精品解析：广东省江门市棠下中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

江门市棠下中学2026-2027学年第一学期高三年级开学考试 数学科试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 样本数据6，7，8，4，5的中位数为（     ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 7 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 5. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 10. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当平面时， 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 14. 在中，为的中点，且，若，则当取得最大值时，__________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明或演算步骤. 15. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，，求边c的长． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 17. 设（为正整数） （1）若为等差数列，且公差，是与的等比中项，若，求数列的通项公式. （2）若，求数列的前n项和. 18. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 19. 已知椭圆（）经过点A，离心率为，抛物线的焦点为点F． （1）求椭圆E的方程． （2）设点P是C上的动点，C在点P处的切线l与E交于不同的两点M，N，直线l上一点D满足，直线OD与直线相交于点Q．求证：直线PQ平行于抛物线C的对称轴． （3）若点P位于第一象限．切线l交y轴于点G，记点G到直线PF的距离为，点D到直线PQ的距离为，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市棠下中学2026-2027学年第一学期高三年级开学考试 数学科试卷 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 样本数据6，7，8，4，5的中位数为（     ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】将样本数据从小到大排列得到，可得这组数据有5个，个数为奇数， 最中间的是第三个数据，即为6，因此这组数据的中位数是6. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，利用交集的定义即可求解. 【详解】， . 故选：C. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【详解】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 5. 设等差数列的前项和为，且公差不为，若，，构成等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质计算出，根据等比数列中项得，再利用等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以，得， 因为，，成等比数列，所以， 设等差数列的首项为，公差为， 则， 因为，解得，，， 所以. 故选：D. 6. 底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由三角形相似比得到，再由两圆锥的侧面积之差计算可得. 【详解】如图，设截面圆的圆心为，截面圆的半径，底面圆半径，， 由于，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为， 故选：A. 7. 椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称，若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据题设得到，再结合，得到，即可求解. 【详解】设，则，， 由题有，即，又，则， 所以，得到，所以的离心率为， 故选：A. 8. 已知，函数在区间上有且仅有两个零点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的范围，将判断与有两个交点，求出的取值范围，再利用，将其正弦值求出，最后利用两角和差的余弦值展开化简即可得出关于的函数. 【详解】，则， 函数在区间上有且仅有两个零点， 则与在上有两个交点， 则，且， 不妨设，则， 则 ， 当时，有最小值. 则的最小值为. 故选：A 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的图象关于对称 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，再由余弦函数相关性质检验各项即可求解. 【详解】, ∴，故A正确； 最小正周期，故B正确； 时，， ∵在单调递减， ∴在上单调递减，故C错； ，不是函数的对称轴，故D错； 故选：AB. 10. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 是圆的一条对称轴 B. 圆的半径为 C. 圆心到的距离为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得C、D正误. 【详解】对于AB，由圆方程知：圆心，半径，B正确； 直线不过圆心，不是圆的对称轴，A错误； 对于C，圆心到直线的距离，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：BD. 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当平面时， 【答案】BC 【解析】 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】分为值班人数为人和人两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意可得，值班的人数为人或者人， 若值班人数为人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故， 若值班人数为人，则每人值班一天，故， 所以可能的安排方法有种. 故答案为：. 13. 已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 【答案】45 【解析】 【详解】， ， ，又展开式的通项为， 当，解得， ，即展开式中的含项的系数为． 14. 在中，为的中点，且，若，则当取得最大值时，__________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】设，分别对和用余弦定理可得，再结合基本不等式可得取得最大值时，，由此可求解答案. 【详解】设，则， 由，再分别在和中用余弦定理， 得， 即，化简得， 根据基本不等式，有，当且仅当时等号成立， 即，即取得最大值时，， 所以当取得最大值时，. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明或演算步骤. 15. 在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若，，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理，化简得到，即可求解； （2）由两角差的正弦公式，求得，结合正弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由（1）知：，且，所以， 可得， 又因为，由正弦定理，可得. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 17. 设（为正整数） （1）若为等差数列，且公差，是与的等比中项，若，求数列的通项公式. （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的等比中项性质罗列出，再利用前项和公式罗列出，两个式子联立求解出数列的首项和公差，根据等差数列公式求解出数列的通项公式. (2)先利用递推退项作差法求解，再根据的通项公式求解前n项和. 【小问1详解】 若是与的等比中项，则满足， 根据等差数列通项公式，得到式子，化简得到， ,， 两个式子联立代入得到，， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 原式： 两边同时除以： (1) 当时，把替换成： （2） （1）-（2）： ，由此可得. 当时，，,满足通项公式. 所以对于,. ，数列是以首项为2，公差为1的等差数列. . 18. 从名优秀大四学生中抽选人员分批次到某公司参与实习．每次实习需要同时派送名学生，且每次派送人员均从这人中随机抽选．已知这名优秀大四学生中，人有实习经验，人没有实习经验． （1）求名学生中的“小张”，在这批次实习中恰有两次被抽选到的概率； （2）求第一次抽选到有实习经验学生的人数的分布列及数学期望； （3）设第二次抽选时，选到没有实习经验学生的人数为，判断与的大小，并加以说明． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2  ； （3）， 由已知事件表示第二次抽到的人都有实习经验， 事件表示第二次抽到名无实习经验、名有实习经验的学生， 由（2），，， 第二次抽选仍从全部人中随机选人，，  若第一次选了个有实习经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此， 所以， ，  若第一次选了个有经验的学生，则第一次抽选后没有实习经验的学生数为， 因此​​， 所以 ​ 故. 【解析】 【分析】（1）先确定单次抽选中小张被选中的概率，利用二项分布概率公式计算即可； （2）先确定的所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列后再根据期望公式计算数学期望； （3）先以第一次抽选到有实习经验学生的人数为条件，分别计算在第一次不同抽选结果下和的条件概率，再利用全概率公式分别求出和，最后比较二者大小. 【小问1详解】 每次从人中选人，小张单次被抽中的概率为 ， 次抽选是独立重复试验， 设这批次实习中小张被抽选到的次数为，则， 因此恰有两次被抽选的概率；​ 【小问2详解】 因为表示第一次抽选的人中，有实习经验的人数， 所以的可能取值为， ，​， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 ； 【小问3详解】 略. 19. 已知椭圆（）经过点A，离心率为，抛物线的焦点为点F． （1）求椭圆E的方程． （2）设点P是C上的动点，C在点P处的切线l与E交于不同的两点M，N，直线l上一点D满足，直线OD与直线相交于点Q．求证：直线PQ平行于抛物线C的对称轴． （3）若点P位于第一象限．切线l交y轴于点G，记点G到直线PF的距离为，点D到直线PQ的距离为，求的范围． 【答案】（1） （2）设点， 由抛物线C：，得，所以切线的斜率为， 切线的方程为，联立， 消去整理得， 则，故，， 直线OD的方程为， 联立直线OD与直线，得点， 所以直线PQ的方程为， 又因为抛物线的对称轴为轴，故直线PQ平行于抛物线的对称轴， 当时，点,此时抛物线在顶点处的切线的方程为， 代入到，解得，进而， 不妨令，的中点， 此时无法构成直线，不合题意，舍去. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程组，求解出，可以求出椭圆的方程. （2）设切点P的坐标，表示切线方程，与椭圆联立，根据韦达定理，表示出点D的坐标，联立直线与直线的方程，求解出点Q的坐标，表示直线PQ的方程，即可得证. （3）根据切线求出点G的坐标，表示出直线PF的方程，利用点到直线的距离公式表示，根据小问2表示，进而表示出，结合小问2求出的取值范围，最终求出的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆经过点A，所以，解得(负值舍)， 所以离心率，解得， 则，故椭圆E的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为点P位于第一象限，所以设，切线的方程为 易得，直线PF的方程为，即 则， 由可知， 所以， 由可知， ， 解得, 又因为，故， 故， 则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $