专题4.1.2 多项式与整式（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“多项式与整式”核心知识点，系统梳理从单项式过渡到多项式的概念，明确多项式的项（含符号）、次数（最高次项次数）及整式（含单项式与多项式，分母不含字母）的定义，构建完整知识支架。 资料通过“即学即练”结合分层题型（判断、项与次数、求未知字母、排列）设计，以步骤化解题指导（如多项式判断四步法）培养抽象能力与推理意识，配套思维导图辅助概念梳理，课中助力教师高效授课，课后便于学生强化练习、查漏补缺。

专题4.1.2 多项式与整式 教学目标 1. 理解多项式、多项式的项、常数项、多项式的次数的概念；能说出多项式的项数和次数； 2. 理解整式的概念，能区分单项式、多项式、整式； 3. 会根据实际问题列多项式，能识别多项式中的易错项（含负号的项）。 教学重难点 1.重点 多项式的项、常数项、多项式的次数；整式的概念；区分单项式、多项式、整式。 2.难点 （1）多项式的项要带上前面的符号； （2）多项式次数是最高次项的次数，不是所有字母指数相加（极易和单项式次数混淆）； （3）准确区分单项式次数与多项式次数； （4）理解：整式包含单项式和多项式，分母含字母的式子不是整式。 知识点01 多项式 多项式的概念：几个 叫做多项式。 【即学即练】 把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 知识点02 多项式的项与次数 1. 多项式的项： 组成多项式的每一个 叫做多项式的项。包含单项式前面的 。 2. 多项式的次数：组成多项式的项中，次数 的项的次数即为多项式的次数。 3. 多项式的名词：根据多项式的 把多项式命名为几次几项式。 【即学即练】 指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 知识点03 整式 整式的概念： 和 统称为整式。简单理解：即分母中不含 的式子叫做整式。 【即学即练】 把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 知识点04 多项式的升幂或降幂排列 多项式的升幂或降幂排列：把一个多项式按照项的次数或其中某一个字母的次数由低到高排列叫 ；若按照项的次数或其中某一个字母的次数由高到低排列叫做 。 【即学即练】 把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 题型01 多项式的判断 【典例1】下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 第一步：先看能不能拆成多个单项式的和 式子里面有+、−，把 “+、-” 当作项的分隔符号，每一部分就是一个单项式。 例：2x23x+1，拆成：2x2、-3x、1，三个单项式相加，是多项式。 重要：多项式里的减号，是后面这一项的负号，不是运算减法。 第二步：每一项都必须是单项式 拆出来的每一小部分，都得符合单项式要求： 每一项分母不能含有字母 每一项根号内不能有字母 只要其中有一项不是单项式，整个式子就不是多项式。 例：x+，不是单项式，所以整个式子不是多项式。 第三步：分母整体不能含有字母 分母出现字母 → 分式，既不是单项式，也不是多项式，不是整式。 +2：分母是数字3，是多项式； +2：分母有字母x，不是多项式。 第四步：不含字母开方 含有+2，根号里面有字母，不是多项式。 【变式1】在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【变式2】已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【变式3】下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型02 整式的判断 【典例1】代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 第一步：先排除，两类式子一定不是整式 1、分母中含有字母（分式）→不是整式 注意：分母是数字、π（常数）没问题。 ：分母是数字4，是整式 ：分母有字母x，不是整式 ：分母是π（常数），是整式 2、 根号里面含有字母（根式）→不是整式 +2，根号内有字母x，不是整式 只要出现上面任意一种，直接判定：不是整式，既不是单项式，也不是多项式。 第二步：剩下的式子，二选一 剩下没有上面两种情况，那么： 只有一项（数与字母的积，单独数、字母）→ 单项式，属于整式 两项及以上，是几个单项式的和 → 多项式，属于整式 【变式1】在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式2】代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式4】式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 题型03 多项式的项（项数）与次数 【典例1】指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)． 一、找项、数项数技巧 步骤 把多项式的“-”看成后面项的负号，只看加号做分隔。 每一个连同符号的部分，就是一项。 数一共有多少个，就是项数。 例题：2x3-5x2+x6 各项：2x3、-5x2、+x、-6 项数：4项； 常数项：-6 二、求多项式次数技巧（易错点） 步骤： 分别算出每一项的次数（单项次数：该项所有字母指数相加）； 对比所有项次数，找出最大的那个数； 这个最大值，就是多项式的次数。 重中之重：不要把所有项的次数加在一起！！ 例：3x2y -x3 +2y 3x2y：2+1=3次 -x3：3次 2y：1次 最高次数是3，一共3项 → 三次三项式。 三、“几次几项式” 答题模板 先数项数； 再找最高次项的次数； 组合：（最高次数）次（项数）项式。 例：-x2y2+3xy2y1 各项次数：4、2、1、0，项数4，最高4次 → 四次四项式 最高次项：-x2y2；常数项：-1 【变式1】在代数式中，一次项系数是________． 【变式2】下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【变式3】对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 题型04 利用多项式的项数和次数求未知字母 【典例1】若多项式是关于的二次二项式，则________． 1、标记每一项，分清参数在指数，还是在系数 参数在指数：用来列等式，控制最高次数 参数在系数：系数 = 0 →该项消失；系数≠0 →该项保留 2、根据 “是几次多项式” 列等式：最高次项的次数 = 题目给的次数 3、根据 “是几项多项式” 列限制：需要保留的项，系数≠0；要消去的项，系数 = 0 4、解方程，取舍答案，最后回代检验。 【变式1】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【变式2】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【变式3】多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【变式4】已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 题型05 对多项式进行升幂或降幂排列 【典例1】把多项式按x的升幂排列． 1、确定按哪一个字母排列（题目指定字母，只看这一个字母的指数，其他字母不管） 2、标出每一项中该字母的指数，常数项该字母指数为0 3、降幂：指数从大→小；升幂：指数从小→大 4、移动每一项，连同项前面正负号整体搬迁 注意：只改变各项顺序，不改变原式大小，不改动系数符号。 【变式1】把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的升幂排列． 【变式2】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【变式3】以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【变式4】将多项式按字母的降幂排列为_____． 1．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 2．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 3．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 4．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 6．下列各多项式中，是四次三项式的是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 8．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式是二次三项式 C．整式就是多项式 D．单项式的次数是0 10．将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 3．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 4．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 5．已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 6．已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 7．已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 8．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 9．（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 10．已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1.2 多项式与整式 教学目标 1. 理解多项式、多项式的项、常数项、多项式的次数的概念；能说出多项式的项数和次数； 2. 理解整式的概念，能区分单项式、多项式、整式； 3. 会根据实际问题列多项式，能识别多项式中的易错项（含负号的项）。 教学重难点 1.重点 多项式的项、常数项、多项式的次数；整式的概念；区分单项式、多项式、整式。 2.难点 （1）多项式的项要带上前面的符号； （2）多项式次数是最高次项的次数，不是所有字母指数相加（极易和单项式次数混淆）； （3）准确区分单项式次数与多项式次数； （4）理解：整式包含单项式和多项式，分母含字母的式子不是整式。 知识点01 多项式 多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。 【即学即练】 把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 知识点02 多项式的项与次数 1. 多项式的项： 组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项。包含单项式前面的符号。 2. 多项式的次数：组成多项式的项中，次数最高的项的次数即为多项式的次数。 3. 多项式的名词：根据多项式的次数与项数把多项式命名为几次几项式。 【即学即练】 指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)项：，；次数： (2)项：，，，；次数： (3)项：，，；次数： 【详解】（1）解：项：，；次数：； （2）解：项：，，，；次数：； （3）解：项：，，；次数：． 知识点03 整式 整式的概念：单项式和多项式统称为整式。简单理解：即分母中不含字母的式子叫做整式。 【即学即练】 把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： 下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？．分别将序号填入所属的横线上． ①7，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 单项式：__________； 多项式：__________； 二次三项式：__________； 整式：__________； 【答案】单项式： 多项式： 二次三项式： 整式： 【详解】解：∵①7为单项式，②为单项式，③为多项式，且为一次二项式，④为多项式，且为三次二项式，⑤为多项式，且为二次二项式，⑥不是整式，⑦为单项式，⑧为多项式，且为二次三项式，⑨为单项式； 单项式和多项式统称为整式； ∴单项式：， 多项式：， 二次三项式： 整式：． 知识点04 多项式的升幂或降幂排列 多项式的升幂或降幂排列：把一个多项式按照项的次数或其中某一个字母的次数由低到高排列叫升幂排列；若按照项的次数或其中某一个字母的次数由高到低排列叫做降幂排列。 