10.1平面及其基本性质同步练习-2026学年沪教版高二数学必修第三册

**基本信息** 本同步练习以“平面及其基本性质”为核心，通过基础概念辨析、空间关系推理到综合论证的三级分层设计，强化符号语言应用与空间观念构建，适配新授课知识巩固与逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平面符号表示、公理及推论（填空1-4）|以填空形式强化概念记忆，培养抽象能力| |中档层|平面交线分析、共面判定（填空5-12、单选）|结合正方体模型考查空间关系，发展空间观念| |提高层|共面证明、截面作图、体积计算（解答题）|通过综合论证题深化逻辑推理，体现数学思维严谨性|

10.1 平面及其基本性质-同步练习-2026学年沪教版高二数学必修第三册 1. 填空题 1. 用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 1. 若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有______条. 1. 公理2的推论1可用符号语言表述为：若__________，则存在唯一的平面，使得. 1. 平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 1. 已知平面和直线，且 则与的位置关系是___________． 1. 以下四个命题正确的是______． ①三个平面最多可以把空间分成八部分 ②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 ③若，直线平面，直线平面，且，则 ④若n条直线中任意两条共面，则它们共面 1. 下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 1. 将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 1. 如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    1. 有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交. 其中真命题的序号是________. 1. 如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    1. 单选题 1. 命题四点共面，命题四点中有三点共线，则是的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1. 空间四点A、B、C、D，如果其中任意三点不共线，则经过其中三个点的平面有（ ） A. 一个或四个 B. 一个或三个 C. 一个或两个 D. 两个或三个 1. 已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A. 由直线平面可唯一确定 B. 由直线平面可唯一确定平面 C. 由直线平面可唯一确定 D. 由平面平面可唯一确定平面 1. 下列命题是真命题的是（    ） A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线 C. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D. 三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 1. 解答题 1. 将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求． 1. 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． 1. 证明：四点共面． 1. 证明：直线，，经过同一点． 1. 如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 1. 如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    1. E、F、G、四点共面； 1. EH、FG必相交且交点在直线BD上． 1. 在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且. 1. 求证：E、F、G、H四点共面； 1. 若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值. 10.1 平面及其基本性质-同步练习-2026学年沪教版高二数学必修第三册 一、填空题 1．用集合符号表述语句“平面经过直线”：________． 【答案】 2．若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 3．若三个平面α，β，γ两两相交，则这三个平面的交线有______条. 【答案】一或三 4．公理2的推论1可用符号语言表述为：若__________，则存在唯一的平面，使得. 【答案】 5．平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 6．已知平面和直线，且 则与的位置关系是___________． 【答案】平行或相交 ，，当与相交或平行时，都能找到且， 7．以下四个命题正确的是______． ①三个平面最多可以把空间分成八部分 ②已知四个点不共面，则其中任意三点不共线 ③若，直线平面，直线平面，且，则 ④若n条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】①②③ 命题①，一个平面将空间分成两部分； 再加一个平面，若第二个平面与第一个平面平行，则将空间分成三部分，若两个平面相交，则将空间分成四部分，所以两个平面最多将空间分成四部分； 若想将空间分成尽量多的部分，前两个平面必相交，第三个平面与前两者也均相交，当三个平面交于同一条直线时空间被分成六部分，当三个平面两两相交，有三条交线时，若三条交线平行则空间被分成七部分，若三条交线均不互相平行则空间被分成八部分，所以三个平面最多可以将空间分成八部分，①正确； 命题②，四点不共面，则这四点一定不共线，由基本事实可知，直线和直线外一点有且只有一个平面，若有三点共线，则这三点与第四点必然共面，故这四点中必然任意三点都不共线，②正确； 命题③，因为，所以且，因为，，所以，，因为，所以，③正确； 命题④，若这条直线是棱柱的侧棱，它们均平行，因为平行直线能确定一个平面，所以任意两条都共面，但这条直线并不共面. 8．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 9．将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 【答案】12 当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分． 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故，，所以． 10．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是______．    【答案】共线 ∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      11．有以下三个命题： ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示； ③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交. 其中真命题的序号是________. 【答案】①③ 若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，①正确； 直线l在平面α内用符号“”表示，即，②错误； 由且a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，③正确. 12．如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    【答案】 连接交于，连接、，    由，面，则面， 又面，而面面，故， 所以是与的交点，又， 所以， 所以. 二、单选题 13．命题四点共面，命题四点中有三点共线，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 当四个点共面时，不一定有三点共线，即充分性不成立； 空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即必要性成立， 命题四点共面是命题四点中有三点共线的必要不充分条件． 14．空间四点A、B、C、D，如果其中任意三点不共线，则经过其中三个点的平面有（   ） A．一个或四个 B．一个或三个 C．一个或两个 D．两个或三个 【答案】A 情况 1：A、B、C、D 四个点落在同一个平面内，任意三点确定的都是这个平面，因此只有 1 个平面， 情况 2：四点不共面，从 4 个点中任选 3 个确定一个平面，分别是平面 、平面、平面、平面，共4 个不同平面， 综上，平面数量为一个或四个. 15．已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 【答案】C 对于A，过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故A错误； 对于B，过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误； 对于C，过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确； 对于D，过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误． 16．下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 B．若四点不共面，则其中任意三点不共线 C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分 【答案】B A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误； B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确； C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥,相交于同一点的三条直线不在同一平面内，所以该选项错误； D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误. 故选：B 三、解答题 17．将边长为的正三角形，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为，求． 【答案】由题意，在平面直角坐标系中，三角形是边长为的正三角形， 所以，边上的高为， 按“斜二测”画法如下图所示： 可得，， 在三角形中，， 由余弦定理得 . 18．如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 【答案】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 19．如图，正方体中，分别为的中点，画出过的截面． 【答案】 【详解】延长交于，延长交于， 连接交于，连接交于， 连接，所得到的五边形就是截面． 20．如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. (2)   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 21．在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且. (1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)若平面EFGH截四面体ABCD所得的五面体的体积占四面体ABCD的，求k的值. 【答案】 (2) 【详解】（1）证明：连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以，又， 所以，所以，所以E、F、G、H四点共面； （2）延长，则必交于点， 证明如下：设， 因为平面， 所以平面， 同理平面， 又平面平面， 所以 ， 所以，则必交于点， 取的中点，连接， 因为， 所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以，即， 所以，即， 所以， 解得或， 又因为， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $