精品解析：陕西西安市雁塔区西安高新区第三初级中学2026-2027学年上学期九年级数学大练习

九年级数学大练习 （总分120分 总时长120分钟） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形定义逐一判断：轴对称图形：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转后，能够和原图形重合． 【详解】解：A、旋转可以与原图重合，是中心对称图形；但找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、存在对称轴，沿对称轴折叠两边可重合，是轴对称图形；绕中心旋转能与原图重合，是中心对称图形，符合题意； C、既没有对称轴，旋转也不能和原图重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转不能和原图重合，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项，的变形属于因式分解． B选项，的左边已是整式乘积形式，不属于因式分解． C选项，的右边不是乘积形式，不属于因式分解． D选项，的右边含分式，不是整式乘积，不属于因式分解． 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式构建关于的不等式求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 选项中仅A的满足． 4. 如图，四边形中，，，则补充下列条件不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 选项A：若补充，有一个内角是的平行四边形是矩形，因此可以判定平行四边形为矩形，不符合题意； 选项B：若补充，则，对角线相等的平行四边形是矩形，因此可以判定平行四边形为矩形，不符合题意； 选项C：若，根据等角对等边得，则，对角线相等的平行四边形是矩形，因此可以判定平行四边形为矩形，不符合题意； 选项D：平行四边形本身就对边相等，是平行四边形的固有性质，不能判定平行四边形为矩形，符合题意． 5. 如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用网格平行线性质证明，得出线段比例关系，结合勾股定理求解． 【详解】解：由图可知， ， ， ，  ，  由网格可知， ∴，  ，  由勾股定理得 ， ． 6. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“菱形对角线互相垂直且互相平分”得点是的中点，根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”得，在中，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点，， ∴，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴ ． 7. 如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（ ）． A. B. 2.5 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，结合正方形性质证得为直角三角形，利用勾股定理，以及直角三角形斜边中线定理求解，即可解题． 【详解】解：连接、. ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，， ∵点在上，， ∵，， 则，， 在中，， ∵是的中点， ∴． 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 10. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 【答案】39 【解析】 【分析】根据旋转性质得，旋转角为，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵按顺时针方向旋转一个角后成为，， ∴，旋转角为， ∵， ∴， 故旋转角等于． 11. 如图，中，，，，，分别是，的中点，则的长是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线定义，结合，分别是，的中点，即可得是的中位线，根据三角形中位线性质即可得，再根据勾股定理求出，即可得的长. 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的长是4. 12. 若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 【答案】 或 【解析】 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 去分母，得，整理得：， 情况1：若整式方程无解， ∵当一次项系数为时，整式方程无解， ∴，解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， ∵原分式方程的增根满足，即， ∴把代入，得， 解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 13. 一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 【答案】10 【解析】 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 【详解】解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为 厘米，总身高为厘米， ∵ 黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴ ， ∴ ， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 14. 如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转构造等边三角形，将转化为折线段，当，，，共线时和最小，此时最小值为的长；在等腰直角中求出的长，再在中利用勾股定理求出的长 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，，过点作于点，则，，，，， ，， 是等边三角形， ， ， 当四点共线时，的值最小，最小值为的长， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， 在中，，， ，， ， ， ∴在中， ． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解一元二次方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 原方程移项得， 配方得， 开方得， 解得，． 【小问2详解】 原方程移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 16. 解分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】解分式方程的关键是去分母，将分式方程转化成整式方程求解，最后必须检验，排除增根． 【小问1详解】 解：两边同乘，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 17. 分式化简求值：，其中x为满足的整数． 【答案】原式化简结果为，符合条件的整数，代入得原式的值为． 【解析】 【详解】解： ； ∵x为满足的整数， ∴x的值为， 当时，分式无意义， ∴x的值为0， 时，原式． 18. 如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点D，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，并截取，则四边形为菱形． 【详解】略 19. 如图，平分，，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定和性质，得到，推出，即可求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】（1）的取值范围是且； （2）所求代数式的值为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； 【小问2详解】 解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 21. 先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】（1） （2） （3）该长方形的周长为． 【解析】 【分析】（1）把看成一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）先把前三项利用完全平方公式变形，再利用平方差公式继续分解； （3）先对给定的等式进行变形，通过因式分解求出的值，进而求出长方形的周长． 【小问1详解】 解：因式分解， 设，则原式可化为， 则． 再把代回，得到原式． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， ， 设，则 ， ， 解得． 因为长方形的周长， 把代入，得到． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等角对等边的性质，得出，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； （2）设，由勾股定理可得，从而列方程求出，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， ，， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：，即， ． 23. ．已知四边形是正方形，点E是边上的任意一点，，且直线交正方形外角的平分线于点F． （1）如图，求证：； （2）如图，当，点E是边的中点时，请求出的长． 