解析几何的方法体系之抛物线讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕抛物线专题，将定义、标准方程、焦点弦、直线位置关系及性质综合按逻辑递进梳理，通过知识点系统整合、方法突破指导、真题例题精讲与分层练习，帮助学生构建从定义应用到综合解题的完整框架，体现复习的系统性与针对性。 资料突出定义转化与焦点弦结论的实战应用，如焦半径公式降次、焦点弦长用倾斜角表示等，通过分层例题（如拱桥建系求参数）培养数学思维与模型意识，设置即时反馈练习确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

抛物线的方法体系 从定义到焦点弦的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　抛物线的定义与标准方程 ★ 定义：平面内到定点 的距离等于到定直线 的距离的点的轨迹叫做抛物线。定点 叫焦点，定直线 叫准线。这句定义里藏着一个必须写出来的前提——定点 不能在定直线 上。若 ，轨迹退化成过 且垂直于 的一条直线。 与椭圆、双曲线相比，抛物线少了一个焦点、少了一条准线，离心率被定义锁死为 。正因为如此，它的标准方程里只剩一个待定参数 ，比椭圆、双曲线少一个自由度——这是抛物线所有题目计算量偏小的根源。 ★ 标准方程有四种，取决于开口方向： 开口向右 ，焦点 ，准线 ； 开口向左 ，焦点 ，准线 ； 开口向上 ，焦点 ，准线 ； 开口向下 ，焦点 ，准线 。（以上 。） ★ 记这四条不要背表，只认两件事：一次项是 还是 决定焦点落在哪条坐标轴上；一次项的符号决定开口朝哪个方向。另一个平方项的正负号永远为正——写成 就是已经把「 项系数为正」这一步化解掉了，题目里给出 这类式子时，先化成标准形再读参数。 ★ 的几何意义是焦参数：焦点到准线的距离等于 。注意不是 ——焦点与准线之间的距离是 ，焦点到顶点的距离才是 。 越大，开口越张。 ★ 第二定义与统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点的轨迹是圆锥曲线—— 时是椭圆、 时是抛物线、 时是双曲线。抛物线正是 的那一档，所以它的定义里「到焦点的距离等于到准线的距离」这句话，与椭圆、双曲线说的是同一套语言，不是另起一条规则。 ★ 三种曲线的准线放在一起看：椭圆与双曲线的准线各有两条，都写成 ；抛物线只有一条，与焦点分居顶点的两侧。离心率被定义锁死为 ，正是抛物线只剩一个待定参数 、计算量比另外两种曲线小的根源。 ★ 焦半径公式：设 在抛物线上， 时 ； 时 ； 时 ； 时 。四条的来历是同一个：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，而到准线的距离就是「带符号坐标加上 」的绝对值。于是「点到焦点的距离」被压成了横坐标（或纵坐标）的一次函数，凡是焦半径出现的等式立刻降次。 ★ 定义转化的两个方向，本册第一节的全部技巧都在这里： 把「到焦点的距离」换成「到准线的距离」——用于求最值、证等式，把难算的斜距离换成好算的横平竖直距离； 把「到准线的距离」换成「到焦点的距离」——遇到准线上的动点或到定直线的距离时反过来用。 求 的最小值（ 是平面内定点）是这条技巧最典型的应用：把 换成 到准线的距离，两段距离就接成了一条折线，折线的最短长度由「两点之间线段最短」给出。换另一段则用于 本身就是到准线的距离（或 在准线上）的情形。 ★ 抛物线只有一个待定参数，所以实际应用题的建模流程固定为三步：① 建系——把顶点放在原点、对称轴放在坐标轴上；② 设标准方程——按开口方向写四种形式中的一种，只留一个未知数 ；③ 代点求 ——题目给的宽度、高度、口径这类数据就是曲线上一个点的坐标。 拱桥、隧道、太阳灶、卫星天线都是这套流程。建系时要留意「高」与「宽」分别对应纵坐标与横坐标的哪一半：拱顶到水面的高度是纵坐标，水面宽度是一对对称横坐标之差，所以代点时代入的是宽度的一半。 ⚠ 判断开口方向与焦点位置时最容易错的一处，是把 的焦点记成 。标准方程里那个系数 是「 焦距」的写法，焦点横坐标是 ，不是 。题目给 时 、、焦点 ，中间的 与 要分得清。 ★ 拿到抛物线的题，第一件事是把方程化标准形、读出 与开口方向，并把焦点、准线写在旁边。有了这两条，定义转化随时可以启动。 知识点二　焦点弦与焦半径 ★ 焦点弦的定义：过焦点的直线与抛物线交于 、 两点，线段 叫做焦点弦；、 到焦点的距离 、 叫焦半径。抛物线的焦点弦是三类圆锥曲线里性质最整齐的一条——因为离心率恒为 ，公式里不会出现 。 ★ 设抛物线的焦点弦所在直线为 （以 为例），代入得 。这一步是本节的根，下面四条结论全部由它推出： ； ； ；（由 与 直接得到） 。 ★ 焦点弦长：。若弦与对称轴所成的角为 ，则 。用 写比用 写更常见，题里出现倾斜角或夹角时要立刻换成这一式。 ★ 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长 ，是所有焦点弦里最短的一条。 时（即通径） 取到最小值，这与 的表达式一致。通径也是判断开口大小的直观尺子： 越大开口越张。 ★ 倒数之和的定值：。推导只用两行：由焦半径公式 、，通分后分子为 ，分母为 ，两者相除即得 。这个等式把两条焦半径绑在一起，遇到「只给弦的位置、要求两条焦半径的某种组合」的题特别好用。 ★ 以焦点弦为直径的圆与准线相切。设 为 的中点，则 到准线的距离，恰等于半径。反过来，准线上任意一点到 、 的张角与它到焦点弦中点的连线垂直——这两句话互为表里，见到「以弦为直径的圆与准线相切」就直接写中点与准线的距离。 ★ 焦点弦为底的三角形面积：。第一步用的是「以 为公共底、两条高分别为 与 」的割补，第二步用 。反过来给面积求 或求倾斜角，也走这条式子。 ★ 中点弦与点差法：设弦 的中点为 ，两端坐标代入 后相减，得 ，于是 。 ⚠ 这个式子里只有中点的纵坐标 ，没有横坐标——与椭圆的 、双曲线的 都不同。原因很直接：标准方程里只有一个二次项，相减之后 的系数是常数 ，于是 与斜率一对一。把椭圆的结论套过来是本节最常见的失误。 ⚠ 时 无意义，此时中点弦垂直于对称轴，要单独讨论。另外点差法只用到了「两端都在抛物线上」，并没有保证这条弦真的存在，求出斜率后必须回代检验 。 ★ 见到「过焦点的弦」，先写出 与 两条；见到「弦的中点」，先写 。这两步能把绝大多数焦点弦题的计算量砍掉一半。 知识点三　直线与抛物线 ★ 直线与抛物线的位置关系只有三种：相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（没有公共点）。⚠ 抛物线上「一个公共点」不等价于「相切」——与对称轴平行的直线（如 中的水平线 ）也只交于一点，但它不是切线。这一点与双曲线里「与渐近线平行的直线只交于一点」是同一类坑。所以遇到「只有一个公共点」的题，必须把「相切」与「平行于对称轴」两条支路都走一遍。 ★ 设直线与联立，四步流程固定下来：① 设直线；② 代入抛物线；③ 写韦达；④ 把要求的量用 、（或 、）表示。第 ④ 步能写成对称式，计算量就可控。 ★ 设直线优先用 ，它天然包含竖直直线 ，不会漏解。以 为例，代入后得到关于 的二次方程 ，所以 、；再用 把横坐标的量换算过去，、。「」这一条在判断垂直、写定值题时极其好用，值得单独记住。 ★ 弦长公式两种写法，按设直线的方式选：设 时用 ；设 时用 。抛物线题里前一种更省——因为它绕开了开方后的 。 ★ 过 轴上定点 的弦 与原点围成的面积：。这与焦点弦的面积公式是同一个割补，把 换成 就回到上一节那条。 ★ 切线方程：抛物线 上一点 处的切线为 。记法是「用 换 ，用 换 」，与椭圆、双曲线的切线公式同一条规律。 由此读出一个常用的几何事实：令 ，得 ，即点 处的切线与对称轴交于 ，它与 的横坐标互为相反数，也与准线的位置无关。涉及「切线与坐标轴围成的三角形」「切线过定点」的题都从这里出发。 ★ 已知斜率的切线：斜率为 （）且与 相切的直线为 。把 代入抛物线、令判别式为零，一步就能解出 。 ★ 从准线上一点引两条切线：设该点为 ，切线 过 得 ，两根之积 。于是两条切线互相垂直，且两个切点的连线恰好过焦点。「准线上任一点 → 两条切线垂直 → 切点弦过焦点」是一条完整的三连结论，见到准线上取点的切线题直接照搬。 ★ 光学性质：平行于对称轴的光线经抛物面反射后必过焦点；反过来从焦点射出的光线经反射后平行于对称轴。太阳灶、探照灯、卫星接收天线都靠这一条。落到题面上，它给的是「入射光线平行于对称轴」「反射光线过焦点」这类条件与切线方向的对应关系。 ★ 垂直与定点的联动：、 在 上，若 ，则 、。推导只有一行：由 得 ，而 ，两式联立解出 。进一步可知直线 恒过定点 ，这就是下一节定点问题的原型。 ⚠ 用点差法求出中点弦斜率后，必须回代检验 ；用判别式定范围时，也要留意二次项系数是否为零——设 时二次项系数恒为 ，不会退化，这也是优先用它的一个理由。 ★ 直线与抛物线的题，动笔前先决定用 还是 ：过 轴上的定点一律用前者，题目给了明确斜率或倾斜角才用后者。 知识点四　抛物线的性质综合 这一节把前三节的方法混在一起用，题面上通常不出现「焦点弦」「切线」这类提示词，需要自己从条件里认出该调哪一套工具。 ★ 与圆结合：抛物线与圆的位置关系，一律翻译成「圆心到直线的距离与半径」，或「圆心到圆上点的距离与半径」。圆心在 轴上的圆与抛物线相交、相切，给出的方程往往直接化简成含 的等式，不必设交点坐标。若题目给的是「圆过抛物线上的两点」，那就在这两点上用抛物线的定义，把半径与 接起来。 ★ 与圆结合的另一类：求 型的最小值，其中 在抛物线上、 在圆上。做法是先用「圆上点到定点的距离」把 换成（ 为圆心， 为半径），再按定义转化把焦半径换成到准线的距离，最后回到折线最短。 ★ 定值问题里的两组常用结论（ 上两点 、）： 等价于 、，直线的斜率之积为定值； 弦 过定点 时，、 这类组合式里出现的 可先用 展开，再用 与韦达把 的一次与二次项分别收拢。 ★ 最值问题的三条路子，按题面条件选： 条件的几何味浓（点到焦点、点到准线、点对称）——走定义转化与对称，把目标接成折线或线段，用「两点之间线段最短」取等； 条件给的是动直线、动点——设参、代入、把目标化成关于参数的一元函数，再配方或用基本不等式； 条件给的是「存在」「恒成立」——用判别式 定参数的取值范围，这类题的目标不是某个数而是一个区间。 ★ 面积最值的两条常用套路： 底固定时让高最大——过动点作平行于底的直线与曲线相切，切点到该直线的距离就是最大高； 过 轴上定点的弦用 ，把 换成 或化成关于参数的一元式。 ★ 对称点的处理：求 关于直线 的对称点 ，先写出 的方程，再用「 的中点在 上」与「」两个条件把 的坐标用 的参数表示出来，这样 就变成了单变量函数。把两个条件写全再消参，比先猜 的位置可靠得多。 ⚠ 抛物线的最值题取等条件必须回代检查：目标最大值或最小值的取等点是否真的在抛物线上、是否落在题目限定的范围里。涉及「动点在曲线的一段上」时，端点处的值往往才是答案。 ⚠ 抛物线只有一个参数 ，所以含参问题的结论常常比椭圆、双曲线简洁，但也因此容易「少一个方程」——凡是需要用两个条件才能定下 的题，第二个条件一定要老老实实写出来，不要凭对称性默认。 ★ 综合题的条件多，先把每个条件单独翻译成 、坐标或斜率的关系写在一旁，再挑出能凑成同一个未知量的几条联立——一次翻译、一次联立，比边读边算稳得多。 二、方法突破 方法一　定义与标准方程 抛物线的定义是三类圆锥曲线里最短的一句：到焦点的距离等于到准线的距离。它比椭圆、双曲线少了一个焦点，也随之少了一个参数——标准方程里只剩 ，离心率被锁死为 。少一个自由度意味着两件事：计算量整体偏小，但每个条件都必须吃干净，因为定下抛物线只需要一个独立条件。 ★ 拿到方程的第一件事是化标准形，读出 与开口方向，然后把焦点、准线写在旁边。一次项是 还是 决定焦点在 轴还是 轴，一次项的符号决定开口朝正向还是负向。 ★ 那个 与 的分家要背准：方程写成 时，焦点是 、准线是 ，而焦点到准线的距离等于 。题里给 ，先看出 、，再写焦点 ——跳过中间一步直接写 是这一节最常见的失分点。 ★ 焦半径公式把「点到焦点的距离」压成了横坐标（或纵坐标）的一次函数： 上 。凡题面出现焦半径的等式，先用这一式降次，再看剩下的是不是一次方程。 ★ 定义转化有两个方向，这一节的技巧全在这里。求 的最小值时，把 换成 到准线的距离， 与那条水平距离就接成了一条折线，最短长度由「两点之间线段最短」给出；反过来，若 本身在准线上或题目给的是到定直线的距离，就把那段距离换成到焦点的距离。 ★ 换算时注意符号： 与抛物线开口同侧还是异侧，决定了折线该往哪个方向接。把图画出来，看一眼 落在准线的哪一边，比套公式保险。 ★ 实际应用题（拱桥、隧道、太阳灶、天线）只有三步：把顶点放在原点、对称轴放在坐标轴上建系；按开口方向设出一种标准方程，只留 一个未知数；把题目给的宽度、高度、口径代入求 。代点时代入的是宽度的一半——这一点最容易忘。 ★ 与别的曲线联立时，抛物线的 往往可以一步定出。例如抛物线过某定点、与某个圆相切、与某条直线相切这类条件，写成方程后通常只含 的一次或二次项，直接解。 ★ 先用定义把「距离」条件翻译成坐标条件，能省掉一半的根式计算；实在翻不动（比如涉及两条动半径之比），再退回设点坐标硬算。 例题 例 1-1 （鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第13题） 【填空】已知抛物线 上一点 到 的焦点及对称轴的距离分别为 和 ，则 ________. 【解析】 第 1 步　「到对称轴的距离」与「到焦点的距离」是两类条件 ◈ 抛物线 的对称轴是 轴，「到对称轴的距离」给出 ，「到焦点的距离」给出焦半径。前者配 消去 ，后者是 ，两条信息合起来待定字母只剩 一个。 第 2 步　 用来筛根 ◈ 解出 之后必须回到题设 。两个根都是正数，只凭 分不出取舍，题目专门给 就是为了只留一个答案。 答　 例 1-2 （泉州市2026届高三质量检测（二） · 第13题） 【填空】已知点 ，，若 为抛物线 上的动点，则 的最小值为 ________. 【解析】 第 1 步　先确认 就是焦点 ◈ 的 与顶点纵坐标都要先算出来，才能看出 正好落在焦点位置。一旦确认， 就可以按定义换成 ，两条线段都变成竖直方向上的量，不必再去求导数。 第 2 步　竖直投影给出下界 ◈ 的依据是两点间距离不小于它们在 轴上的投影差，等号当且仅当 。解出取等点 后要代回抛物线核验一次，确认它真的在曲线上，否则最小值取不到。 答　 例 1-3 （湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题 · 第4题） 【单选】某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　「高 、宽 」就是顶点与两个端点 ◈ 剖面抛物线在中间最高、两端落地，于是顶点 与端点 一共给出三个条件，足够定出 中的 。把坐标系建在对称位置上，抛物线就没有一次项，计算量最小。 第 2 步　「不准跨过中间实线」就是 ◈ 货车宽 只能占一侧车道，内边缘贴着中心线时外边缘正好在 。抛物线在 上单调递减，所以最高的可行位置就是 处。 答　C 例 1-4 （唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第13题） 【填空】已知直线 与圆 相切，若直线 过抛物线 的焦点 ，与 的准线相交于点 ，则 ________. 【解析】 第 1 步　相切给出 的两个候选 ◈ 圆心 、半径 是完整信息，距离等于半径得到关于 的二次方程。解得 与 两个根，都要先留下再筛。 第 2 步　用「直线过焦点」筛掉 ◈ 时 是水平直线 ，而焦点在 轴上， 轴上的点不可能落在 上。这一步筛根必须写出来，否则会白白多出一组解。 答　 练习 1-1. 【单选】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， 为 上一点. 若 是正三角形，则 的边长为（　　） A. B. C. D. 1-2. 【填空】抛物线 的焦点为 ， 为 的准线与 轴的交点， 为 上一点，若 ，则 ________. 1-3. 【单选】已知抛物线 （）与双曲线 的渐近线的交点分别为 ，，，其中 为坐标原点，若 的面积为 ， 为 与 在第一象限内的一个公共点，则 （　　） A. B. C. D. 1-4. 【单选】已知抛物线 的焦点为 ，圆 与 交于 ， 两点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，则 （　　） A. B. C. D. 1-5. 【填空】已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为__________. 1-6. 【填空】已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则__________. 1-7. 【填空】已知点为抛物线上一点，为的焦点，则________. 1-8. 【单选】设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 方法二　焦点弦与焦半径 题目里出现焦点、过焦点的弦、两条焦半径的夹角，就一定有比联立更快的路子。抛物线的焦点弦是三类圆锥曲线里性质最整齐的——离心率恒为 ，所以公式里不会掺进 ，结论可以直接默写。 ★ 全节的地基只有一个方程：设焦点弦所在直线为 （以 为例），代入得 ，于是 、。记住「两根之积是常数 」这句话，后面几条都能现推。 ★ 由它派生出的两条：、。前者是与原点连线垂直关系的来源，后者直接给出弦长。 ★ 焦点弦长 。换成角写更好用：若弦与对称轴的夹角为 ，则 。题面给倾斜角、给夹角，一律往这一式上靠。 ★ 通径是过焦点垂直于对称轴的弦，长 ，是所有焦点弦中最短的一条。它是判断开口大小的尺子，也是很多范围题的临界位置。 ★ 倒数之和 是把两条焦半径绑在一起的等式。若题目只给「弦的位置」而要求两条焦半径的某种组合，优先看能不能凑成这个倒数之和。 ★ 以焦点弦为直径的圆与准线相切；等价的说法是准线上任意一点到弦两端张成的角，被「该点与弦中点的连线」平分。见到「圆与准线相切」「弦为直径的圆」，直接写弦中点到准线的距离等于半弦长。 ★ 以焦点弦为底的三角形面积：。反过来给面积求 或求倾斜角，也走这条式子。 ★ 中点弦：设弦的中点 ，则 。⚠ 式子里只有 ，没有 ——这与椭圆的 完全不是一回事，别把椭圆的结论搬过来。 时公式失效，中点弦垂直于对称轴，单独讨论。用完必须回代检验 。 ★ 见到焦半径或焦点弦，先写焦半径公式与 ；见到「以弦为直径的圆」，先找中点与准线的距离。这两步能把绝大多数焦点弦题的计算量砍掉一半。 例题 例 2-1 （金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第7题） 【单选】抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两条焦半径各翻译成一个纵坐标 ◈ 开口向上时「到焦点的距离」等于「到准线的距离」，于是 。两个已知的焦半径就把 、 都用 表示出来，而它们的差与 无关。 第 2 步　斜率只管纵向差与横向差之比 ◈ 已知 与斜率 ，立刻得到 ，弦长就是勾股定理 。