广东省梅州市2027届高三上学期9月开学调研考试数学试题

试卷类型：A 高三数学(2026.9) 本试卷共6页.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答 题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.复数 1-i 1+i A.-i B.i C.-1 D.1 2.函数fx)=√2x-4的定义域为 A.[0,+o∞) B.[2,+oo) C.[0,2] D.（-0o,2] 3.下列求导运算中，正确的是 A.(2x-3)'=-1 B.y= C.(e)'=xex-1 D.(cos x)'=sinx 4.若离散型随机变量X的分布列如下所示，则X的数学期望E(X)= X 1 2 P 0 2a A.1 D.2 高三数学试卷第1页共6页 5.某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6,3,8,2,5,4,7（百公斤).现按原有顺序分 成3组，分别装入3辆货车.设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”.那么，这 3辆货车中的最大负荷的最小值是 A.12 B.13 C.14 D.15 6.已知a=sin2026°+cos2026°，b=sin2026°cos2026°，c=tan2026°，则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 7.某县区对小学生进行一分钟跳绳测试.已知该县区全体小学生的跳绳次数服从正态分布 W(120,σ3（单位：次/分钟），而且落在区间120,135)内的占比为30%.随机抽调该县区n 名小学生，其中至少有一位跳绳少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要抽取 的学生数n为 （参考数据：ln0.1≈-2.303，ln0.2≈-1.609，ln0.8≈-0.223，n0.9≈-0.105) A.10 B.11 C.12 D.13 8.若对任意的x∈(。，+o),不等式e“-lnx之0恒成立，则2的最小值为 A日 B. 2 C. D. e e2 e2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数/闭=2sn(2x+?,则下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期为π B.f)的图象可由曲线y=sin2x向左平移？个单位长度得到 C.f)的图象关于直线x=严对称 6 D.在0,1上的值域为-1,2 高三数学试卷第2页共6页 10.下列命题中，真命题的有 A.x∈R,都有x+|x|≥0 B.Vx∈R,都有x2-2x+3≥0 C.ヨxo∈R,x≠0，使得sino=x, D.3x∈R,x0<0,使得20=xo+2 11.设有两个罐子，A罐中放有1个蓝球，1个红球，B罐中放有2个蓝球，这些球的大小与 质地相同.规定“先从A罐中摸1个球放入B罐，再从B罐中摸1个球放回A罐”为一 轮交换.连续进行n轮交换后，红球还在A罐中的概率记为pm,则 11 1 A.p1-2 B.P2<PI C.Pu+1=3Px+3 D.lim p= n-+a∞1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在(2x-二)°的展开式中，常数项为 13.已知直线y=4x-1为曲线y=x2+m的一条切线，则m= 14.已知等边△ABC的边长为1，在边BC,AC上分别取M,N两点，使△CMN沿直线MN对 折，顶点C正好落在边AB上，则CM的最小值为 高三数学试卷第3页共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分)为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估 新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200 件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 (1)从新型国产机床所生产的200件样本中抽3件，求恰有1件为次品的概率； (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关 附：x= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.05 0.01 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (1)求证：“C=花”是“a cos A=bcos B”的充分不必要条件： (2)若a cos B=c+bcos2A, ①求角A的大小： ②设D为BC的中点，AD=3,△ABC的面积为25，求a. 高三数学试卷第4页共6页 人 7 17.(15分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)的三角形式是z=r(cos0+isin0),其中r是复数z 的模z,0是复数z的辐角.