4.5 信息技术支持的函数研究 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦y=logₓN（N>0且N≠1）的图象性质探究，通过对比已学对数函数y=logₐx，互换底数与自变量引出新函数，搭建前后知识联系的学习支架。 以GeoGebra等信息技术为工具，学生小组合作绘制N=2、2.5时的函数图象，从直观到抽象总结单调性等性质，培养直观想象与逻辑推理素养，启发式探究提升学生兴趣，辅助教师高效教学。

课题 4.5 信息技术支持的函数研究 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第四章第五节 课程类型 新授 课时安排 1课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 【教学目标】 1. 探究y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的函数图象性质 2. 利用y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的函数图象性质解决相关习题 【教学重难点】 1. 探究y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的函数图象性质（重点） 2. 利用y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的函数图象性质解决相关习题（难点） 教材分析 本节课将信息技术与函数教学相结合，旨在帮助学生更好地理解函数概念，掌握函数性质，以及运用函数解决实际问题。这一节内容不仅是对前面函数知识的深化和拓展，也是培养学生信息技术素养和创新思维的重要途径。 核心素养 1. 数学抽象与直观想象：信息技术工具如GeoGebra、Desmos等数学软件，为函数图象的绘制提供了直观的工具。通过这些工具，学生可以更直观地理解函数图象与性质之间的关系，促进数学抽象和直观想象能力的提升。 2. 逻辑推理与数学建模：在信息技术支持下，学生可以通过函数图象的动态变化，探究函数性质之间的逻辑关系，从而培养逻辑推理能力。 3. 数学建模是函数研究的重要一环。通过信息技术，学生可以更容易地将实际问题抽象成数学问题，建立函数模型，并求解模型，从而培养数学建模能力。 4. 数学运算与数据分析：信息技术可以帮助学生进行快速准确的数学运算，提高运算能力。同时，通过对函数图象和数据的分析，学生可以培养数据分析的能力，理解数据的意义和价值。 5. 信息技术的应用与创新能力：信息技术为函数研究提供了丰富的资源和工具，学生需要学会如何有效地利用这些资源和工具进行学习和研究。同时，学生还需要培养在信息技术环境下进行创新和探索的能力，以适应未来社会的需求。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 探究新知 知识点：y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的图象特点 创设问题情境： 前面我们研究了对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图象和性质，如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即形如y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的函数，那么它的图象和性质是怎样的呢？ 今天让我们来探讨一下。 思考1：根据函数y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的图象，判断它的单调性. 师生活动： 学生小组合作，取N=2,2.5的条件，根据Geogebra作出相应图象，总结得出函数y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的图象得出当N>1和0<N<1时的单调性，教师总结。 预设答案： 一般地， y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的单调性为： 当N>1时，在区间（0，1）和（1，+∞）上单调递减； 当0<N<1时，在区间（0，1）和（1， +∞ ）上单调递增。 思考2：当N变化时，函数y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的图象有什么规律呢？ 师生活动： 学生小组合作，根据函数y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的图象思考当N变化时，函数图象有什么变化，教师总结。 预设答案： ①当N>1时，对于同一个自变量x的取值， 当x>1时，y=logxN的值随着N值的增大而增大； 当0<x<1时， y=logxN 的值随着N值的增大而减小。 ②当0<N<1时，对于同一个自变量x的取值， 当x>1时，y=logxN的值随着N值的增大而增大； 当0<x<1时， y=logxN 的值随着N值的增大而减小。 教师讲解： 综上，无论是N>1还是0<N<1，函数y=logxN的图象都分布在第一、第四象限，并且当x>1时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而增大；当0<x<1时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而减小. 思考3：观察这两幅图，你还有什么发现？想一想，能否给出较为合理的解释呢？ 师生活动：学生自主思考，结合两个函数图象进行分析，发现函数f(x)=logxa的图象与函数g(x)=logx的图象关于x轴对称，教师归纳。 通过情景引入，引出y=logxN（N>0，且N ≠ 1）的图象特点，激发学生的学习兴趣。 例题典析 类型1、对数函数的模型建立 1.有一组实验数据如表所示: 下列所给函数模型较适合的是(　　) A. y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b D.y=a+b(a>0) 【师生活动】 学生分析题目，结合数据找到函数模型，教师讲解。 【解析】 通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变,故选C. 2.如图所示,阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数,则关于该函数的图象正确的是(　　) 【师生活动】 学生分析题目，结合题意分析函数图象的变化，教师讲解。 【解析】由题可知,当 h∈[0,H] 时,S是减函数,故A、B错;由图形阴影面积的变化趋势来看,函数图象变化得越来越慢,故选C. 3.水滴进玻璃容器,如图所示(设单位时间内进水量相同),那么水的高度是如何随时间变化的,请填上与容器匹配的图象的序号. a:　　　　;b:　　　　;c:　　　　;d:　　　　.  【师生活动】 学生分析题目，结合函数图象分析题意，得出答案，教师讲解。 【解析】 容器a和b的水面上升速度是匀速的,且容器a的水面上升得快,因此a对应(3),b对应(2),容器c的水面开始是缓慢上升,后来上升得快,而容器d的水面是开始上升得快,中间较缓慢,后来加快,因此c对应(4),d对应(1). 4.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小. 【师生活动】 学生分析题目，结合函数图象分析题意进行解答，得出答案后，教师讲解。 【解析】 (1) 曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x. (2) ∵f(1)=2>g(1)=1, f(2)=4<g(2)=8, f(9)=512<g(9)=729, f(10)= 1 024>g(10)=1 000,∴1<x1<2,9<x2<10,∴x1<6<x2,2 017>x2. 由题图可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),∴f(6)<g(6). 当x>x2时, f(x)>g(x),∴f(2 017)>g(2 017). 又g(2 017)>g(6),∴f(2 017)>g(2 017)>g(6)>f(6). 通过多个练习题，让学生实际操作换算过程，教师巡视指导，及时纠正错误。 当堂达标 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。 课堂总结 无论是N>1还是0<N<1，函数y=logxN的图象都分布在第一、第四象限，并且当x>1时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而增大；当0<x<1时，对于同一个自变量的取值，函数值随着N值的增大而减小. 回顾本节课的重点内容，强调数列的通项公式重要性。 板书设计 一、函数研究的基本内容 对数函数的概念与性质： 定义域、值域、对应关系等基本概念。 函数的奇偶性、单调性、有界性等基本性质。 基本函数及其图象： 对数函数的定义、性质与图象。 二、信息技术支持的函数研究的意义 提高教学效率：介绍信息技术如何帮助教师更高效地呈现函数教学内容。 增强学习体验：讨论信息技术如何提升学生的学习体验，如通过互动演示增加学习的趣味性和深度。 培养核心素养：强调信息技术支持的函数研究在培养数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养方面的作用。 教学设计反思 一、教学目标达成情况 知识目标：回顾教学过程中是否有效地利用信息技术工具（如GeoGebra、Desmos等）帮助学生深入理解了函数的概念、性质以及常见函数的图象和特性。 技能目标：思考学生是否掌握了使用信息技术工具进行函数图象绘制、性质探究和数据分析的基本技能。 情感与态度：评估学生在信息技术环境下对函数研究的兴趣和积极性是否有所提升，以及他们是否愿意主动探索和利用信息技术进行数学学习。 二、教学内容与方法的反思 内容选择：检查教学内容是否贴近学生实际，是否符合学生的认知水平，以及是否充分利用了信息技术的优势。 教学方法：反思是否采用了多样化的教学方法，如探究式教学、合作学习等，以激发学生的学习兴趣和主动性。同时，也要思考如何更好地将信息技术融入教学方法中，提升教学效果。 信息技术应用：评估在教学过程中信息技术工具的使用是否得当，是否真正起到了辅助教学的作用。同时，也要思考如何进一步发挥信息技术的优势，如利用动态图象、交互演示等功能，帮助学生更直观地理解函数知识。 三、学生反馈与课堂互动 学生反馈：收集学生对信息技术支持的函数研究的反馈意见，了解他们对教学内容、方法和信息技术的看法和建议。 课堂互动：回顾课堂互动情况，评估学生是否积极参与讨论、提问和合作学习等活动。同时，也要思考如何更好地利用信息技术促进课堂互动，提升学生的学习效果。 四、教学改进与未来展望 教学改进：根据教学反思的结果，提出针对性的教学改进措施，如优化教学内容、改进教学方法、加强信息技术应用等。 未来展望：展望信息技术在函数研究教学中的未来发展趋势，思考如何更好地将信息技术与数学教学相结合，推动数学教学的创新和发展。同时，也要关注学生的学习需求和发展趋势，为他们提供更加优质、高效的数学教学服务。 通过以上教学反思，我们可以不断总结经验教训，提升教学效果，为学生提供更加优质、高效的数学教学服务。 学科网（北京）股份有限公司 $