这条路上根本不需要求出、 的坐标，也不必用到 。 答　A 例 2-2 （黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第8题） 【单选】已知抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线交抛物线于第一象限内的 ， 两点，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 落在准线上是题目留的暗门 ◈ 正是准线与 轴的交点。把 设成 后代入抛物线，二次项系数与常数项都是 ，于是 ，不需要解出具体的根就能用韦达定理。 第 2 步　焦半径用横坐标表达 ◈ 开口向右时 。条件 于是变成 ，与 联立即得两个横坐标，最后一步才用 反解 。 答　B 例 2-3 （苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第10题） 【多选】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 . 过 的直线与 交于 ， 两点，过 作 的垂线，垂足为 ， 与 轴交于 点，则（　　） A. B. C. 可能为锐角 D. ，， 三点共线 【解析】 第 1 步　定义式一眼定下第一项 ◈ A 项问的是 与 的关系。 到准线的距离就是 ，抛物线的定义直接给出两者相等，不需要任何计算。 第 2 步　焦点弦的两条韦达结论是后半段的公共工具 ◈ 过焦点设 ，代入后得 ，由此派生 。数量积判钝角用它，、、 共线也用它，两项各写一行即可。 答　ABD 例 2-4 （金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第16题） 【解答】已知抛物线 的焦点为 ， 上有一点 到焦点 的距离为 ，过焦点 作直线与抛物线交于 ， 两点，， 为坐标原点.（1）求 的坐标；（2）求 的面积. 【解析】 第 1 步　先由 定 ◈ 的横坐标恰好是 ，所以焦半径是 ，与 一联立就直接得到 。这一步定了 ，第（2）问才有的算。 第 2 步　设 而不是 ◈ 垂直于 轴的焦点弦用斜截式会漏掉，用 则把竖直那条也包含在内。代入后得到下标全在 上的二次方程，弦长用 ，面积用 ，两个量都只需韦达定理。 答　（1）；（2） 练习 2-1. 【单选】抛物线 ， 是其焦点，点 、 在曲线 上，且 ， 为线段 的中点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 2-2. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线交于 ， 两点（ 在第一象限），与准线相交于 ，过点 作抛物线的切线与准线相交于 ，当 ， 时，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. D. 2-3. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，分别过点 ， 作 的垂线，垂足分别为 ，，若 为等边三角形，则（　　） A. 直线 的斜率为 B. C. 的周长为 D. ，， 三点共线 2-4. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，若 上存在 个互不重合的点 ，，…， 满足 ，下列结论中正确的有（　　） A. 若 ，则 的最小值为 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最小值为 2-5. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，其中 ，，则（　　） A. 直线 的斜率为 B. 点 到 轴的距离为 C. 的面积为 D. 直线 的倾斜角为 或 2-6. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，直线 交 于另一点 ，则（　　） A. B. 的内心在定直线上 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的面积为 2-7. 【多选】设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点（点 在第一象限），过 作 的切线交 轴于点 ，交 于点 ，过 作直线 ，垂足为 ，则（　　） A. B. 若 的倾斜角为 ，则 C. 四边形 为菱形 D. 四边形 的面积的最小值为 2-8. 【填空】已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为______． 2-9. 【单选】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（ ） A. B. C. D. 方法三　直线与抛物线 直线与抛物线相交的计算量不算大，麻烦处在于「只有一个公共点」与「相切」在抛物线里并不等价。这一节要练的是把设直线、联立、写韦达、用对称式这套流程固定下来，并且不漏掉那条平行于对称轴的支路。 ★ 位置关系分三种：两个公共点、一个公共点、没有公共点。「一个公共点」有两条来源——直线与抛物线相切，或直线平行于对称轴（如 中的水平线）。遇到「只有一个公共点」的题，两条支路都要走一遍，漏掉后者就会少解。 ★ 设直线优先用 。它天然包含竖直直线 ，代入后得到的二次方程二次项系数恒为 ，不会退化。代入 得 ，于是 、；再换算到横坐标，得到 、。「」这一条在垂直与定值题里最好用。 ★ 弦长两种写法按设直线的方式选： 配 ； 配 。抛物线题里前者更省，因为它绕开了开方后的 。 ★ 过 轴上定点 的弦，。把 换成 就是焦点弦的面积公式，两者是同一个割补。 ★ 切线只用记一条： 上点 处的切线是 。令 得切线与对称轴交于 ——横坐标与 互为相反数。「切线与坐标轴围成三角形」这类题都从这里起步。 ★ 已知斜率的切线：斜率 时为 。从准线上一点 引两条切线，两斜率满足 ，两根之积为 ，所以两条切线互相垂直，并且两个切点的连线恰好过焦点。这是一条完整的三连结论，见到准线上取点引切线就直接用。 ★ 光学性质：平行于对称轴的光线经抛物面反射后过焦点，从焦点射出的光线经反射后平行于对称轴。落到题面上，它把「光线方向」翻译成「切线方向」，太阳灶、探照灯、天线的题都靠这一条。 ★ 垂直与定点的联动：、 在 上， 等价于 、，也等价于直线 恒过定点 。三个说法互相等价，题面给哪一个都可以往另外两个上转。 ★ 动笔前先决定用 还是 ：过 轴上的定点一律用前者；题目给了明确斜率或倾斜角，才用后者。 例题 例 3-1 （梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第15题） 【解答】如图， 是抛物线 的焦点， 是抛物线 在第一象限上的一点，，.（1）求抛物线 的方程；（2）求抛物线 在点 处的切线方程. 【解析】 第 1 步　 用数量积翻译成横坐标 ◈ 沿 轴负方向， 的横坐标是 ，把 写成数量积之比，就得到 。再由焦半径 定出 。 第 2 步　「第一象限」是筛 的最后一关 ◈ 若误取 ，会得到 ，与 在第一象限直接矛盾。解出待定字母后一定回代算出 、，看它们是否满足题设的象限。 答　（1）；（2） 例 3-2 （莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第17题） 【解答】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与 ， 的交点分别为 ，，且 .（1）求 ；（2）若过点 的直线 交 于 ， 两点，且 ，求 的值. 【解析】 第 1 步　先让 、 的坐标只含 ◈ 是水平直线，它与准线的交点横坐标是 ，与 的交点横坐标由 给出 。两点纵坐标相同，所以 、 的差别只体现在横坐标上，联立后只剩 一个未知数。 第 2 步　弦长拆成 ◈ 设 后，，于是 ，两根之积 直接给出 。再由 与 解出两段长度的比。 答　（1）；（2） 例 3-3 （佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第10题） 【多选】在平面直角坐标系 中，斜率为 的直线 交抛物线 于 ， 两点，交 轴于点 ，则（　　） A. B. C. ， 的等差中项是 D. 是 ， 的等比中项 【解析】 第 1 步　先把两个交点定下来 ◈ 的斜率为 且过 ，写成 代入后得到关于 的二次方程，两根之和 、两根之积 是后面四项的公共来源。 第 2 步　A 项看的是弦长的下界 ◈ ， 直接给出它严格大于 。若允许 ，等号才会在通径处出现。 答　ACD 例 3-4 （河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题 · 第14题） 【填空】若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______． 【解析】 第 1 步　切线与弦都用 、 写出来 ◈ 上参数为 的点是 ，切线 、弦 ，这两条式子把切线的交点与弦的位置都化成 、 的对称式。 第 2 步　交点是 ，条件是 在弦上 ◈ 两条切线的交点化简后恰好是 ，而 在弦上给出 。把两个对称式分别看成 与 ，轨迹方程就出来了。 答　 练习 3-1. 【多选】 为坐标原点，抛物线 的准线与 轴的交点为 ，直线 与 轴交于点 ，与抛物线 交于 ， 两点，满足 ，作 于 ，则（　　） A. 的横坐标是 B. C. 直线 斜率的最大值为 D. 当直线 与 相切时， 3-2. 【多选】设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 为线段 的中点，若与 平行的直线与抛物线 相切于点 ，则（　　） A. 是直角三角形 B. 点 的轨迹方程为 （） C. 与 轴平行 D. 3-3. 【解答】如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. （1）求直线l的方程； （2）求p. 3-4. 【单选】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3-5. 【单选】已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ） A. （除去点）， B. （除去点）， C. ， D. ， 3-6. 【单选】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3-7. 【多选】设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ） A. 直线经过一定点 B. 抛物线的焦点为 C. 点到坐标原点的距离不小于 D. 的面积的最小值为 3-8. 【填空】已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________． 3-9. 【多选】若直线与抛物线只有1个公共点，则抛物线的焦点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 方法四　抛物线的性质综合 这一节收的是条件多、提示少、要自己认路的题。题面上通常不会出现「焦点弦」「切线」这样的词，得从条件里判断该调前三节的哪一套工具。 ★ 与圆结合的题只有一条思路：把位置关系翻译成「圆心到直线的距离」或「圆心到圆上点的距离」与半径的关系。圆心在坐标轴上的圆尤其省事，写出来的方程往往直接就是含 的等式。 ★ 求 型最小值（ 在抛物线上、 在圆上）分两步：先把 换成 ，把问题化成抛物线上的点到定点 的距离；再按定义转化把焦半径换成到准线的距离，回到折线最短。 ★ 两垂直点的定值： 时 、。如果题面给的是弦过 轴上定点 ，那就用 、。两组结论各管一类题，别混。 ★ 最值按条件选路子：条件几何味浓（到焦点、到准线、对称点）的走定义转化与对称；条件给动直线、动点的设参代入，把目标化成一元函数再配方或用基本不等式；条件说「存在」「恒成立」的用判别式 定范围，这类题的答案是区间而不是数值。 ★ 面积最值有两条现成套路：底固定时让高最大，过动点作平行于底的切线，切点到该直线的距离就是最大高；过 轴上定点的弦用 ，再化成关于参数的一元式。 ★ 对称点：求 关于直线 的对称点 ，用「 的中点在 上」与「」两个条件把 的坐标用 的参数表示出来， 就成了单变量函数。两个条件写全再消参，比猜 的位置可靠。 ★ 抛物线的含参结论普遍比椭圆、双曲线短，因为只有一个参数 。但这也意味着条件不能凭对称性省略：「顶点处取到」「关于 轴对称」这类话都要落实成方程，否则容易出现「少一个方程、多一族解」。 ★ 综合题先把每个条件单独翻译成 、坐标或斜率的关系写在旁边，再挑出能凑成同一未知量的几条联立——一次翻译、一次联立，比边读边算稳得多。 例题 例 4-1 （赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第16题） 【解答】已知抛物线 ，过点 作直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点.（1）证明：；（2）若存在异于点 的定点 ，使得 恒成立，请求出点 的坐标，并求出 面积的最小值. 【解析】 第 1 步　 先化成 ◈ 在 上，所以 ，于是 。 同理。这样距离比就只与 、 有关，与斜率 的纠缠被剥掉一层。 第 2 步　两个对称式分别消去常数项与 的系数 ◈ 整理后得到 。它对任意 都成立，说明 的系数与不含 的部分必须分别为零，于是 且 。再由 舍去 。 答　（2），面积的最小值为 例 4-2 （温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第8题） 【单选】已知 为坐标原点，直线 与 轴交于 点，与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 答　D 例 4-3 （湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第7题） 【单选】已知 为坐标原点，点 ，动点 、 在抛物线 上，满足 . 若点 关于直线 的对称点为 ，则 的最大值是（　　） A. B. C. D. 【解析】 答　B 练习 4-1. 【单选】已知点 ，，点 是抛物线 上的动点（异于 ， 两点），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 4-2. 【单选】抛物线 的焦点为 ，动点 在抛物线 的准线上， 为坐标原点，当 最大时， 的面积为（　　） A. B. C. D. 4-3. 【填空】已知抛物线 ，点 ，，点 在 上运动，则 面积的最小值为 ________. 4-4. 【填空】已知抛物线 上距离点 最近的点恰好是其顶点，则 的取值范围是 ________. 4-5. 【单选】已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 4-6. 【单选】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 4-7. 【单选】已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 4-8. 【填空】已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________． 4-9. 【单选】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 抛物线的方法体系 从定义到焦点弦的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　抛物线的定义与标准方程 ★ 定义：平面内到定点 的距离等于到定直线 的距离的点的轨迹叫做抛物线。定点 叫焦点，定直线 叫准线。这句定义里藏着一个必须写出来的前提——定点 不能在定直线 上。若 ，轨迹退化成过 且垂直于 的一条直线。 与椭圆、双曲线相比，抛物线少了一个焦点、少了一条准线，离心率被定义锁死为 。正因为如此，它的标准方程里只剩一个待定参数 ，比椭圆、双曲线少一个自由度——这是抛物线所有题目计算量偏小的根源。 ★ 标准方程有四种，取决于开口方向： 开口向右 ，焦点 ，准线 ； 开口向左 ，焦点 ，准线 ； 开口向上 ，焦点 ，准线 ； 开口向下 ，焦点 ，准线 。（以上 。） ★ 记这四条不要背表，只认两件事：一次项是 还是 决定焦点落在哪条坐标轴上；一次项的符号决定开口朝哪个方向。另一个平方项的正负号永远为正——写成 就是已经把「 项系数为正」这一步化解掉了，题目里给出 这类式子时，先化成标准形再读参数。 ★ 的几何意义是焦参数：焦点到准线的距离等于 。注意不是 ——焦点与准线之间的距离是 ，焦点到顶点的距离才是 。 越大，开口越张。 ★ 第二定义与统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 的点的轨迹是圆锥曲线—— 时是椭圆、 时是抛物线、 时是双曲线。抛物线正是 的那一档，所以它的定义里「到焦点的距离等于到准线的距离」这句话，与椭圆、双曲线说的是同一套语言，不是另起一条规则。 ★ 三种曲线的准线放在一起看：椭圆与双曲线的准线各有两条，都写成 ；抛物线只有一条，与焦点分居顶点的两侧。离心率被定义锁死为 ，正是抛物线只剩一个待定参数 、计算量比另外两种曲线小的根源。 ★ 焦半径公式：设 在抛物线上， 时 ； 时 ； 时 ； 时 。四条的来历是同一个：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，而到准线的距离就是「带符号坐标加上 」的绝对值。于是「点到焦点的距离」被压成了横坐标（或纵坐标）的一次函数，凡是焦半径出现的等式立刻降次。 ★ 定义转化的两个方向，本册第一节的全部技巧都在这里： 把「到焦点的距离」换成「到准线的距离」——用于求最值、证等式，把难算的斜距离换成好算的横平竖直距离； 把「到准线的距离」换成「到焦点的距离」——遇到准线上的动点或到定直线的距离时反过来用。 求 的最小值（ 是平面内定点）是这条技巧最典型的应用：把 换成 到准线的距离，两段距离就接成了一条折线，折线的最短长度由「两点之间线段最短」给出。换另一段则用于 本身就是到准线的距离（或 在准线上）的情形。 ★ 抛物线只有一个待定参数，所以实际应用题的建模流程固定为三步：① 建系——把顶点放在原点、对称轴放在坐标轴上；② 设标准方程——按开口方向写四种形式中的一种，只留一个未知数 ；③ 代点求 ——题目给的宽度、高度、口径这类数据就是曲线上一个点的坐标。 拱桥、隧道、太阳灶、卫星天线都是这套流程。建系时要留意「高」与「宽」分别对应纵坐标与横坐标的哪一半：拱顶到水面的高度是纵坐标，水面宽度是一对对称横坐标之差，所以代点时代入的是宽度的一半。 ⚠ 判断开口方向与焦点位置时最容易错的一处，是把 的焦点记成 。标准方程里那个系数 是「 焦距」的写法，焦点横坐标是 ，不是 。题目给 时 、、焦点 ，中间的 与 要分得清。 ★ 拿到抛物线的题，第一件事是把方程化标准形、读出 与开口方向，并把焦点、准线写在旁边。有了这两条，定义转化随时可以启动。 知识点二　焦点弦与焦半径 ★ 焦点弦的定义：过焦点的直线与抛物线交于 、 两点，线段 叫做焦点弦；、 到焦点的距离 、 叫焦半径。抛物线的焦点弦是三类圆锥曲线里性质最整齐的一条——因为离心率恒为 ，公式里不会出现 。 ★ 设抛物线的焦点弦所在直线为 （以 为例），代入得 。这一步是本节的根，下面四条结论全部由它推出： ； ； ；（由 与 直接得到） 。 ★ 焦点弦长：。若弦与对称轴所成的角为 ，则 。用 写比用 写更常见，题里出现倾斜角或夹角时要立刻换成这一式。 ★ 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长 ，是所有焦点弦里最短的一条。 时（即通径） 取到最小值，这与 的表达式一致。通径也是判断开口大小的直观尺子： 越大开口越张。 ★ 倒数之和的定值：。推导只用两行：由焦半径公式 、，通分后分子为 ，分母为 ，两者相除即得 。这个等式把两条焦半径绑在一起，遇到「只给弦的位置、要求两条焦半径的某种组合」的题特别好用。 ★ 以焦点弦为直径的圆与准线相切。设 为 的中点，则 到准线的距离，恰等于半径。反过来，准线上任意一点到 、 的张角与它到焦点弦中点的连线垂直——这两句话互为表里，见到「以弦为直径的圆与准线相切」就直接写中点与准线的距离。 ★ 焦点弦为底的三角形面积：。第一步用的是「以 为公共底、两条高分别为 与 」的割补，第二步用 。反过来给面积求 或求倾斜角，也走这条式子。 ★ 中点弦与点差法：设弦 的中点为 ，两端坐标代入 后相减，得 ，于是 。 ⚠ 这个式子里只有中点的纵坐标 ，没有横坐标——与椭圆的 、双曲线的 都不同。原因很直接：标准方程里只有一个二次项，相减之后 的系数是常数 ，于是 与斜率一对一。把椭圆的结论套过来是本节最常见的失误。 ⚠ 时 无意义，此时中点弦垂直于对称轴，要单独讨论。另外点差法只用到了「两端都在抛物线上」，并没有保证这条弦真的存在，求出斜率后必须回代检验 。 ★ 见到「过焦点的弦」，先写出 与 两条；见到「弦的中点」，先写 。这两步能把绝大多数焦点弦题的计算量砍掉一半。 知识点三　直线与抛物线 ★ 直线与抛物线的位置关系只有三种：相交（两个公共点）、相切（一个公共点）、相离（没有公共点）。⚠ 抛物线上「一个公共点」不等价于「相切」——与对称轴平行的直线（如 中的水平线 ）也只交于一点，但它不是切线。这一点与双曲线里「与渐近线平行的直线只交于一点」是同一类坑。所以遇到「只有一个公共点」的题，必须把「相切」与「平行于对称轴」两条支路都走一遍。 ★ 设直线与联立，四步流程固定下来：① 设直线；② 代入抛物线；③ 写韦达；④ 把要求的量用 、（或 、）表示。第 ④ 步能写成对称式，计算量就可控。 ★ 设直线优先用 ，它天然包含竖直直线 ，不会漏解。以 为例，代入后得到关于 的二次方程 ，所以 、；再用 把横坐标的量换算过去，、。「」这一条在判断垂直、写定值题时极其好用，值得单独记住。 ★ 弦长公式两种写法，按设直线的方式选：设 时用 ；设 时用 。抛物线题里前一种更省——因为它绕开了开方后的 。 ★ 过 轴上定点 的弦 与原点围成的面积：。这与焦点弦的面积公式是同一个割补，把 换成 就回到上一节那条。 ★ 切线方程：抛物线 上一点 处的切线为 。记法是「用 换 ，用 换 」，与椭圆、双曲线的切线公式同一条规律。 由此读出一个常用的几何事实：令 ，得 ，即点 处的切线与对称轴交于 ，它与 的横坐标互为相反数，也与准线的位置无关。涉及「切线与坐标轴围成的三角形」「切线过定点」的题都从这里出发。 ★ 已知斜率的切线：斜率为 （）且与 相切的直线为 。把 代入抛物线、令判别式为零，一步就能解出 。 ★ 从准线上一点引两条切线：设该点为 ，切线 过 得 ，两根之积 。于是两条切线互相垂直，且两个切点的连线恰好过焦点。「准线上任一点 → 两条切线垂直 → 切点弦过焦点」是一条完整的三连结论，见到准线上取点的切线题直接照搬。 ★ 光学性质：平行于对称轴的光线经抛物面反射后必过焦点；反过来从焦点射出的光线经反射后平行于对称轴。太阳灶、探照灯、卫星接收天线都靠这一条。落到题面上，它给的是「入射光线平行于对称轴」「反射光线过焦点」这类条件与切线方向的对应关系。 ★ 垂直与定点的联动：、 在 上，若 ，则 、。推导只有一行：由 得 ，而 ，两式联立解出 。进一步可知直线 恒过定点 ，这就是下一节定点问题的原型。 ⚠ 用点差法求出中点弦斜率后，必须回代检验 ；用判别式定范围时，也要留意二次项系数是否为零——设 时二次项系数恒为 ，不会退化，这也是优先用它的一个理由。 ★ 直线与抛物线的题，动笔前先决定用 还是 ：过 轴上的定点一律用前者，题目给了明确斜率或倾斜角才用后者。 知识点四　抛物线的性质综合 这一节把前三节的方法混在一起用，题面上通常不出现「焦点弦」「切线」这类提示词，需要自己从条件里认出该调哪一套工具。 ★ 与圆结合：抛物线与圆的位置关系，一律翻译成「圆心到直线的距离与半径」，或「圆心到圆上点的距离与半径」。圆心在 轴上的圆与抛物线相交、相切，给出的方程往往直接化简成含 的等式，不必设交点坐标。若题目给的是「圆过抛物线上的两点」，那就在这两点上用抛物线的定义，把半径与 接起来。 ★ 与圆结合的另一类：求 型的最小值，其中 在抛物线上、 在圆上。做法是先用「圆上点到定点的距离」把 换成（ 为圆心， 为半径），再按定义转化把焦半径换成到准线的距离，最后回到折线最短。 ★ 定值问题里的两组常用结论（ 上两点 、）： 等价于 、，直线的斜率之积为定值； 弦 过定点 时，、 这类组合式里出现的 可先用 展开，再用 与韦达把 的一次与二次项分别收拢。 ★ 最值问题的三条路子，按题面条件选： 条件的几何味浓（点到焦点、点到准线、点对称）——走定义转化与对称，把目标接成折线或线段，用「两点之间线段最短」取等； 条件给的是动直线、动点——设参、代入、把目标化成关于参数的一元函数，再配方或用基本不等式； 条件给的是「存在」「恒成立」——用判别式 定参数的取值范围，这类题的目标不是某个数而是一个区间。 ★ 面积最值的两条常用套路： 底固定时让高最大——过动点作平行于底的直线与曲线相切，切点到该直线的距离就是最大高； 过 轴上定点的弦用 ，把 换成 或化成关于参数的一元式。 ★ 对称点的处理：求 关于直线 的对称点 ，先写出 的方程，再用「 的中点在 上」与「」两个条件把 的坐标用 的参数表示出来，这样 就变成了单变量函数。把两个条件写全再消参，比先猜 的位置可靠得多。 ⚠ 抛物线的最值题取等条件必须回代检查：目标最大值或最小值的取等点是否真的在抛物线上、是否落在题目限定的范围里。涉及「动点在曲线的一段上」时，端点处的值往往才是答案。 ⚠ 抛物线只有一个参数 ，所以含参问题的结论常常比椭圆、双曲线简洁，但也因此容易「少一个方程」——凡是需要用两个条件才能定下 的题，第二个条件一定要老老实实写出来，不要凭对称性默认。 ★ 综合题的条件多，先把每个条件单独翻译成 、坐标或斜率的关系写在一旁，再挑出能凑成同一个未知量的几条联立——一次翻译、一次联立，比边读边算稳得多。 二、方法突破 方法一　定义与标准方程 抛物线的定义是三类圆锥曲线里最短的一句：到焦点的距离等于到准线的距离。它比椭圆、双曲线少了一个焦点，也随之少了一个参数——标准方程里只剩 ，离心率被锁死为 。少一个自由度意味着两件事：计算量整体偏小，但每个条件都必须吃干净，因为定下抛物线只需要一个独立条件。 ★ 拿到方程的第一件事是化标准形，读出 与开口方向，然后把焦点、准线写在旁边。一次项是 还是 决定焦点在 轴还是 轴，一次项的符号决定开口朝正向还是负向。 ★ 那个 与 的分家要背准：方程写成 时，焦点是 、准线是 ，而焦点到准线的距离等于 。题里给 ，先看出 、，再写焦点 ——跳过中间一步直接写 是这一节最常见的失分点。 ★ 焦半径公式把「点到焦点的距离」压成了横坐标（或纵坐标）的一次函数： 上 。凡题面出现焦半径的等式，先用这一式降次，再看剩下的是不是一次方程。 ★ 定义转化有两个方向，这一节的技巧全在这里。求 的最小值时，把 换成 到准线的距离， 与那条水平距离就接成了一条折线，最短长度由「两点之间线段最短」给出；反过来，若 本身在准线上或题目给的是到定直线的距离，就把那段距离换成到焦点的距离。 ★ 换算时注意符号： 与抛物线开口同侧还是异侧，决定了折线该往哪个方向接。把图画出来，看一眼 落在准线的哪一边，比套公式保险。 ★ 实际应用题（拱桥、隧道、太阳灶、天线）只有三步：把顶点放在原点、对称轴放在坐标轴上建系；按开口方向设出一种标准方程，只留 一个未知数；把题目给的宽度、高度、口径代入求 。代点时代入的是宽度的一半——这一点最容易忘。 ★ 与别的曲线联立时，抛物线的 往往可以一步定出。例如抛物线过某定点、与某个圆相切、与某条直线相切这类条件，写成方程后通常只含 的一次或二次项，直接解。 ★ 先用定义把「距离」条件翻译成坐标条件，能省掉一半的根式计算；实在翻不动（比如涉及两条动半径之比），再退回设点坐标硬算。 例题 例 1-1 （鹤壁市2026届高三上学期一模 · 第13题） 【填空】已知抛物线 上一点 到 的焦点及对称轴的距离分别为 和 ，则 ________. 【解析】 设 。 的对称轴是 轴，所以 到对称轴的距离为 ，由题设 即 。 在抛物线上，，于是 焦点坐标为 ， 开口向右， 到焦点的距离就是焦半径 题设 ，所以 两边同乘 ，得 ，即 解得 。 题设 。，舍去；，符合要求。 所以 。 第 1 步　「到对称轴的距离」与「到焦点的距离」是两类条件 ◈ 抛物线 的对称轴是 轴，「到对称轴的距离」给出 ，「到焦点的距离」给出焦半径。前者配 消去 ，后者是 ，两条信息合起来待定字母只剩 一个。 第 2 步　 用来筛根 ◈ 解出 之后必须回到题设 。两个根都是正数，只凭 分不出取舍，题目专门给 就是为了只留一个答案。 答　 例 1-2 （泉州市2026届高三质量检测（二） · 第13题） 【填空】已知点 ，，若 为抛物线 上的动点，则 的最小值为 ________. 【解析】 把抛物线方程写成顶点式：，即 与 对照，得 、，所以 ，顶点为 。 焦点坐标为 ，正是题中给出的 ，即 就是这条抛物线的焦点。 准线是 ，也就是 轴。抛物线开口向上， 在抛物线上时到准线的距离等于 ，由抛物线的定义 所以 点 的纵坐标是 。当 时， 于是 当 时，同样有 ，所以 两种情况合起来说明 。取等要求 且 ，把 代入抛物线得 ，点 确实在抛物线上。 所以 的最小值为 。 第 1 步　先确认 就是焦点 ◈ 的 与顶点纵坐标都要先算出来，才能看出 正好落在焦点位置。一旦确认， 就可以按定义换成 ，两条线段都变成竖直方向上的量，不必再去求导数。 第 2 步　竖直投影给出下界 ◈ 的依据是两点间距离不小于它们在 轴上的投影差，等号当且仅当 。解出取等点 后要代回抛物线核验一次，确认它真的在曲线上，否则最小值取不到。 答　 例 1-3 （湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题 · 第4题） 【单选】某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 隧道剖面是抛物线，以地面所在直线为 轴、隧道的中垂线为 轴建立坐标系，则抛物线的顶点为 ，开口向下，且经过 。 设抛物线的方程为 把 代入：，得 ，所以 货车不准跨过中间的实线，宽度又为 ，所以货车的横截面最多从中心线占到 的位置。 集装箱最高点的高度不能超过抛物线在 处的高度，而 所以货车高度的最大值为 ，选 C。 第 1 步　「高 、宽 」就是顶点与两个端点 ◈ 剖面抛物线在中间最高、两端落地，于是顶点 与端点 一共给出三个条件，足够定出 中的 。把坐标系建在对称位置上，抛物线就没有一次项，计算量最小。 第 2 步　「不准跨过中间实线」就是 ◈ 货车宽 只能占一侧车道，内边缘贴着中心线时外边缘正好在 。抛物线在 上单调递减，所以最高的可行位置就是 处。 答　C 例 1-4 （唐山市2026年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 · 第13题） 【填空】已知直线 与圆 相切，若直线 过抛物线 的焦点 ，与 的准线相交于点 ，则 ________. 【解析】 直线 与圆 相切，圆的圆心为 、半径为 ，由点到直线的距离公式 两边平方： 展开得 ，整理得 解得 或 。 时 ，它与 轴平行，不可能经过 轴上的焦点 ，舍去。于是 令 得 ，所以焦点 ，从而 ，，抛物线为 ，准线为 。 把 代入 ： 所以 ，而 ， 第 1 步　相切给出 的两个候选 ◈ 圆心 、半径 是完整信息，距离等于半径得到关于 的二次方程。解得 与 两个根，都要先留下再筛。 第 2 步　用「直线过焦点」筛掉 ◈ 时 是水平直线 ，而焦点在 轴上， 轴上的点不可能落在 上。这一步筛根必须写出来，否则会白白多出一组解。 答　 练习 1-1. 【单选】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， 为 上一点. 若 是正三角形，则 的边长为（　　） A. B. C. D. 解析　答：D 中 ，即 ，焦点 ，准线为 。 设 在 上，令 ，则 ，即 。 开口向右， 是正三角形，所以 。 设 （ 在准线上）。由 得 由 得 所以 ，即 。代入前式： 整理得 ，即 ，故 。 所以正三角形的边长为 选 D。 1-2. 【填空】抛物线 的焦点为 ， 为 的准线与 轴的交点， 为 上一点，若 ，则 ________. 解析　答： 的焦点为 ，准线为 ，准线与 轴的交点 ，所以 设 在 上，则 。由 ： 把 代入： 整理得 解得 在抛物线上要求 ，而 不合要求，所以 是 与 的夹角，其中 ，于是 而 所以 。 1-3. 【单选】已知抛物线 （）与双曲线 的渐近线的交点分别为 ，，，其中 为坐标原点，若 的面积为 ， 为 与 在第一象限内的一个公共点，则 （　　） A. B. C. D. 解析　答：B 双曲线 的两条渐近线为 与 。 把 代入 ：，得 或 ，交点除原点外为 。 把 代入 ：同样得 或 ，交点除原点外为 。 所以 、，， 边上的高为 ， 由 得 ，又 ，所以 ，于是 ，。 设 是两曲线在第一象限的公共点。把 代入 ： 解得 。第一象限要求 且 ，取 此时 ，而 所以 选 B。 1-4. 【单选】已知抛物线 的焦点为 ，圆 与 交于 ， 两点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，则 （　　） A. B. C. D. 解析　答：C 圆 的圆心为 ，半径为 。 抛物线 与圆 都关于 轴对称，所以它们的两个交点 、 也关于 轴对称，设 于是直线 与 的斜率之积为 即 在 上，； 在圆 上， 把 代入得 ，即 。 在抛物线上，，所以 ，。 于是 ，再由 得 ，即 ，所以 ，焦点为 开口向右， 选 C。 1-5. 【填空】已知点在抛物线上，则到的焦点的距离为__________. 解析　答：2 点 在 上，代入得 所以 ，焦点为 ，恰好与 的横坐标相同。 开口向右， 到焦点的距离等于焦半径： 1-6. 【填空】已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则__________. 解析　答：4 中 ，即 ，焦点 ，准线为 。 设 在 上且位于第一象限，则 。过 作准线的垂线，垂足为 。 直线 的斜率为 它的倾斜角为 ，所以 ，于是 在 上，，所以 开口向右， 1-7. 【填空】已知点为抛物线上一点，为的焦点，则________. 解析　答： 点 在 上，代入得 所以 ，焦点为 。 开口向右， 1-8. 【单选】设抛物线的焦点为F，斜率不为0的直线l过点，过F作l的垂线，垂足为P，Q是C上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 7 解析　答：C 即 ，所以 ，开口向上，焦点 ，准线为 。 直线 过 ， 是 到 的垂足，所以 ，即 ，于是 在以 为直径的圆上。 该圆的圆心为 的中点 半径为 设 在 上。 开口向上，由定义 对圆上任一点 ，由三角形不等式 而 两式相加得 当 时，右端为 当 时，右端为 所以无论 取在抛物线的哪一点，。 取等要求 且 。此时 在 上给出 ，圆上离 最近的点为 。 点 与 连线的斜率为 ，符合 斜率不为 的条件，最小值可以取到。 所以最小值为 ，选 C。 方法二　焦点弦与焦半径 题目里出现焦点、过焦点的弦、两条焦半径的夹角，就一定有比联立更快的路子。抛物线的焦点弦是三类圆锥曲线里性质最整齐的——离心率恒为 ，所以公式里不会掺进 ，结论可以直接默写。 ★ 全节的地基只有一个方程：设焦点弦所在直线为 （以 为例），代入得 ，于是 、。记住「两根之积是常数 」这句话，后面几条都能现推。 ★ 由它派生出的两条：、。前者是与原点连线垂直关系的来源，后者直接给出弦长。 ★ 焦点弦长 。换成角写更好用：若弦与对称轴的夹角为 ，则 。题面给倾斜角、给夹角，一律往这一式上靠。 ★ 通径是过焦点垂直于对称轴的弦，长 ，是所有焦点弦中最短的一条。它是判断开口大小的尺子，也是很多范围题的临界位置。 ★ 倒数之和 是把两条焦半径绑在一起的等式。若题目只给「弦的位置」而要求两条焦半径的某种组合，优先看能不能凑成这个倒数之和。 ★ 以焦点弦为直径的圆与准线相切；等价的说法是准线上任意一点到弦两端张成的角，被「该点与弦中点的连线」平分。见到「圆与准线相切」「弦为直径的圆」，直接写弦中点到准线的距离等于半弦长。 ★ 以焦点弦为底的三角形面积：。反过来给面积求 或求倾斜角，也走这条式子。 ★ 中点弦：设弦的中点 ，则 。⚠ 式子里只有 ，没有 ——这与椭圆的 完全不是一回事，别把椭圆的结论搬过来。 时公式失效，中点弦垂直于对称轴，单独讨论。用完必须回代检验 。 ★ 见到焦半径或焦点弦，先写焦半径公式与 ；见到「以弦为直径的圆」，先找中点与准线的距离。这两步能把绝大多数焦点弦题的计算量砍掉一半。 例题 例 2-1 （金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第7题） 【单选】抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与抛物线 相交于 ， 两点，且 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 开口向上，焦点为 ，准线为 ，抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以 解得 两式相减得 直线 的斜率为 ，即 ，于是 所以 选 A。 第 1 步　两条焦半径各翻译成一个纵坐标 ◈ 开口向上时「到焦点的距离」等于「到准线的距离」，于是 。两个已知的焦半径就把 、 都用 表示出来，而它们的差与 无关。 第 2 步　斜率只管纵向差与横向差之比 ◈ 已知 与斜率 ，立刻得到 ，弦长就是勾股定理 。这条路上根本不需要求出、 的坐标，也不必用到 。 答　A 例 2-2 （黄骅中学等十校2026届高三下学期一模 · 第8题） 【单选】已知抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线交抛物线于第一象限内的 ， 两点，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 中 ，焦点为 ，准线为 ，点 正好落在准线上。 