【即学即练】 把多项式重新排列： (1)按x的升幂排列； (2)按x的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：按x的升幂排列如下：； （2）解：按x的降幂排列如下：． 题型01 多项式的判断 【典例1】下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 第一步：先看能不能拆成多个单项式的和 式子里面有+、−，把 “+、-” 当作项的分隔符号，每一部分就是一个单项式。 例：2x23x+1，拆成：2x2、-3x、1，三个单项式相加，是多项式。 重要：多项式里的减号，是后面这一项的负号，不是运算减法。 第二步：每一项都必须是单项式 拆出来的每一小部分，都得符合单项式要求： 每一项分母不能含有字母 每一项根号内不能有字母 只要其中有一项不是单项式，整个式子就不是多项式。 例：x+，不是单项式，所以整个式子不是多项式。 第三步：分母整体不能含有字母 分母出现字母 → 分式，既不是单项式，也不是多项式，不是整式。 +2：分母是数字3，是多项式； +2：分母有字母x，不是多项式。 第四步：不含字母开方 含有+2，根号里面有字母，不是多项式。 【变式1】在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【变式2】已知代数式：①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨．其中属于单项式的有__；属于多项式的有__．（填序号） 【答案】 ①②⑨ ③⑤⑥ 【详解】解：其中属于单项式的有①0，②，⑨； 属于多项式的有③，⑤，⑥． 【变式3】下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式4】在代数式、、、5、、中，多项式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在代数式、、、5、、中，多项式有、、，共3个； 故选B． 题型02 整式的判断 【典例1】代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 第一步：先排除，两类式子一定不是整式 1、分母中含有字母（分式）→不是整式 注意：分母是数字、π（常数）没问题。 ：分母是数字4，是整式 ：分母有字母x，不是整式 ：分母是π（常数），是整式 2、 根号里面含有字母（根式）→不是整式 +2，根号内有字母x，不是整式 只要出现上面任意一种，直接判定：不是整式，既不是单项式，也不是多项式。 第二步：剩下的式子，二选一 剩下没有上面两种情况，那么： 只有一项（数与字母的积，单独数、字母）→ 单项式，属于整式 两项及以上，是几个单项式的和 → 多项式，属于整式 【变式1】在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式2】代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 【变式3】在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． 【变式4】式子：，，，，，0中，是整式的有（    ）个 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，且分母中含有字母的式子不是整式． ∴是多项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 分母含字母，不是整式． 0是单独的数，属于单项式，即整式． ∴整式共有4个． 故选：C 题型03 多项式的项（项数）与次数 【典例1】指出下列多项式的项和次数： (1)； (2)． 【答案】(1)项为，，，；次数是3． (2)项为，，；次数是4． 【详解】（1）解：的项为，，，；次数是3； （2）解：的项为，，；次数是4． 一、找项、数项数技巧 步骤 把多项式的“-”看成后面项的负号，只看加号做分隔。 每一个连同符号的部分，就是一项。 数一共有多少个，就是项数。 例题：2x3-5x2+x6 各项：2x3、-5x2、+x、-6 项数：4项； 常数项：-6 二、求多项式次数技巧（易错点） 步骤： 分别算出每一项的次数（单项次数：该项所有字母指数相加）； 对比所有项次数，找出最大的那个数； 这个最大值，就是多项式的次数。 重中之重：不要把所有项的次数加在一起！！ 例：3x2y -x3 +2y 3x2y：2+1=3次 -x3：3次 2y：1次 最高次数是3，一共3项 → 三次三项式。 三、“几次几项式” 答题模板 先数项数； 再找最高次项的次数； 组合：（最高次数）次（项数）项式。 例：-x2y2+3xy2y1 各项次数：4、2、1、0，项数4，最高4次 → 四次四项式 最高次项：-x2y2；常数项：-1 【变式1】在代数式中，一次项系数是________． 【答案】 【详解】解：代数式包含三项，分别为，，， 其中是二次项，是一次项，是常数项， 一次项的数字因数为，因此一次项系数是． 【变式2】下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【详解】解：A、单项式的系数是，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的次数是，故本选项错误，不符合题意； C、单项式的系数为，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 【变式3】对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. 【变式4】下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． 题型04 利用多项式的项数和次数求未知字母 【典例1】若多项式是关于的二次二项式，则________． 【答案】 【详解】解：∵多项式是关于的二次二项式． ∴多项式的最高次数为，可得． ∵多项式为二项式，即总共只有个非零项，最高次项系数，常数项． ∴一次项的系数为，即， 解得． ∴． 1、标记每一项，分清参数在指数，还是在系数 参数在指数：用来列等式，控制最高次数 参数在系数：系数 = 0 →该项消失；系数≠0 →该项保留 2、根据 “是几次多项式” 列等式：最高次项的次数 = 题目给的次数 3、根据 “是几项多项式” 列限制：需要保留的项，系数≠0；要消去的项，系数 = 0 4、解方程，取舍答案，最后回代检验。 【变式1】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【变式2】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 【变式3】多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． 【变式4】已知多项式的次数是5，n是该多项式二次项的系数，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：因为多项式的次数是5， 所以．                             因为n是该多项式二次项的系数， 所以，                                 所以． 题型05 对多项式进行升幂或降幂排列 【典例1】把多项式按x的升幂排列． 【答案】 【详解】解：多项式按x的升幂排列为． 1、确定按哪一个字母排列（题目指定字母，只看这一个字母的指数，其他字母不管） 2、标出每一项中该字母的指数，常数项该字母指数为0 3、降幂：指数从大→小；升幂：指数从小→大 4、移动每一项，连同项前面正负号整体搬迁 注意：只改变各项顺序，不改变原式大小，不改动系数符号。 【变式1】把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的升幂排列． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：多项式按x的降幂排列为； （2）解：多项式按y的升幂排列为． 【变式2】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 【变式3】以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【变式4】将多项式按字母的降幂排列为_____． 【答案】 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为． 1．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 2．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 【详解】解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 3．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 4．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 5．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：， 第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 6．下列各多项式中，是四次三项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 7．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 8．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 9．下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式是二次三项式 C．整式就是多项式 D．单项式的次数是0 【答案】B 【详解】解：单项式的系数是，A选项错误； 多项式是二次三项式，B选项正确； 整式包括单项式和多项式两类，C选项错误； 单项式的次数是3，D选项错误． 故选：B． 10．将下列多项式按x的降幂排列： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 1．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 2．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 3．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 【答案】C 【详解】解：A、的系数是，次数是3，故A不符合题意； B、单项式的系数是，次数是，故B不符合题意； C、多项式的次数是8，项数是3，故C符合题意； D、是二次三项式，故D不符合题意． 4．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 5．已知多项式是二次三项式，则常数m的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 多项式是二次三项式， ∴ ，且， 由，得 或， 但，即， ∴ ． 故选：D． 6．已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求m，n的值． 【答案】 【详解】解：∵多项式是六次四项式， ∴， ∴； ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴，即， ∴． 7．已知多项式是关于x的四次四项式． (1)求a、b的值； (2)将该多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵多项式是关于x的四次四项式，是六次式， ∴，， ∴，； （2）解：把多项式按照的降幂重新排列为． 8．已知多项式． (1)若该多项式不含有3次项，求a的值并写出常数项． (2)若该多项式是关于x的三次二项式，求a的值并写出最高次项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【详解】（1）解：由题意可知，， 所以， 常数项为； （2）解：由题意可知，， 所以， 最高次项为． 9．（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 10．已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：关于、的多项式是五次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与该多项式的次数相同， ， 解得：， 、的值分别为2、5； （2）解：由（1）可知、的值分别为2、5， 多项式为， 按的降幂排列为：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $