25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，导入先复习一般形式及求根公式，再以“给两数说方程”的互动激发兴趣，搭建从求根公式到根与系数关系的学习支架，衔接新旧知识。 其亮点是通过公式法推导与因式分解法验证双路径探究，结合问题驱动和表格观察培养抽象能力与推理意识。课堂评价分层设计，如综合题融合根的定义与韦达定理提升应用意识，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

第二十五章 一元二次方程 25.2 降次 解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1 导入新课 问题1: 一元二次方程的一般形式是怎样的? 同学们还记得它的求根公式是什么吗? ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), 问题2: 我有一手绝活, 只要同学给出两个数, 我就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程. 适用条件: b2 - 4ac ≥ 0. 2 活动一：用公式法探究一元二次方程的根与系数的关系 高效课堂 观察求根公式 , 它有什么特点? 由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系, 你能获得什么启发? 一元二次方程根与系数的关系: 整体上看, 两个根分别是“m + n”和“m - n”的形式, 而且式子“n”中含有根号. 这种形式的式子相加可以消去“n”, 相乘可以去掉“n”中的根号, 从而使形式简洁. 3 高效课堂 问题1: 解下列方程, 并完成下面表格. (1) x2 - 2x + 1 = 0; (2) ; (3) 2x2 - 3x + 1 = 0. 方程 x1 x2 x1 + x2 x1x2 x2 - 2x + 1 = 0 2x2 - 3x + 1 = 0 1 1 2 1 -1 1 问题2: 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系呢? x1 + x2 = , x1x2 = 4 高效课堂 问题3: 对于任何一个一元二次方程, 这种关系都成立吗? 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), 当 b2 - 4ac ≥ 0 时有两个根: 所以 x1 + x2 = 5 高效课堂 归纳: 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根 x1, x2 与其系数 a, b, c 有如下关系： x1 + x2 = , x1x2 = 6 活动二：用因式分解法探究一元二次方程的根与系数的关系 问题: 上述关系还有什么方法得出? 高效课堂 7 高效课堂 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为 a(x - x1)(x - x2), 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来, 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 那么 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2), 即 ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2)x + ax1x2, 由此可得 - a(x1 + x2) = b, ax1x2 = c. 因此 x1 + x2 = , x1x2 = 8 高效课堂 注意事项: (1) 方程必须是一元二次方程的一般形式 (2) 判定 b2 - 4ac ≥ 0; (3) 使用 x1 + x2 时, 注意“-”不要漏写. ax2 + bx + c = 0 ; 9 活动三：一元二次方程的根与系数的关系的应用 例 根据一元二次方程的根与系数的关系, 求下列方程两个根 x1, x2 的和与积: 高效课堂 (1) x1 + x2 = - (-6) =6, x1x2 = -15. 解： (1) x2 - 6x - 15 = 0; (2) 3x2 +7x - 9 = 0; (3) 5x - 1 = 4x2. (3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0 (2) x1 + x2 = , x1x2 = . , 所以 x1 + x2 = , x1x2 = . 10 课堂评价 1.若实数 x1, x2 满足 x1 + x2 = 3, x1x2 = 2, 则下列一元二次方程是以 x1, x2 为根的是 ( ) A. x2 - 3x + 2 = 0 B. x2 + 3x - 2 = 0 C. x2 + 3x + 2 = 0 D. x2 - 3x - 2 = 0 2.设一元二次方程 x2 - 6x + 4 = 0 的两实根分别为 x1 和 x2, 则 (x1 + x2) - x1x2 = ( ) A. -10 B. 10 C. 2 D. -2 A C 11 课堂评价 3.已知一元二次方程 x2 - 6x + c = 0 有一个根为 2, 则另一个根为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 点拨 由题意, 得 x1 + x2 = 6, 其中 x1 = 2, 所以 x2 = 4. 4.若 p, q 是一元二次方程 x2 + 4x - 9 = 0 的两个根, 则 p2 + 3p - q 的值是 ( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 13 点拨 由题意, 得 p2 + 4p = 9, p + q = -4, p2 + 3p - q = p2 + 4p - p - q = 9 - ( -4 ) = 13. 故选 D. C D 12 课堂评价 5.已知关于 x 的一元二次方程 x2 - px + 1 = 0 (p 为常数) 有两个不相等的实数根 x1 和 x2. (1)填空: x1 + x2 = _____, x1x2 = _____. (2)求 . (3)已知 = 2p + 1, 求 p 的值. p 1 (3) 由根与系数的关系得 x1 + x2 = p, x1x2 = 1. (2) 因为 x1 + x2 = p, x1x2 = 1, 所以 = p. 解得 p1 = 3, p2 = -1. 因为 = 2p + 1, 所以 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 2p + 1, 所以 p2 - 2 = 2p + 1, 当 p = 3 时,Δ= p2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0; 当 p = -1 时,Δ= p2 - 4 = - 3 < 0. 所以 p = 3. 13 课堂总结 1.通过本节课的学习,你有哪些收获? 2.通过本节课的学习,你还有哪些疑问? 14 作业设计 基础性作业: 教材练习. 提高性作业: 教材习题 25.2 第 11 题. 扩展性作业: 教材习题 25.2 第 12 题. 15 $