25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦因式分解法解一元二次方程，通过物理上抛问题导入，先复习配方法、公式法，再对比引出更简便的因式分解法，搭建从已知解法到新知的学习支架。 其亮点在于以问题情境培养数学眼光，通过多种解法对比发展数学思维，步骤口诀化助力数学语言表达，如“右化零 左分解 两因式 各求解”。实例有引例对比三种解法，方法选择表辅助择优，帮助学生养成严谨习惯，教师可高效实施教学。

（人教版）九年级上 第二十五章 一元一次方程 25.2.3 因式分解法 22051 2 1.经历“观察方程结构一因式分解一降次转化—求解方程”的探究过程，体会转化、降次的数学思想.通过多种解法对比，学会辨析不同解方程方法的适用场景，培养归纳总结、择优解题的思维能力。 2.在简便解题的探究过程中，感受数学方法的多样性与简洁性，提升数学学习兴趣.养成先观察、再解题、规范书写的良好数学习惯，培养严谨的代数运算思维。 学习目标 22051 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2−4ac 务必将方程化为一般形式 复习导入 22051 引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10x−4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x−4.9x2 =0 ① 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 解： 解： ∵ a=4.9,b=−10,c=0. ∴ b2－4ac = (－10)2－4×4.9×0 =100. 公式法解方程10x−4.9x2=0. 配方法解方程10x−4.9x2=0. 方程可化为4.9x2−10x=0. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 后离地面的高度（单位：m）约为 10x-5. 提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即10x-5=0. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 思考：已经学习的配方法、公式法可以解吗？ 22051 问题 解： 配方法 公式法 解： a = 5，b =－10，c = 0. b2－4ac= (－10)2－0=100 10x-5=0 10x-5=0 2， 0 -2x=0 -2x+1=1 2， 0 =1 =±1 你还能找到更简便的方法解这个方程吗？ 22051 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x−4.9x2 =0 ① x(10−4.9x) =0 x =0 10−4.9x=0 ② 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念： 因式分解法的基本步骤： 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 探究点1：因式分解法解一元二次方程 【归纳总结】 22051 问题 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x-5=0 x（10-5x）=0 或 x=0 10-5x=0 2， 0 22051 思考 解方程10x-5x2=0 时， 二次方程如何使降为一次的？ 解方程10x − 5x2 = 0时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 22051 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x−2)=0； (1) x1=0，x2=2； (2) (y+2)(y−3)=0； (2) y1=−2，y2=3 ； (3) (3x+6)(2x−4)=0； (3) x1=−2，x2=2； (4) x2=x. (4) x1=0，x2=1. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 例1 解下列方程： 解：(1)因式分解，得 于是得 x−2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=−1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x−1 )=0. 于是得 2x＋1=0或2x−1=0, (x−2)(x＋1)=0. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项，把方程变形为x2+px+q=0的形式； （2）把方程因式分解为(x-x1)(x-x2)=0的形式； （3）把方程转化为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； （4）解两个一元一次方程，求出方程的根. 22051 试一试 直接说出下列方程的根： （1）(3x+6)(2x–4) = 0； （2）(x+2)(x–3) = 0； （3）(x+5)(x–1) = 0； （4）x(x–2)= 0； （5）x2 = x. x1= –2，x2= 2. x1= –2，x2= 3. x1= –5，x2= 1. x1= 0，x2= 2. x1= 0，x2= 1. 22051 练一练 解下列方程： (1)(x+1)2=5x+5； ∴x1=4，x2=−1． (2)x2−6x+9=(5−2x)2． 解：∵(x+1)2=5(x+1)， ∴(x+1)2-5(x+1)=0， 则(x+1)(x−4)=0， ∴x+1=0，或x−4=0， 解：方程整理得 (x−3)2−(5−2x)2=0，则 [(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0， ∴−x+2=0，或3x−8=0， x1=2，x2= . 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 十字相乘法 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 例4 解下列方程： (1) x(x−2)+x−2=0； (2) 5x2−2x−​=x2−2x+. 解：(1)左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . (2) 移项、合并同类项，得 ， 左边分解因式，得 ， 于是 ， 即 . 22051 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 22051 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 试一试 解方程：x2+6x-7=0. 解：因式分解得 (x+7)(x−1)=0. ∴x+7=0,或x−1=0. ∴x1=−7,x2=1. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 练一练 解下列方程： (1)x2−5x+6=0； 解：分解因式， 得(x−2)(x−3)=0， (3)(x+3)(x−1)=5； 解：整理得x2+2x−8=0， (4)2x2−7x+3=0. (2)x2+4x−5=0； 解：分解因式， 得(x+5)(x−1)=0， 解：分解因式， 得(2x−1)(x−3)=0， 解得x1=2，x2=3. 解得x1=−5，x2=1． 解得x1=−4，x2= 2. 分解因式， 得(x+4)(x−2)=0， 解得x1= ，x2=3. 探究点1：因式分解法解一元二次方程 22051 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 直接开平方法 平方根的意义 x2=n (n≥0) 或(ax+b)2=n (a≠0，n≥0) 型方程. 开平方 求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程. 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程. 配方 解法烦琐，当二次项系数为 1 或常数项较大时，用此法较简单. 公式法 配方 所有一元二次方程. 代入求根公式 对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误. 因式分解法 若 ab=0， 则 a=0 或 b=0 能化为一边为 0，另一边为两个一次式积的形式的方程. 分解因式 求解迅速、准确，但适用范围较小. 22051 试一试 ①x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ； ③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ； ⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；⑦ 3y2-y-1=0； ⑧ 2x2+4x-1=0； ⑨ (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . ⑥ ② ③ ⑤ ⑨ ① ⑦ ⑧ ④ 22051 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 解法选择基本思路： 探究点2：选用适当的方法解方程 22051 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 x2 + px + q = 0 (p2− 4q ≥0) (x+m)2＝n (n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0 (a≠0 ， b2−4ac≥0) (x + m) (x + n)＝0 探究点2：选用适当的方法解方程 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 26 因式分解法 解一元二次方程 概念 将方程左边因式分解，右边=0. 依据 如果ab=0，那么a=0，或b=0. 步骤 一移，二分，三化，四解. 课堂小结 22051 谢谢大家聆听 22051 $