精品解析：广东省江门市新会区第一中学2026-2027学年高三第一学期初学情诊断练习数学试题

2026-2027学年高三第一学期期初学情诊断练习——数学 班级：___________考号：___________姓名：___________ 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 将化为弧度制，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制和角度制的互化公式，即可求解. 【详解】. 故选：B 2. 已知向量，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，， 所以，所以，故充分性成立； 因为，所以，又，， 所以，所以， 解得，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 在中，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知数据结合余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过辅助角公式，结合两角和的正弦公式对已知条件进行化简，再利用诱导公式将所求式子转化为正弦值进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以. 7. 已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意参变分离，进而构造函数，结合导数分析单调性并求解范围. 【详解】由知，，令，， 令，可得， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减； 故，又当，，当，， 因为方程有两个不同的解， 所以的图象有两个不同的交点， 所以． 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，举反例说明即可；对于B：由正弦定理可得，结合余弦定理运算求解；对于C：利用正弦定理运算求解即可；对于D：根据锐角三角形可得，，，结合正弦函数性质运算求解. 【详解】对于选项A：因为，由正弦定理可得，即， 例如，，则，， 满足，但为直角三角形，故A错误； 对于选项B：若，由正弦定理可得， 设，，，，且角为最大角， 则， 且，可知角为钝角，所以为钝角三角形，故B正确； 对于选项C：由正弦定理可得， 且，则，，所以有且仅有一个解，故C错误； 对于选项D：若为锐角三角形，则，， 可得，，所以，故D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集为 D. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由图象结合正弦函数的性质求出解析式可判断A，整体代入可判断B，由正弦函数的单调性可判断C，由图象平移的性质可得D. 【详解】对于A，由图可得，而， 所以， 当时，取最小值，所以， 因为，所以，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为．则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 的值是 C. 函数只有唯一零点 D. 过可以作三条直线与图象相切 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的一阶导数，二阶导数，令，依题意可得且，即可求出、的值，从而判断A，根据对称性得到，利用倒序相加法判断B，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，结合零点存在性定理判断C，分切点是和不是两种情况讨论，利用导数的几何意义求出切线方程，即可判断D. 【详解】由，所以，， 令，得，由函数的对称中心为， 所以且，解得，故A正确； 因为的对称中心为， 即， 令， 则， 所以 ， 所以， 即，故B正确； 因为，则， 所以当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数的极大值为，极小值为； 又，即，所以在上存在唯一零点， 所以函数有且仅有一个零点， 故C正确； 显然，若是切点，则，切线方程为； 若不是切点，设过点 的直线与图象相切于点，， 由，解得，即切点，切线方程为， 过 只可以作两条直线与图象相切，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知角终边上一点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义得，再应用诱导公式、齐次式法求值即可. 【详解】由角终边上一点，根据三角函数定义得： 点到原点的距离：， 因此，，所以， 因为，， ，， 所以 分子分母同除以（齐次式弦化切），并把代入得： 原式， 故答案为：. 13. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 14. 若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析该函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，即，可得出，解之即可. 【详解】构造函数，则该函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则， 所以，故函数为偶函数， 对任意的、，且，都有， 不妨设，则，即， 所以函数在上为减函数， 由，得，即， 所以，即，整理得，解得， 故原不等式的解集为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. （1）求角； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 16. 已知函数． （1）求的对称中心坐标； （2）将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再用整体法算对称点坐标. （2）先将平移变换之后的解析式，然后代入，计算值域，求m的取值范围. 【小问1详解】 解：（1）因为． 由，得． 故的对称中心坐标为． 【小问2详解】 由（1）知， 那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到． 当时，，， 由方程有解，可得实数m的取值范围为 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）（i）最小值为，；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值； （ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间； （2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 （i）当时，， 的定义域为， 令，，则， 当，即当时，即时，取得最小值，最小值为. （ii）在上单调递增， 在上单调递减，令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，令， 可化为． 记函数在上的最大值为，最小值为， 由对任意、，恒成立，得恒成立． ，其图象开口向上且对称轴为直线． ①当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，由，可得，所以， 解得，此时； 当时，由，可得，解得，此时； ③当时，， 由，可得，解得，不符合题意． 综上，的取值范围为. 19. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． （1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． （2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】（1）函数在区间上具有性质； （2）存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【小问1详解】 令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； 【小问3详解】 ∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题中存在无法求解零点，使用了虚设零点的方法，设，再通过的代换，求得的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三第一学期期初学情诊断练习——数学 班级：___________考号：___________姓名：___________ 一、单选题：本大题共8小题，共40分． 1. 将化为弧度制，正确的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在中，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 二、多选题：本大题共3小题，共18分． 9. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若为锐角三角形，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集为 D. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为．则下列说法中正确的有（ ） A. ， B. 的值是 C. 函数只有唯一零点 D. 过可以作三条直线与图象相切 三、填空题：本大题共3小题，共15分． 12. 已知角终边上一点，则___________． 13. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 14. 若定义在上的函数同时满足： ①为奇函数； ②对任意的、，且，都有， 则称函数具有性质. 已知函数具有性质，则不等式的解集为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. （1）求角； （2）求面积的最大值. 16. 已知函数． （1）求的对称中心坐标； （2）将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 已知函数． （1）设． （i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值； （ii）求的单调递减区间． （2）对任意、，恒成立，求的取值范围． 19. 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． （1）判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． （2）设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $