指数函数、幂函数、对数函数增长模型学习解读讲义-2026-2027学年上学期高一数学北师大版必修第一册

本讲义聚焦高中数学指数函数、幂函数、对数函数增长模型核心知识点，先梳理三种函数在（0，+∞）均为增函数的共性，再通过具体函数y=2ˣ、y=x²、y=log₂x的图像与增长特点对比，归纳出指数函数增长最快、对数函数最慢、幂函数居中的规律，为函数应用学习提供支架。 该资料以具体函数为载体，通过图像观察与实例分析（如公司奖励模型选择）培养数学眼光，归纳规律时注重逻辑推理发展数学思维，典例与精练结合生活情境强化数学语言表达。课中助教师直观展示增长差异，课后学生可借精练巩固知识，有效查漏补缺。

指数函数、幂函数、对数函数增长模型学习案例 指数函数、幂函数、对数函数是高中阶段的三种常见函数.在区间（0，+∞）上，这三种函数都是增函数，但增长速度不同，而且不在同一个“档次”上. 为了更具体地研究这三种函数增长模型，我们举三个具体的函数：幂函数y=x2，指数函数y=2x，对数函数y=log2 x，并将三种函数的图像绘在如下同一坐标系中. 通过对指数函数、幂函数、对数函数模型的研究，我们可以归纳得到三种函数的增长特点及增长比较. 一、增长特点 （1）当a＞1时，指数函数y=ax在定义域R上是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快.即当a越大，随着x＞0的增大，其图像在第一象限就越高越上； （2）当a＞1时，对数函数y=loga x在定义域（0，+∞）上是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快.即当a越小，随着x＞1的增大，其图像在第一象限也越高越上； （3）当x＞0，n＞1时，幂函数y=xn在区间（0，+∞）上也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快.即当n越大，随着x＞1的增大，其图象在第一象限同样越高越上. 二、增长比较 幂函数y=xn（n＞1）和指数函数y=ax（a＞1）增长的快慢在初期可能会交替出现，而随着x的增大，y=ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n＞1）的增长速度，而对数函数y=loga x（a＞1）的增长速度则会越来越慢，图象就将会渐渐与轴平行一样. 总结规律：（1）无论n比a大多少，尽管在增长初期可能会出现ax(a＞1)小于xn的情形，但由于ax的增长速度要快于xn的增长速度.因此总存在一个x0，并当x＞x0时，使得ax＞xn恒成立.且随着x的增大，ax与xn值的差距将越来越大； （2）对数函数y=loga x（a＞1）和幂函数y=xn（n＞1）在增长初期，在一个区间内可能会出现loga x大于xn的情形.但由于loga x的增长速度要慢于xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，有loga x＜xn恒成立，且随着x的增大，loga x比xn值的差距越来越大； （3）若a＞1，n＞1，那么当x足够大时，一定有 ax＞xn＞loga x成立，且随着x的越来越大，它们三者各自的函数值的差距会越来越大； （4）指数函数增长模型适合于描述增长速度极快的变化规律，对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律，而幂函数增长模型介于前面两者之间，适合描述增长速度一般的变化规律. 三、典例精讲 【例1】四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　) A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝ C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x D．a：y＝ax，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝ 【例2】若函数,则方程的解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【例3】以下四个说法中，正确的是( ) A.幂函数增长比直线型函数增长更快 B.对任意, C.对任意, D.不一定存在,使时，总有 【例4】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，，y＝1.002x，其中哪个模型符合该公司要求？ 【例5】某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选_______．作为模拟函数，若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为_________． 四、方法归纳总结 (1)在实际问题中，选择函数模型时，首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异，其次要根据问题的实际需要，辅之以必要的数据计算，从而选择最恰当的函数模型． (2)从上面一些例题可以看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比底数大于1的对数函数模型增长速度要快，从而我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义． (3)指数函数、幂函数和对数函数的增长差异：尽管指数函数y＝ax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)、对数函数y＝logax(a>1)三者在区间(0，+∞)上都是单调递增的，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上； 随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，即总会存在一个实数x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax总成立. 五、课时精练题 1.在下列所给的函数中，增长最快的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝log5x D．y＝5x 2.当x取区间（0，+∞）上的值越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 3.当2＜x＜4时，三个式子2x，x2，log2 x的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 4．设，，，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数、幂函数、对数函数增长模型学习解读 指数函数、幂函数、对数函数是高中阶段的三种常见函数.在区间（0，+∞）上，这三种函数都是增函数，但增长速度不同，而且不在同一个“档次”上. 为了更具体地研究这三种函数增长模型，我们举三个具体的函数：幂函数y=x2，指数函数y=2x，对数函数y=log2 x，并将三种函数的图像绘在如下同一坐标系中. 通过对指数函数、幂函数、对数函数模型的研究，我们可以归纳得到三种函数的增长特点及增长比较. 一、增长特点 （1）当a＞1时，指数函数y=ax在定义域R上是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快.即当a越大，随着x＞0的增大，其图像在第一象限就越高越上； （2）当a＞1时，对数函数y=loga x在定义域（0，+∞）上是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快.即当a越小，随着x＞1的增大，其图像在第一象限也越高越上； （3）当x＞0，n＞1时，幂函数y=xn在区间（0，+∞）上也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快.即当n越大，随着x＞1的增大，其图象在第一象限同样越高越上. 二、增长比较 幂函数y=xn（n＞1）和指数函数y=ax（a＞1）增长的快慢在初期可能会交替出现，而随着x的增大，y=ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn（n＞1）的增长速度，而对数函数y=loga x（a＞1）的增长速度则会越来越慢，图象就将会渐渐与轴平行一样. 总结规律：（1）无论n比a大多少，尽管在增长初期可能会出现ax(a＞1)小于xn的情形，但由于ax的增长速度要快于xn的增长速度.因此总存在一个x0，并当x＞x0时，使得ax＞xn恒成立.且随着x的增大，ax与xn值的差距将越来越大； （2）对数函数y=loga x（a＞1）和幂函数y=xn（n＞1）在增长初期，在一个区间内可能会出现loga x大于xn的情形.但由于loga x的增长速度要慢于xn的增长速度，因此总存在一个x0，当x＞x0时，有loga x＜xn恒成立，且随着x的增大，loga x比xn值的差距越来越大； （3）若a＞1，n＞1，那么当x足够大时，一定有 ax＞xn＞loga x成立，且随着x的越来越大，它们三者各自的函数值的差距会越来越大； （4）指数函数增长模型适合于描述增长速度极快的变化规律，对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律，而幂函数增长模型介于前面两者之间，适合描述增长速度一般的变化规律. 三、典例精讲 【例1】四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　) A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝ C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x D．a：y＝ax，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝ 解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数．b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数，故选C． 【例2】若函数,则方程的解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由题意知方程,即得,从而构造函数,；在同一坐标系中作出这两个函数图象如图所示,由于,且,观察它们的图象知,显然它们有两个的公共点，且容易知当时，总有恒成立，即两个函数的图象在轴的右侧有两个不同的交点，而两图象在轴的左侧也有一个交点，所以由图象可得它们一共有三个不同交点，即方程有三个不同的解,选选C. 【例3】以下四个说法中，正确的是( ) A.幂函数增长比直线型函数增长更快 B.对任意, C.对任意, D.不一定存在,使时，总有 解析：对于选项A：当时,有,但当x足够大时不成立，知A错误；对于选项B和C，忽视了成立的条件a＞1和n＞0，但当0＜a＜1和n＜0就不成立，知B和C均错误；对于选项D，考虑到由于a＞0且a≠1，而n可为任意实数，因而选项D是正确的，故选D. 点评：在考虑指数函数、对数函数和幂函数的增长比较时，一定不要忽视参数a，n的取值会对整体情况产生影响. 【例4】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，，y＝1.002x，其中哪个模型符合该公司要求？ 解析：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x在第一象限的图象如图所示：首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元． 对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上是单调递增的，当x∈(20,1000]时，y>5，因此该模型不符合要求． 对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x在(－∞，＋∞)上是增函数，故当x∈(806,1 000]时，y>5，因此，也不符合要求． 对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上是单调递增的，且当x＝1000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈[10,1000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图象(图略)，由图象可知f(x)在[10,1 000]上是单调递减的，因此f(x)<f(10)≈－0.316 7<0，即log7x＋1<0.25x.所以当x∈[10,1000]时，y<0.25x.这说明，按模型y＝log7x＋1进行奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y＝log7x＋1符合公司要求． 【例5】某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①f(x)＝pqx，②f(x)＝logax＋q，③f(x)＝(x－1)(x－q)2＋p(其中p，q为正常数，且q>2)．若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选_______．作为模拟函数，若f(1)＝4，f(3)＝6，则所选函数f(x)的解析式为_________． 解析：由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足先上升后下降再上升的是f(x)＝(x－1)·(x－q)2＋p，当x＝1时，y＝4且x＝3时，y＝6.于是由条件可得下列不等式组为 且p>0,q>2，解得. 故第一空填③；第二空填f(x)＝(x－1)(x－4)2＋4. 四、方法归纳总结 (1)在实际问题中，选择函数模型时，首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异，其次要根据问题的实际需要，辅之以必要的数据计算，从而选择最恰当的函数模型． (2)从上面一些例题可以看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比底数大于1的对数函数模型增长速度要快，从而我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义． (3)指数函数、幂函数和对数函数的增长差异：尽管指数函数y＝ax(a>1)、幂函数y＝xn(n>0)、对数函数y＝logax(a>1)三者在区间(0，+∞)上都是单调递增的，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上； 随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，即总会存在一个实数x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax总成立. 五、课时精练题 1.在下列所给的函数中，增长最快的是(　　) A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝log5x D．y＝5x 2.当x取区间（0，+∞）上的值越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( ) A. B. C. D. 3.当2＜x＜4时，三个式子2x，x2，log2 x的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 4．设，，，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 六、课时精练题答案与解析 1.D 在题中所给的一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中，增长最快的是指数函数y＝5x，故选D. 2.C 分别取x=2，10，100代入四个函数中，计算其函数值后会发现：和增长非常快，增长缓慢.但由于，而远远大于，从而知是增长速度最快的.故选C. 3.B 本题可采用取特殊值代入法，注意比较x取端点值2和4时三个函数值的大小，且x=3时可直接验证三个函数值的大小关系，易得选项B正确. 4.B 由已知并结合对数函数图象和指数函数图象,易得到a<0,0<c<1，而b＝log23>1，因此有a<c<b成立，故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $