25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过问题引导学生观察求根公式结构特征，从已学求根公式出发，搭建探究支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于采用求根公式计算和因式分解展开两种推导方法，培养学生推理能力，例题强调将方程化为一般形式，发展抽象能力（符号意识），课堂小结回顾探究途径激发创新意识。学生能提升数学思维，教师可借助清晰路径和练习提高教学效果。

第二十五章　一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 新课导入 　　问题 1　若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个实数根分别为 x1，x2， 关于方程的根与系数的关系，你能得出哪些结论？说一说你的想法和依据． 　　ax2＋bx＋c＝0（a≠0）　当 Δ≥0 时，x＝ ． －b± b2－4ac 2a 新知探究 　　问题 2　观察 ， ，它们具有怎样的 结构特征？由此，你能从一元二次方程的根与系数的关系中获得什么结论？ x1＝ －b＋ b2－4ac 2a x2＝ －b－ b2－4ac 2a x1＝ m ＋ n x2＝ m － n x1＝ ， －b 2a b2－4ac 2a ＋ x2＝ ， －b 2a b2－4ac 2a － 则 x1＋x2＝(m＋n)＋(m－n)＝2m． 即 x1＋x2＝2× ＝－　． b 2a － b a 新知探究 　　问题 2　观察 ， ，它们具有怎样的 结构特征？由此，你能从一元二次方程的根与系数的关系中获得什么结论？ x1＝ －b＋ b2－4ac 2a x2＝ －b－ b2－4ac 2a x1＝ m ＋ n x2＝ m － n x1＝ ， －b 2a b2－4ac 2a ＋ x2＝ ， －b 2a b2－4ac 2a － 则 x1 • x2＝(m＋n) • (m－n)＝m2－n2 即 x1 • x2＝ ． c a ＝ － b2 4a2 b2－4ac 4a2 ＝ b2－(b2－4ac) 4a2 ＝ 4ac 4a2 c a ＝　 ． ＝ － b 2a － 2 b2－4ac 2a 2 新知探究 　　问题 2　观察 ， ，它们具有怎样的 结构特征？由此，你能从一元二次方程的根与系数的关系中获得什么结论？ 　　问题 3　你还有其他获得以上根与系数的关系的方法吗？ x1＝ －b＋ b2－4ac 2a x2＝ －b－ b2－4ac 2a 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当Δ≥0 时，根与系数有如下关系： x1＋x2＝－ ， b a x1 • x2＝ ． c a ax2＋bx＋c＝0 a(x－x1)(x－x2)＝0 新知探究 　　追问　从 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)，你能推导出一元二次方程 的根与系数的关系吗？ ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) ＝a(x2－x1x－x2x＋x1x2) ＝a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2] ＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2 即 bx＝－a(x1＋x2)x，c＝ax1x2． x1＋x2＝ ，x1x2＝ ． b a － c a 新知探究 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0，当Δ≥0 时，根与系数有如下关系： x1＋x2＝－ ， b a x1 • x2＝ ． c a 例题精讲 　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　（1）x2－6x－15＝0； 　　分析： 准确写出各项系数 代入根与系数的关系式化简计算 例题精讲 　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　（1）1x2－6x－15＝0； 　　分析： 准确写出各项系数 代入根与系数的关系式化简计算 a＝1，b＝－6，c＝－15 x1＋x2＝－ ＝－ ＝6，x1x2＝ ＝ ＝－15 －6 1 b a c a －15 1 例题精讲 　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　（1）x2－6x－15＝0； （2）3x2＋7x－9＝0； 　　解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6， 　　　 x1x2＝－15． （2）x1＋x2＝－ ， 　 x1x2＝ ＝－3． 7 3 －9 3 例题精讲 　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　（3）5x－1＝4x2． 　　分析： 　　先把方程化为 4x2－5x＋1＝0． 准确写出各项系数 代入根与系数的关系式化简计算 例题精讲 　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　（3）5x－1＝4x2． 　　（3）原方程可化为 4x2－5x＋1＝0， 　　所以 x1＋x2＝－ ＝ ，x1x2＝ ． －5 4 5 4 1 4 注意 　　1. 先把方程化为 一般形式，再正确找 出各项系数； 　　2. 注意各项系数 的符号． 课堂练习 　　不解方程求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： 　　（1）x2－3x＝15； （2）3x2＋2＝1－4x； 　　（3）5x2－1＝4x2－x； （4） 2x2－x＋2＝3x＋1． 　　解：（1）原方程可化为 x2－3x－15＝0，所以 x1＋x2＝－ ＝3，x1x2＝ ＝－15． 　　（2）原方程可化为 3x2＋4x＋1＝0，所以 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ． 　　（3）原方程可化为 x2＋x－1＝0，所以 x1＋x2＝－1，x1x2＝－1． 　　（4）原方程可化为 2x2－4x＋1＝0，所以 x1＋x2＝－ ＝2，x1x2＝ ． －3 1 －15 1 4 3 1 3 －4 2 1 2 课堂小结 　　1. 本节课是从哪些途径探究一元二次方程的根与系数的关系？ 　　（1）从求根公式结构特征入手，将两实数根进行相加、相乘运算；　 　　（2）通过把 ax2＋bx＋c＝0 化为 a(x－x1)(x－x2)＝0 的形式进行推导． 　 　　2. 除了相关结论，在探究与发现的过程中，你还有哪些收获？ 课后任务 基础作业 教科书习题 25.2 第 7，11 题． $