当0∈[0,2π)时，0称为辐角的主值，记为argz. (1)写出复数1+√3i和-1+i的三角形式，其中辐角取其主值： (2)=r(cos01 +isin01),z2=r2(cos02+i'sin02). 证明：z1z2=r1r2[cos(0,+02)+isin(01+02)】,即两个复数相乘，等于模相乘，辐角相加： (3)在复数范围内，解方程：z3=1. 18.(17分)已知函数f-号+ax-a+1,其中aeR. (1)若a=2,求函数fx)的单调区间； (2)讨论方程f(x)=0的实数根的个数. 高三数学试卷第5页共6页 19.（17分)对于由n个正整数组成的集合A,记S(A)为集合A中所有元素的和. 定义：若对任意不大于S(A)的正整数k,都存在A的子集A',满足S(A)=飞，则称集合A 为“完全集合”. (1)判断{1,2,4}，{1,3,5}和{1,2,3,6}是否为完全集合（无需证明)； (2)若A是完全集合，且S(A)=100,求A中的元素个数的最小值； (3)设所有满足SM=100的完全集合M的个数为N,证明：N≤249， 「(梅州市高三开学调研考试(2026.9) 数学参考答案与评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C D D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ACD ABD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-160 13.3 14.2v3-3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)依题意，从新型国产机床生成的200件样本中不放回地随机抽取3件，恰有1件为次品的 160×159 概率为CC ×40 2×1 848 Cv 200×199×198 2189 ….6分 3×2×1 (2)零假设为H:产品的质量与使用机床的类型无关. ………….7分 由列联表可得，= 400×(160×60-140x401 300×100×200×200 35.3333841,10分 依据a=0.05的独立性检验，推断H不成立， …..12分 即认为产品的质量与使用机床的类型有关. ……….13分 16.（本小题满分15分) 解：(1)由acosA=bcosB及正弦定理， 得sin AcosA=sin Bcos B,即得sin2A=sin2B, …….2分 又因为A,B∈(0，π)， 2A=2B或2A=π-2B； .3分 因此A=B或A+B=T …….4分 即△ABC是以∠C为顶角的等腰三角形或以∠C为直角的直角三角形， 故“C=2”是“acosA=bcosB”的充分不必要条件. 2 (2)①由正弦定理得sin Acos B=sinC+sin B cos2A, ….6分 因为A+B+C=π， 所以sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos2A,·....7分 cos Asin B+sin B cos 24=0, 由inB>0,得cosA+cos2A=0, 即2c0s2A+cosA-1=0, …….8分 解得c0sA=】或coSA=-1, …….9分 又A∈(0，π)，所以A= 3 ……….10分 ②D为BC的中点，AD=AC+AB, 2 两边平方整理得b2+c2+bc=36, …….12分 由△4BC的面积为2W3, 得Secn4=25,即c=8, …….13分 由余弦定理得2=b+c2-2 bc cos A=b2+c2-bc=(b+c2+bc)-2bc,...14分 所以a2=36-16=20,即a=2√5. ………….15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)由于1+V3=2, .2分 由于1+i=2, …4分 (2)=(cos +isin )(cos +isin (cosecose-sinesine)+i(sincose+cossn)..............6 cos(+)+isn(+) …………8分 (3)设方程z=1中的z=r(cos0+isin8),其中r是复数z的模，0是复数z的辐角， 由棣莫弗定理，z3=1一r(cos56+isin50)=cos0+isin0, …….10分 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差2π的整数倍，所以 r3=1, 150=0+2kπ(k∈Z), ……….11分 [=1, 即 o- …….12分 所以z=cos2+5m2产(e2） ……….13分 因此方程：=1一共有5个根，分别是1，c0s行+sn5,ca 5 s5+in5.cos6+isn67 cos8π+isin8r 5 5 ……….15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)由表达式知f(x)定义域为(0，+o), .1分 对(x)求导得：f(y)=x+2-3-x-3x+2_x-20x-1) ….2分 当0<x<1或x>2时，f'(x)>0: 当1<x<2时，f(x)<0: ….3分 所以f(x)的单调增区间为(0,1)和(2，+∞)，单调减区间为(1,2). .4分 (2)由前面知f(x)定义域为(0，+o),分类讨论： 0当a=0时，血方程f()=方-x=0. 解得：x=0或x=2,(舍去x=0) 此时f(x)有仅一个实数根x=2: ……6分 ②当a<0时，f(x)定义域为(0，+o),x-a>0,x>0, 对f(x)求导得：f(x)=x+a-(a+1) =x-(a+1x+2 =x-a(x-1) ……….7分 0<x<1时，f'(x)<0,x>1时f(x)>0, f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， f0s=f0-5a-1-a 再分以下几种情形： D当a<时，f0>0,此时/，)无实数根： …….8分 m当a=时.了0=0，时f)仅有-个实数根x=1, ..9分 (m)当-<a<0时，f1)<0: ……….8分 ）e-hra+e1a-115bo f(o)-](e)+ale-(a+1)e-@e-1)+a(2-o)>0: 由单调性知.此时f)在e,】和(1，）上分别有一个实数根： ….11分 1+ ③当a>0时，f(x)定义域为(0，+m),f1)=- -a<0, 对f(x)求导得：子(x)=x+a-(a+1) x2-(a+1)x+2 子 =(x-a(x- 再分以下几种情形： (i)当0<a<1时，令f'(x)>0得0<x<a或x>1, 令'(x)<0得a<x<1, 所以f(x)在(0，a和(1，+o)上单调递增，在(a,1)上单调递减， 又/a）-aha-女amaa<0. f(2a+2)=(2a+2）°+alm(2a+2）a+1)2a+2)=al血(2a+2)>0 此时f(x)仅在(1,2a+2)上有一个实数根： …….13分 当a-1时，f四-号+-2x, /-任-少之0当且仅当=1时，不等武梦号底立 所以f(x)在(0，+0)上单调递增，且f(1)<0,f(4)=血4>0， 此时f(x)仅在(1,4)上有一个实数根： …….14分 (i)当a>1时，令f'(x)>0得0<x<1或x>a,令f(x)<0得1<x<a, f(x)在(0,1)和(a,+∞）上单调递增，在(1，ad上单调递减， 又f(a)<f(1)<0,f(2a+2)>0, 此时f(x)仅在(a,2a+2)上有一个实数根. ..16分 综上所述，①当a<-时，f()无实数根： ②当号a<0时，了（有两个实数根： ③当a=-或≥0时，f(x)仅有一个实数根.17分 19.(本小题满分17分) 解：(1)对于集合A=1,2,4},S(A)=1+2+4=7,容易验证，1~7都可以被A的子集元素 之和覆盖到，符合完全集合的定义，故A=L,2,4}为完全集合： ,..1分 对于集合B=1,3,5},S(B)=1+3+5=9,注意到2<9，但是无论如何，不存在B=1,3,5} 的子集的元素之和等于2，所以B=1,3,5}不是完全集合： .3分 对于集合C={1,2,3,6},S(C)=1+2+3+5=11,容易验证，1~11都可以被C的子集元素 之和覆盖到，符合完全集合的定义，故C=1,2,3,6}为完全集合.· .5分 (无需证明（说明），判断正确，即得相应分) (2)设A中的元素从小到大依次为4,4，，a,即有4<a<<a, 为了能连续覆盖1到总和，必须具备： ①4=1∈A; ……….6分 ②ke02,叫，4，s1+是 ………8分 (这是因为在加入a,前，能覆盖的最大连续范围是1到S-1,加入4.后，能连续覆盖的最 大范围延伸到S+4,-龙a+4,且新增加的最小值是4，因此要保证连续就必须4，≤S+1,） 因此，要使完全集合A的元素尽可能少，为了用最少的元素达到总和100，就要每个新元 素尽量大，即取等号：令amH=Sm+l(Sm表示前m项和)： .9分 即4=1，S=1: 4=2,S,=3: 43=4,S3=7; a4=8,S4=15: a=16,S5=31: 46=32,S6=63; ….10分 此时4+42+…+4=1+2+4+…+32=63<100， 即只有6个元素不满足条件，只需再加上37，即A={1,2,2,2,24,2,37},…11分 此时有S(A=100,且1~100都可以被A中的元素及其和覆盖到， 因此A中的元素最少有7个. …….12分 (3)设M={,b,b,,b}是完全集合，且其中b=1<b<b<<b, 因为S(M)=100, 所以正整数100-b.必须能被某个子集表示. 以下证明：完全集合M中的最大元素b≤50. .13分 假设：如果b,>50,那么100-b,≤49<50<51≤bn 由于bn最大元素，任何不包含的子集和≤SM)-b,=100-b.<b., 从而M不存在其元素之和等于100-b,与bn之间的整数的子集， 这与M为完全集合相矛盾， 因此完全集合M中的最大元素b,≤50 ..14分 因此，满足S(M)=100的完全集合M必然为1,2,3，，50}的一个子集， ….16分 又必有1∈M, 所以完全集合M为{}与{2,3,4，，50}（共49个元素）的某个子集的并集， 因此满足S(M)=100的完全集合M的个数N≤29. ……….17分