第1章 二次函数 单元巩固练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版九年级上册《二次函数》单元巩固卷，以核心素养为导向，通过春晚“哭哭马”、水火箭发射等真实情境设计问题，覆盖二次函数图像性质、最值及实际应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图像开口方向、对称轴、方程根|基础巩固，如判断抛物线增减性| |填空题|6/18|最值计算、增减性范围、根与系数|能力提升，如含参数二次函数最值| |解答题|8/72|实际应用（利润、面积、运动轨迹）|创新应用，如“哭哭马”销量增长模型、水火箭发射轨迹数据建模|

《第1章 二次函数》单元巩固练习 2026-2027学年浙教版新教材数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．关于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．开口方向向上 B．当时，y随x的增大而增大 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 2．某商店销售一种商品，其利润y(元)与销售单价x(元)的函数关系式为y=-x2+10x+20，则该商品的最大利润为（　　）. A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 3．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，当-5≤x≤0时，下列说法正确的是（　　） A．有最小值-5、最大值0 B．有最小值-3、最大值6 C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6 5．已知二次函数，当时，函数的最大值是，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．抛物线（a，b，c为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．若，则 7．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线 B．与y轴的交点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 8．已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（　　） ①；②；③抛物线的顶点坐标为； ④若，则． A．①② B．②③④ C．①④ D．①③ 9． 二次函数 的图象与 x 轴的一个交点是 (3，0)，则关于 x的一元二次方程 的一个解 ，另一个解 （　　） A．-2 B．1 C．0 D．-1 10．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若二次函数的最大值是3，方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　. 12．若二次函数 当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M-m的值为　 　. 13． 已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为　 　 14．已知自变量为x的二次函数经过(t，3)，(t-4，3)两点，若方程的一个根为x=1，则其另一个根为　 　. 15． 当-1≤x≤5时，二次函数y＝-x2+2x+1的最大值为　 　． 16．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是　 　 ． 三、解答题（共8题，共72分） 17． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件． 求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 18．某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长>50m)，中间用一道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m)， 总占地面积为y(m2). （1）求矩形饲养室的宽.(用含x的代数式表示) （2）求y关于x的函数表达式，并求出面积的最大值. 19．已知抛物线. （1）求该抛物线与x轴的交点. （2） 点A(t， y1) 和B (t，y2) 分别在抛物线. 和 上(t>0). ①当a<0时，两抛物线有交点(s，y3)，且0<t<s时，A，B两点间距离最大为2，求a的值. ②若恒成立，请直接写出a的取值范围. 20． 已知二次函数（a是常数且） （1）求二次函数的对称轴； （2）当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； （3）已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 21．已知二次函数（a，b是实数，）的图象经过点，，． （1）求二次函数的表达式． （2）若点，都在该二次函数的图象上，且，求m的取值范围． （3）若把二次函数的图象沿x轴方向平移n（）个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值为1，求n的值． 22．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系．水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几组关系数据如下： 水平距离x（m） 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度y（m） 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 （1）根据如表，请确定抛物线的表达式； （2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度． 23．已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）若点，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】k>-3 12．【答案】9 13．【答案】 14．【答案】-5或3 15．【答案】2 16．【答案】x＜1（或x≤1） 17．【答案】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为10%； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为（30﹣y﹣10）元，日销售量为（80+10y）件， 根据题意得：（30﹣y﹣10）（80+10y）＝1800， 整理得：y2﹣12y+20＝0 解得：y1＝2，y2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴y＝10， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的月利润总和为w元，售价为a元/件 则 ＝ ∴当a＝29时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为3410元． 18．【答案】（1）解：∵围墙的总长为50m，2间饲养室合计长 xm， ∴饲养室的宽 ​​​​ （2）解由题意得，面积为 ∴当x=25时，面积取最大值，最大值为 19．【答案】（1）解：令y=0，则 解得 所以与x轴交点坐标为(0， 0)， (4， 0). （2）解：①0<t<s时， 所以有 解得 因为a<0，所以 ② 20．【答案】（1）解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． （3）解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 21．【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，，， 二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得， 二次函数的表达式为． （2）解：由题意，得， ， ， ，解得， m的取值范围为． （3）解：， ①当二次函数的图象沿x轴负方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为，当时，新函数取到最大值1， ， 解得或（舍去）， ； ②当二次函数的图象沿x轴正方向平移n个单位长度时，新函数的表达式为， 对称轴为直线， 当时，新函数在处取得最大值1，即， 解得，都不符合题意，舍去； 当时，新函数在处取到最大值1，即，舍去； 当时，新函数在处取到最大值1，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，或． 22．【答案】（1）由题意可得，抛物线的对称轴是直线 ∴抛物线的顶点为（15，9）. ∴可设抛物线为y=a（x-15）2+9. 又抛物线过（10，8）， ∴25a=-1. ∴a= - ∴抛物线的表达式为 （2）由题意，结合（1） ∴令x=5，则 ∴水火箭距离地面的竖直高度为5m. 23．【答案】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：顶点坐标为， 当时，． ，函数图象开口向下，当时，随着的增大而增大， 当时，， 当时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）解：因为对称轴为直线， 点关于直线对称的点的横坐标是1，且， ，函数图象开口向下， 所以或． 学科网（北京）股份有限公司 $