已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 14．若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为________________________，点 到平面ABC的距离为_____________. 【答案】 【分析】直接利用空间向量计算距离的方式分别计算即可. 【详解】由题得 所以A到直线的距离为； 设平面的一个法向量 所以有， 令，得，所以， ， 所以 到平面ABC的距离为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知直线经过点． (1)若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题目设的方程为，将点代入求出，即可得到直线方程. （2）根据两直线平行设方程为，将点代入求出，即可得到直线方程， 利用平行线间的距离公式即可求出与之间的距离. 【详解】（1）由直线不过原点，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为. （2）因为直线与平行， 所以设直线方程为， 又直线经过点，所以，所以， 所以直线的方程为 与之间的距离为. 16．（15分）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 17．（15分）如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标如下： ，，，，，， 因为分别为线段的中点，所以： 的坐标为，的坐标为， 根据坐标，可得向量： ， ， ， 所以向量与垂直，即. (2) 【分析】（1）通过建系求出向量和的坐标，利用数量积为0这一代数条件直接证明了空间两直线的垂直关系； （2）通过求平面的法向量，利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值计算出结果，再借助同角三角函数平方关系得出余弦值. 【详解】（1）略 （2）由两两垂直，可得平面， 平面的一个法向量可取为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 根据线面角的正弦值公式： ， 因为线面角的范围是， 所以. 18．（17分）已知直线． (1)求证：直线过定点； (2)若到直线的距离最大，求的值； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1)证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； (2) (3) 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【详解】（1）略 （2）当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； （3）由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 19．（17分）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. (2)存在点Q为PB的中点， 【分析】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 试卷第1页（共3页） / 学科网（北京）股份有限公司 $