【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， 是正方形的外角的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）截取，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出和全等即可； （2）取中点，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出和全等即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：取中点，连接， ，为中点，为中点， ， ， ， 是正方形的外角的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，点是边的中点， ， 又， ∴， ． 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为． （2）购买的这种健身器材的套数为套． 【解析】 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2022年的25万人增加到2024年的36万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据社区向该公司支付货款15万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该市近两年参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于50套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为100套． 25. 如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． （1）请直接用含t的代数式表示的长和的长； （2）当t等于何值时，与相似？ 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 26. 无动力游乐园是现在提倡的低碳儿童娱乐场所，它不依赖电力、机械等外部动力源驱动游乐设施，主要依靠重力、惯性等自然物理原理和人体力量提供游乐体验，从而大大减少了能源消耗和碳排放．某一游乐园正规划建设无动力娱乐项目． 【问题提出】 （1）如图1，规划可以摆动的龙造型秋千，制作定长度的龙秋千，需要计算搭建的安全框架和绳索用料．如图2，框架最左边距离龙秋千高度为，最右边距离龙秋千高度为，横跨的长度为，龙秋千是定长，假设摆动过程中绳索具有伸缩性，可以让龙秋千在固定的高度所在直线上左右移动，则通过测量实际数据要计算两侧绳索与之和的最小值时，首先要将定长______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择）至点处，然后将点关于直线______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择），再计算即可； 【数学模型】 （2）数学兴趣小组在研究一类含等边三角形转动问题时，发现只要将要解决的线段所在三角形绕着已知等边三角形中的定点旋转就能解决问题．如图3在中，，，，点在边上，且，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，当点转动到时，请求出此时的长度并说明理由； 【解决问题】 （3）游乐园规划在一块平行四边形休闲场地上建小池塘设置捞鱼项目．如图4是地形平面图平行四边形，经测量知，长为米，长为米，在边上选择一处设置家长休息观赏区，长米，规划从入口处搭建水上吊桥到休息观赏区处，之后以为边在其右侧修建等边型空中步道，还需要修建从入口通往处的吊桥，是否存在方案使得两个吊桥与之和有最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）平移； 对称 （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴，． 连接，取中点，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在上取点，使，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）存在，理由如下： 以为边向下作等边三角形，则，， 在等边三角形中，，， ∴， ∴， ∴． 在上截取， ∵在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线对称的点，则， ∴， ∴，当且仅当、、三点共线时取等号． 过点作，交延长线于点，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴米，米， ∴米． ∵为等边三角形， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴米， 在中，米， 即的最小值为米． 【解析】 【分析】（1）因为是定长，所以把平移到处，实现线段的转化；再将点关于直线对称，把折线段转化为两点之间线段最短，利用 “两点之间线段最短” 求最小值即可； （2）先在中算出各边长度，由确定点位置；连接，取中点，易证为等边三角形，进而求得为直角三角形，为等边三角形；线段绕点顺时针旋转至，所以，，是等边三角形，构造手拉手全等三角形，把线段长转化为线段，计算线段长，即可得到线段长度； （3）以为边向下作等边三角形，易证，将线段转化为线段，即；因为是上定长米，所以平移转化；再利用 “两点之间线段最短”，可得，当且仅当、、三点共线时取等号；构造，利用勾股定理求得线段的长度，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：将平移至处，点的对应点为点， ∴，, ∴四边形是平行四边形， ∴， 作点关于直线对称点，连接，，则， ∴，则即为的最小值； 首先要将定长平移至点处，然后将点关于直线对称，再计算即可；故答案为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学大练习 （总分120分 总时长120分钟） 一、选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1. 为宣传科技创新与绿色发展理念，某科技馆设计了以下标识图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 如图，四边形中，，，则补充下列条件不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形和正方形中，D在上，，，H是的中点，则长为（ ）． A. B. 2.5 C. D. 2 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 11. 如图，中，，，，，分别是，的中点，则的长是______. 12. 若关于x的分式方程无解，那么实数m的值是______ 13. 一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 14. 如图，在中，，且，是内一点，若的最小值为，则的长度为______． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解一元二次方程： （1）； （2） 16. 解分式方程： （1）； （2） 17. 分式化简求值：，其中x为满足的整数． 18. 如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点D，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，平分，，若，，求的长． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 21. 先阅读材料，再解答问题： 因式分解：， 解：将“”看成一个整体，设， 则原式， 再将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 22. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. ．已知四边形是正方形，点E是边上的任意一点，，且直线交正方形外角的平分线于点F． （1）如图，求证：； （2）如图，当，点E是边的中点时，请求出的长． 24. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的25万人增加到2024年的36万人． （1）求该市近两年参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，某社区决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买量不超过50套，每套售价为2000元；若购买量超过50套，则购买量每增加5套，每套售价可降低50元，但每套最低售价不得少于1200元．已知社区向该公司支付货款15万元，求购买的这种健身器材的套数． 25. 如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． （1）请直接用含t的代数式表示的长和的长； （2）当t等于何值时，与相似？ 26. 无动力游乐园是现在提倡的低碳儿童娱乐场所，它不依赖电力、机械等外部动力源驱动游乐设施，主要依靠重力、惯性等自然物理原理和人体力量提供游乐体验，从而大大减少了能源消耗和碳排放．某一游乐园正规划建设无动力娱乐项目． 【问题提出】 （1）如图1，规划可以摆动的龙造型秋千，制作定长度的龙秋千，需要计算搭建的安全框架和绳索用料．如图2，框架最左边距离龙秋千高度为，最右边距离龙秋千高度为，横跨的长度为，龙秋千是定长，假设摆动过程中绳索具有伸缩性，可以让龙秋千在固定的高度所在直线上左右移动，则通过测量实际数据要计算两侧绳索与之和的最小值时，首先要将定长______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择）至点处，然后将点关于直线______（在几何变换“对称”、“平移”、“旋转”中选择），再计算即可； 【数学模型】 （2）数学兴趣小组在研究一类含等边三角形转动问题时，发现只要将要解决的线段所在三角形绕着已知等边三角形中的定点旋转就能解决问题．如图3在中，，，，点在边上，且，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，当点转动到时，请求出此时的长度并说明理由； 【解决问题】 （3）游乐园规划在一块平行四边形休闲场地上建小池塘设置捞鱼项目．如图4是地形平面图平行四边形，经测量知，长为米，长为米，在边上选择一处设置家长休息观赏区，长米，规划从入口处搭建水上吊桥到休息观赏区处，之后以为边在其右侧修建等边型空中步道，还需要修建从入口通往处的吊桥，是否存在方案使得两个吊桥与之和有最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $