第4章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学习目标 素养要求 1.通过指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，了解指数增长、幂增长、对数增长的意义． 2.能选择、构建函数模型解决实际问题． 1.通过幂函数、指数函数、对数函数增长的比较，培养数学抽象的核心素养． 2.通过选择函数模型解决实际问题，提升数学建模的核心素养 [自主梳理] 知识点　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2 x为例探究一下它们增长的差异． [问题1]　右图是同一直角坐标系中三个函数的图象，当log2 x<2x<x2时，x的范围是什么？ 答：2＜x＜4. [问题2]　当log2 x<x2<2x时x的取值范围是什么？ 答：0＜x＜2或x＞4. [问题3]　从三种函数图象的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？ 答：2x的值增长的越来越快，log2x的值增长的越来越慢． ►知识填空 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 指数函数y＝ax (a>1) 对数函数y＝logbx (b>1) 幂函数y＝xc(x>0，c>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 续表 图象的变化趋势 随着x的增大逐渐近似与y轴平行． 随着x的增大逐渐近似与x轴平行． 随着x的增大逐渐靠近y轴． 增长速度 随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长． 指数爆炸 当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．(　　) (2)当a>1，c>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax<xc<ax成立．(　　) (3)增长速度越来越快的一定是指数函数模型．(　　) (4)由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　) A．一次函数　　　　　　　B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 答案：D 3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1＞y2>y3 B．y2＞y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3＞y1 答案：B 4．三个数0.32 ，log20.3，20.3的大小关系为 ________． 答案：log20.3＜0.32＜20.3 题型一　几类函数模型的增长差异 [例 1]　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A．y＝2022x　　　　　　　B．y＝x2022 C．y＝log2022x D．y＝2022x (2)四个自变量y1，y2，y3 ，y4随变量x变化的数据如下表： x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 32 768 1.05 ×106 3.36 ×107 1.07 ×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________． 解析：(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快． (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化． 答案：(1)A　(2)y2 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax (a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　 　有一组数据如下表： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．v＝log2t B．v＝logt C．v＝ D．v＝2t－2 答案：C 题型二　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例 2]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如右图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2023)，g(2023)的大小． 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2< 10，所以x1<6<x2，2023>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)， 所以f(2023)>g(2023). 因为g(2023)>g(6)， 所以f(2023)＞g(2023)>g(6)>f(6). 由图象判断指数函数、对数函数和 幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．　　 　某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是(　　) A.y＝0.2x　　　　　B．y＝(x2 ＋2x) C．y＝ D．y＝0.2＋log16x 答案：C 题型三　不同函数模型的实际应用 [例 3]　(多选)下图所示的是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是(　　) A．这几年人民生活水平逐年得到提高 B．人民生活费收入增长最快的一年是2016年 C．生活费价格指数上涨速度最快的一年是2017年 D．虽然2018年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善 解析：选ABD　由题意，“生活费收入指数”减“生活费价格指数”所得的差是逐年增长的，故A正确；“生活费收入指数”在2016～2017年最陡，故B正确；“生活费价格指数”在2017～2018年最平缓，故C不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降趋势，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故D正确．故答案选ABD. 用函数图象分析函数模型是一种常见的题型，主要考查学生的识图能力，利用图象信息分析问题和解决问题的能力．这类问题应结合图象的特征，随着自变量的增大，如果函数值增长越来越快，则函数的图象越“陡”，类似于指数函数的图象；如果函数值增长越来越慢，则函数的图象越“缓”．　　 　公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 解：作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图). 观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求． [课堂小结] 1．几种常见函数的增长情况 常数函数 一次函数 指数函数 没有增长 直线上升 指数爆炸 1. 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢，因此总存在一个x0，当x>x0时，logax<xn<ax. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$