10.1.2 相交平面（题型专练）数学沪教版2020高二必修第三册

10.1.2 相交平面 题型一 平面的交线 1．如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点G及AC． (2)过三点E，F，D1． 2．如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    3．如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由． 4．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线．    （2）如图，直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．    题型二 平面基本性质、平面的确定 1．在正方体中． (1)与是否在同一平面内？请说明理由； (2)点B、、D是否在同一平面内？请说明理由； (3)画出平面与平面的交线；画出平面与平面的交线． 2．已知正方体，，分别是棱，的中点． （Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由； （Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 3．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 4．如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，AB的中点． (1)求证：四边形EFCD1是梯形； (2)证明：直线D1E，DA，CF共点． 题型一 证明平面相交 1．在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 2．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，求证：平面 与平面相交． 题型二 截面问题 1．已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（   ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 2．如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    3．如图所示，今有一正方体木料，其中M、N分别是AB、CB的中点，要过、M、N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？ 4．如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 .    5．如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 . 6．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 7．如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 8．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 1．已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为 . 2．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 3．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 4．如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.2 相交平面 题型一 平面的交线 1．如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线． (1)过点G及AC． (2)过三点E，F，D1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N，从而可以得到过点G及AC的平面 （2）根据两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，即可作出交线 【详解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N； 连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示． （2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q； 连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N； 连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示． 2．如图，在长方体，P为棱的中点，画出由，，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．    【答案】画图见解析 【分析】画平面与长方体不同的表面的交线，只需找到两平面的两个公共点，两点确定交线即可. 【详解】如图，由于P是上的点，所以平面，且平面， 所以平面平面=， 同理，平面平面=，平面平面=， 所以平面与长方体表面的交线是，，. 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线（如图）．    3．如图所示，在正方体中，E、F分别为、的中点，画出平面与平面的交线，并说明理由． 【答案】答案见解析. 【分析】找到交线上的两个公共点，根据基本事实3即可得到结果. 【详解】如图所示，在平面内延长，交的延长线于一点，则平面．因为平面，所以平面，所以是平面与平面的一个公共点．又是两平面的一个公共点，所以为两平面的交线． 4．（1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线．    （2）如图，直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．    【答案】详见解析. 【分析】（1）先记与的交点为，连接，即可得出交线； （2）延长和交于点，再连接，即得到交线. 【详解】（1）记与的交点为，连接，则即为平面与平面的交线，如图：    （2）延长和交于点，连接，即为平面和平面的交线，如图：    题型二 平面基本性质、平面的确定 1．在正方体中． (1)与是否在同一平面内？请说明理由； (2)点B、、D是否在同一平面内？请说明理由； (3)画出平面与平面的交线；画出平面与平面的交线． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由两平行直线可确定一平面，可得答案； （2）由不共线三点可确定一平面，可得答案； （3）如图，找到两平面的公共点，公共点连线为平面交线. 【详解】（1）是，平行直线确定一平面； （2）是，不在同一直线上三点确定一平面 （3）如图，设，又平面， 平面，平面，平面，则平面， 平面，故平面与平面的交线为； 如图，设. 因平面，平面，平面，平面， 则平面，平面.故平面与平面的交线为. 2．已知正方体，，分别是棱，的中点． （Ⅰ）画出平面与平面的交线，并说明理由； （Ⅱ）设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）利用平面的基本性质即可得到； （Ⅱ）由题可知点平面，平面，即可证明. 【详解】（Ⅰ）如图所示，直线即为平面与平面的交线， 理由如下： 在正方体中， ∵，分别是棱，的中点， 平面，平面，且与不平行， ∴在平面内分别延长，， 则与必相交于一点，不妨设为点， ∴，， ∵平面，平面， ∴平面，平面， 即为平面和平面的公共点， 又∵为平面和平面的公共点，连接， ∴直线即为平面与平面的交线． （Ⅱ）证明：如图所示，在正方体中， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∵为直线与平面的交点， ∴，又∵平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴， ∴，，三点共线． 3．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）通过平面，将延长后必与相交，设交点为，连接，即为过点，，的平面与平面的交线. （2）由可知，进而可通过勾股定理求得的长. 【详解】（1）如下图所示，∵平面，与不平行，∴与必相交．设交点为，连接． ∵平面，平面， ∴过点，，的平面与平面的交线为. （2）∵，∴，∴． ∴. 4．如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据中位线及等比分点可得平行，进而可证四点共面； （2）结合面面位置关系可得证. 【详解】（1）   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. （2）   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，AB的中点． (1)求证：四边形EFCD1是梯形； (2)证明：直线D1E，DA，CF共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】(1)利用平行于同一直线的两直线相互平行得且，故四边形EFCD1是梯形； (2)空间中要证三线共点可使用公理：若两平面有公共点，有且仅有一条通过该点的公共直线. 【详解】（1）如图，连接EF，CD1，A1B， ∵AF＝BF，AE＝A1E，∴且 ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，且， ∴四边形为平行四边形， ∴且， ∴且， ∴四边形EFCD1是梯形； （2）由（1）可知，与CF一定相交，设， 所以，平面，所以平面， 同理可得平面AC， 所以平面平面， 又平面平面＝AD，所以， 所以直线，DA，CF共点． 题型一 证明平面相交 1．在正方体中，分别为，的中点.求证：平面与平面相交. 【答案】证明见解析 【分析】由延长CE与，会相交于一点，即可求证； 【详解】证明：在正方体中，E为的中点， 与不平行. 延长CE与，延长线相交于一点， ，. 又平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面相交. 2．如图，在正方体中，E，F分别为，的中点，求证：平面 与平面相交． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得与不平行，则延长与必交于一点，设为点H，然后证明点H为两平面的公共点，则由公理3可得平面与平面相交． 【详解】证明：在正方体中，E为的中点， 所以，， 所以四边形为梯形， 所以与不平行， 所以延长CE与必交于一点，设为点H， 所以，且， 又平面，平面， 所以平面，平面， 所以点H为平面与平面的公共点， 所以平面与平面相交． 题型二 截面问题 1．已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（   ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】由题意，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，作出截面图形可得结论. 【详解】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形. 故选：B． 2．如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 3．如图所示，今有一正方体木料，其中M、N分别是AB、CB的中点，要过、M、N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？ 【答案】答案见解析 【分析】根据空间点线面位置关系可解.连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN；同理延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP即可. 【详解】作法如下： (1)连接MN并延长交DC的延长线于F，连接交于Q，连接QN； (2)延长NM交DA的延长线于E，连接交于P，连接MP； (3)依次在正方体各个面上画线，PM，MN，NQ，，即为木工师傅所要画的线． 4．如图，正方体的棱长为分别是的中点，设过三点的平面与交于点的长为 .    【答案】/ 【分析】设三点确定的平面为，直线与直线交于点，连接，如图所示，由题意知，与的交点为，连接，可得直线是平面与平面的交线，在中求解即可. 【详解】设三点确定的平面为，则与平面的交线为直线. 设直线与直线交于点，连接，如图所示， 则直线是与平面的交线. 由题意知，与的交点为，连接， 则直线是平面与平面的交线. 由题意知. 因为，所以， 所以. 在中，， 所以. 故答案为：    5．如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长. 【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接， 则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图， 显然，，则， ，，而， 所以五边形的周长为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 6．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 7．如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； （2）利用（1）直接求解. 【详解】（1）如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，（在线段的延长线上）， 与平面的交线是（在线段上）． （2）由（1）可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 8．如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． (1)画出过点的平面与平面及平面的两条交线； (2)设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【答案】(1)图象见解析； (2) 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【详解】（1）如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. （2）由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 1．已知正方体的棱长为2，点P，Q分别为BC，的中点，则过点，P，Q的平面截正方体所得的截面的周长为 . 【答案】 【分析】根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点， 连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为 ． 故答案为：. 2．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形，由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 3．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）    ①当时，为等腰梯形. ②当时，与的交点满足. ③当时，为四边形. ④当时，的面积为. 【答案】①②④ 【分析】根据题意作出图形，由相关知识对选项一一判断即可得出答案. 【详解】①如图当时，即为中点，此时可得， ， 故可得截面为等腰梯形，故①正确；    ②当时，如图， 延长至，使，连接交于，连接交于， 连接，可证，由， 可得，故可得，故②正确；    ③由②可知当时，只需点上移即可， 此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故③错误； ④当时，与重合，取的中点，连接， 可证，且， 可知截面为为菱形，故其面积为，故④正确．    故答案为：①②④ 4．如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据两平面相交，只有一条交线，以及确定平面的依据，即可作出不同的截面图形； （2）首先根据确定平面的依据，作出截面，方法一，根据作图的过程，可以选择减法求截面的面积，方法二，根据截面为等腰梯形，根据梯形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形, 如图，取上一点，连结，即为截面三角形；    如图，取线段上，靠近点处的一点，延长， 连结，，连结，则四边形为截面四边形；和    取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形.    如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点， 连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形.    （2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z； 连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y； 连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面． ∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C），∴，，， 可得，，，， 又，，所以，，，， 又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形， 所以，，，，， ∴为等腰三角形，等边上的高为， ， 所以    方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高为，所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$