设 （由 、 在第一象限知 ），代入 ： 整理得 它的两根就是 、，由韦达定理 抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，而 、 都在 的右侧，所以 由 得 ，即 与 联立： 即 ，解得 或 。 在第一象限，，所以 ，。 再由韦达定理 得 ，即 。，所以 选 B。 第 1 步　 落在准线上是题目留的暗门 ◈ 正是准线与 轴的交点。把 设成 后代入抛物线，二次项系数与常数项都是 ，于是 ，不需要解出具体的根就能用韦达定理。 第 2 步　焦半径用横坐标表达 ◈ 开口向右时 。条件 于是变成 ，与 联立即得两个横坐标，最后一步才用 反解 。 答　B 例 2-3 （苏北七市2026届高三第二次调研测试 · 第10题） 【多选】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，准线为 . 过 的直线与 交于 ， 两点，过 作 的垂线，垂足为 ， 与 轴交于 点，则（　　） A. B. C. 可能为锐角 D. ，， 三点共线 【解析】 开口向上，，准线 。设 、，且 、、 三点共线。 到准线 的距离就是 ，由抛物线的定义 所以 A 正确。 由 与 得 是 与 轴的交点，线段 的两个端点纵坐标分别是 与 ，所以 轴过它的中点， 于是 ，而 在抛物线上，，代入得 ，所以 ，B 正确。 设过 的直线为 ，代入 ： 由韦达定理 于是 所以 恒为钝角，不可能为锐角，C 错误。 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，两者相等等价于 把 代入右端： 两个斜率确实相等，所以 、、 三点共线，D 正确。 选 ABD。 第 1 步　定义式一眼定下第一项 ◈ A 项问的是 与 的关系。 到准线的距离就是 ，抛物线的定义直接给出两者相等，不需要任何计算。 第 2 步　焦点弦的两条韦达结论是后半段的公共工具 ◈ 过焦点设 ，代入后得 ，由此派生 。数量积判钝角用它，、、 共线也用它，两项各写一行即可。 答　ABD 例 2-4 （金丽衢十二校2026届高三第一次联考 · 第16题） 【解答】已知抛物线 的焦点为 ， 上有一点 到焦点 的距离为 ，过焦点 作直线与抛物线交于 ， 两点，， 为坐标原点.（1）求 的坐标；（2）求 的面积. 【解析】 （1） 在 上，代入得 开口向右， 到焦点的距离用焦半径表示， 题设 ，所以 ，得 ，，焦点为 （2）设过 的直线为 （ 时代表垂直于 轴的那条，一并包含），代入 ： 设 、，由韦达定理 又 ，所以 由焦半径 题设 ，所以 ，即 。 以 为底，，而 正是 、 到 轴的距离之和，所以 第 1 步　先由 定 ◈ 的横坐标恰好是 ，所以焦半径是 ，与 一联立就直接得到 。这一步定了 ，第（2）问才有的算。 第 2 步　设 而不是 ◈ 垂直于 轴的焦点弦用斜截式会漏掉，用 则把竖直那条也包含在内。代入后得到下标全在 上的二次方程，弦长用 ，面积用 ，两个量都只需韦达定理。 答　（1）；（2） 练习 2-1. 【单选】抛物线 ， 是其焦点，点 、 在曲线 上，且 ， 为线段 的中点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析　答：A 中 ，焦点为 ，准线为 。 设 、（，）。在 中 ，由余弦定理 是 的中点， 是 在准线上的垂足。 开口向右，、 到焦点的距离等于到准线的距离，所以 于是 记 ，两边平方： 由 得 ，所以 即 ，当 （也就是 ）时取等。 所以最小值为 ，选 A。 2-2. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线 与抛物线交于 ， 两点（ 在第一象限），与准线相交于 ，过点 作抛物线的切线与准线相交于 ，当 ， 时，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. D. 解析　答：ABD 开口向上，，准线为 ， 到准线的距离为 。设直线 的倾斜角为 ，由 知 ，且 。 与准线交于 ，在 、 与「 在准线上的垂足」组成的直角三角形里，斜边 与水平方向成角 ，竖直边为 ，所以 在从 出发方向角为 的射线上，设 ，则 。 开口向上， 到焦点的距离等于到准线的距离， 解得 在相反方向的射线上，同理 由 知 在 与 之间，所以 ，即 由 得 解得 ，即 ，从而 ，，A 正确。 再由 得 ，B 正确。 此时 C 错误。 在 处的切线为 ，令 得 ，所以 在 上，，即 ，代入得 而 与 共线，且 ，所以 ，D 正确。 选 ABD。 2-3. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，分别过点 ， 作 的垂线，垂足分别为 ，，若 为等边三角形，则（　　） A. 直线 的斜率为 B. C. 的周长为 D. ，， 三点共线 解析　答：ABCD 中 ，焦点 ，准线 。、 分别是 、 在 上的垂足，由抛物线的定义 为等边三角形，所以 。 设 ，则 ， 由 得 在 上，，代入得 整理得 ，解得 （ 不合要求），于是 。、 关于 轴对称，不妨设 在 轴上方， 直线 过 ，斜率为 A 正确。 直线 ，代入 ： 即 ，解得 或 ，所以 在以 为一根的另一侧， 由焦半径 B 正确。 是等边三角形，边长为 ，所以周长为 ，C 正确。 ，直线 的斜率为 ；直线 的斜率为 两个斜率相等，所以 、、 三点共线，D 正确。 选 ABCD。 2-4. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，若 上存在 个互不重合的点 ，，…， 满足 ，下列结论中正确的有（　　） A. 若 ，则 的最小值为 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最小值为 解析　答：ACD 中 ，焦点 。设从 出发、与 轴正方向成 角的射线交 于 ，，则 代入 ： 即 。解出正根 所以从 出发、方向角为 的射线与 的交点到 的距离为 时 ，、 在过 的同一条直线上反向，构成一条焦点弦。设 的方向角为 ，则 的方向角为 ， 当 时取到 ，此时弦垂直于对称轴，就是通径，A 正确。 同时 不等于 ，B 错误。 时四个点把 处的周角四等分， 与 反向、 与 反向，且 的方向角比 大 。仍设 的方向角为 ， 于是 两式相加得 ，C 正确。 再由 得 当 时取到最小值 ，D 正确。 选 ACD。 2-5. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，其中 ，，则（　　） A. 直线 的斜率为 B. 点 到 轴的距离为 C. 的面积为 D. 直线 的倾斜角为 或 解析　答：AC ，所以 ，，，准线为 ，点 恰好落在准线上。 从 出发、方向角为 （与 轴正方向的夹角）的射线与 的交点到 的距离为 设 的方向角为 （）。 沿 轴负方向，方向角为 ，所以 设 的方向角为 。由 得 ，即 （若取 ，则 是 轴上的原点，、、 无法同时落在一条与抛物线交于两点的直线上，所以舍去。） 把 、 的坐标用 表示。记 、（），则 、、 三点共线，即 与 的叉积为零： 提公因式得 、，所以 ，即 ，。 此时 直线 的斜率就是 的斜率， A 正确。 点 到 轴的距离为 ，不是 ，B 错误。 ，，于是 C 正确。 直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，不是 或 ，D 错误。 选 AC。 2-6. 【多选】已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，直线 交 于另一点 ，则（　　） A. B. 的内心在定直线上 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的面积为 解析　答：ABD ，所以 ，，，准线为 ，点 恰好落在准线上。 设 、 在 上（）。 先把直线 与 的另一个交点 求出来。，把 上的点写成 ，代入 ： 即 。因式分解得 ，所以另一个交点在 处， A 项：，，两向量夹角的正切为叉积与数量积之比， 而 ，，， 两者相等，A 正确。 B 项： 的三条边为 后一式用的是焦半径。设内心为 ，三角形内心按对边长度加权， 把 代入分子，得 ，所以 ，内心恒在定直线 （即 轴）上，B 正确。 C 项：，而 与 同向。记 、，则 由 ： 记 ，两边同除 并注意 ，得 即 ，解得 （另一根为负，舍去）。于是 而 给出 ，解得 ， 并不等于 ，C 错误。 D 项：，，， 又 ， 、、 三点共线，而 ，所以两条斜线斜率相等： 整理得 ，即 。，所以 由 ： 把 代入，得 、，化简为 当 时解得 ；当 时解得 。两种情形下 、 互换，三角形全等。取 ，则 ， ，， D 正确。 选 ABD。 2-7. 【多选】设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点（点 在第一象限），过 作 的切线交 轴于点 ，交 于点 ，过 作直线 ，垂足为 ，则（　　） A. B. 若 的倾斜角为 ，则 C. 四边形 为菱形 D. 四边形 的面积的最小值为 解析　答：ACD 中 ，即 ，焦点 ，准线 。 设 （， 在第一象限），则 ，。 在 处的切线为 ，即 它与 轴交于 ，与准线 交于 A 项： A 正确。 B 项： 的倾斜角为 ，斜率为 ，又过 ，所以 。代入 ： 即 ，两根之和为 。由焦半径， 不等于 ，B 错误。 C 项：四边形 的四条边 四条边相等，所以四边形 为菱形，C 正确。 D 项：把 、、、 的坐标代入面积公式， 求导得 令 ，即 ，解得 （负根舍去），此时 取到最小值 D 正确。 选 ACD。 2-8. 【填空】已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为______． 解析　答： 开口向右，焦点为 。设过 的直线为 ，代入 ： 设 、，由韦达定理 由 得 ，，所以 把韦达定理代入分子与分母： 题设该式为 ，所以 ，得 ，准线方程为 2-9. 【单选】已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向为，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 即 ，所以 ，，开口向上，焦点 ，准线为 。 的一个方向向量为 ，所以 的倾斜角为 ，。 设 在从 出发、方向角为 的射线上，，则 开口向上， 到焦点的距离等于它到准线的距离， 解得 在相反方向的射线上，同理 、、 依次共线，所以 选 C。 方法三　直线与抛物线 直线与抛物线相交的计算量不算大，麻烦处在于「只有一个公共点」与「相切」在抛物线里并不等价。这一节要练的是把设直线、联立、写韦达、用对称式这套流程固定下来，并且不漏掉那条平行于对称轴的支路。 ★ 位置关系分三种：两个公共点、一个公共点、没有公共点。「一个公共点」有两条来源——直线与抛物线相切，或直线平行于对称轴（如 中的水平线）。遇到「只有一个公共点」的题，两条支路都要走一遍，漏掉后者就会少解。 ★ 设直线优先用 。它天然包含竖直直线 ，代入后得到的二次方程二次项系数恒为 ，不会退化。代入 得 ，于是 、；再换算到横坐标，得到 、。「」这一条在垂直与定值题里最好用。 ★ 弦长两种写法按设直线的方式选： 配 ； 配 。抛物线题里前者更省，因为它绕开了开方后的 。 ★ 过 轴上定点 的弦，。把 换成 就是焦点弦的面积公式，两者是同一个割补。 ★ 切线只用记一条： 上点 处的切线是 。令 得切线与对称轴交于 ——横坐标与 互为相反数。「切线与坐标轴围成三角形」这类题都从这里起步。 ★ 已知斜率的切线：斜率 时为 。从准线上一点 引两条切线，两斜率满足 ，两根之积为 ，所以两条切线互相垂直，并且两个切点的连线恰好过焦点。这是一条完整的三连结论，见到准线上取点引切线就直接用。 ★ 光学性质：平行于对称轴的光线经抛物面反射后过焦点，从焦点射出的光线经反射后平行于对称轴。落到题面上，它把「光线方向」翻译成「切线方向」，太阳灶、探照灯、天线的题都靠这一条。 ★ 垂直与定点的联动：、 在 上， 等价于 、，也等价于直线 恒过定点 。三个说法互相等价，题面给哪一个都可以往另外两个上转。 ★ 动笔前先决定用 还是 ：过 轴上的定点一律用前者；题目给了明确斜率或倾斜角，才用后者。 例题 例 3-1 （梅州市2026届高三下学期3月总复习质检 · 第15题） 【解答】如图， 是抛物线 的焦点， 是抛物线 在第一象限上的一点，，.（1）求抛物线 的方程；（2）求抛物线 在点 处的切线方程. 【解析】 设 在 上且位于第一象限，则 ，。 焦点 ，于是 ，。由 ： 所以 又 是焦半径， 题设 ，得 ，即 。 （1）所以抛物线 的方程为 （2）把 代回，，， 在第一象限，取 在 处的切线为 ，即 整理得 第 1 步　 用数量积翻译成横坐标 ◈ 沿 轴负方向， 的横坐标是 ，把 写成数量积之比，就得到 。再由焦半径 定出 。 第 2 步　「第一象限」是筛 的最后一关 ◈ 若误取 ，会得到 ，与 在第一象限直接矛盾。解出待定字母后一定回代算出 、，看它们是否满足题设的象限。 答　（1）；（2） 例 3-2 （莆田市2026届高三高中毕业班第二次质量调研测试 · 第17题） 【解答】已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 与 ， 的交点分别为 ，，且 .（1）求 ；（2）若过点 的直线 交 于 ， 两点，且 ，求 的值. 【解析】 的准线为 ，。 （1）直线 与准线的交点 ；与 的交点满足 ，即 。 于是 由 得 即 。若 ，则 ，得 ；若 ，则 无正解。所以 （2）此时 。过 的直线设为 ，代入 ： 设 、，则 由 得 所以 由 得 ，即 ，于是 ，所以 ，又 ，于是 即 ，解得 ， 按 、 的记法取 ，得 第 1 步　先让 、 的坐标只含 ◈ 是水平直线，它与准线的交点横坐标是 ，与 的交点横坐标由 给出 。两点纵坐标相同，所以 、 的差别只体现在横坐标上，联立后只剩 一个未知数。 第 2 步　弦长拆成 ◈ 设 后，，于是 ，两根之积 直接给出 。再由 与 解出两段长度的比。 答　（1）；（2） 例 3-3 （佛山市2025-2026学年普通高中教学质量检测（二） · 第10题） 【多选】在平面直角坐标系 中，斜率为 的直线 交抛物线 于 ， 两点，交 轴于点 ，则（　　） A. B. C. ， 的等差中项是 D. 是 ， 的等比中项 【解析】 的斜率为 且过 ，所以 （）。代入 ： 即 由韦达定理 又 ，所以 A 项： 使 ，所以 ，A 正确。 C 项： 所以 、 的等差中项为 ，C 正确。 D 项：，而 ，所以 是 、 的等比中项，D 正确。 B 项： 所以 需要 ，这要求 ，而此时 与 矛盾，所以 不可能大于 ，B 错误。 选 ACD。 第 1 步　先把两个交点定下来 ◈ 的斜率为 且过 ，写成 代入后得到关于 的二次方程，两根之和 、两根之积 是后面四项的公共来源。 第 2 步　A 项看的是弦长的下界 ◈ ， 直接给出它严格大于 。若允许 ，等号才会在通径处出现。 答　ACD 例 3-4 （河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题 · 第14题） 【填空】若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为______． 【解析】 设 、（）在 上。 在 处的切线为 ，在 处的切线为 。 设两条切线的交点为 。两式相减得 所以 代回 ： 即 。 弦 所在直线为 在这条直线上，代入得 这正是 ，整理得 所以两条切线交点的轨迹方程为 。 第 1 步　切线与弦都用 、 写出来 ◈ 上参数为 的点是 ，切线 、弦 ，这两条式子把切线的交点与弦的位置都化成 、 的对称式。 第 2 步　交点是 ，条件是 在弦上 ◈ 两条切线的交点化简后恰好是 ，而 在弦上给出 。把两个对称式分别看成 与 ，轨迹方程就出来了。 答　 练习 3-1. 【多选】 为坐标原点，抛物线 的准线与 轴的交点为 ，直线 与 轴交于点 ，与抛物线 交于 ， 两点，满足 ，作 于 ，则（　　） A. 的横坐标是 B. C. 直线 斜率的最大值为 D. 当直线 与 相切时， 解析　答：AD 中 ，即 ，准线为 ，所以 。 设 、（）在 上。由 ： 所以 弦 所在的直线方程为 。代入 得 A 项：令 得 ，所以 的横坐标为 ，A 正确。 B 项：记 。由 得 ，所以 于是 与选项给出的「」方向相反，B 错误。 C 项： 且 在 上，所以 ， 在以 为直径的圆上， 设 ，则直线 的斜率 把 整理为 左端的振幅为 ，所以 ，平方得 ，即 最大值 与 不等，C 错误。 D 项： 与 相切于 ，切线为 。把 代入： 取 ，则 ，， 所以 ，D 正确。 选 AD。 3-2. 【多选】设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，点 为线段 的中点，若与 平行的直线与抛物线 相切于点 ，则（　　） A. 是直角三角形 B. 点 的轨迹方程为 （） C. 与 轴平行 D. 解析　答：ACD 中 ，即 。设过点 的直线为 ，代入 ： 设 、，则 A 项：，于是 所以 ， 是直角三角形，A 正确。 B 项： 是 的中点，， 所以 的轨迹是 ，与选项给出的 不符，B 错误。 C 项：与 平行的直线与 相切于点 。 的斜率为 ，而 在 处的切线斜率为 ，两者相等给出 与 相同，所以 与 轴平行，C 正确。 D 项：由 得 。 先算 ： 而 ，代入得 再算 ： 由 得 ，而 ，所以 两式相乘。记 ，则 所以 比较两式， 等价于 记 ，则 ，右端减去左端为 的判别式 ，恒为正值，而 ，所以差非负，，D 正确。 选 ACD。 3-3. 【解答】如图，已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，于点. （1）求直线l的方程； （2）求p. 解析　答：（1）；（2） （1） 是 到直线 的垂足，所以 。直线 的斜率为 ，因此 的斜率为 ，又 过 ， 即 （2），即 。代入 ： 整理得 设 、，则 由 得 由 ： 所以 3-4. 【单选】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与抛物线交于A,B两点，若直线OA,OP,OB的斜率依此成等比数列，则的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 解析　答：A ，所以 。 设 、（）在 上，则 、、 依次成等比数列，所以 弦 所在直线为 ， 在这条直线上，代入得 把 代入得 ，于是 的斜率 选 A。 3-5. 【单选】已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ） A. （除去点）， B. （除去点）， C. ， D. ， 解析　答：B 中 ，焦点 。设 、 在 上，、 位于 轴两侧，所以 。 由 ： 记 ，得 ，解得 或 。，所以 弦 所在直线为 ，即 所以 恒过定点 。 是 到 的垂足，而 在 上，所以 ， 在以 为直径的圆上。、，圆心为 、半径为 ， 不可能经过 ，所以点 要除去。 设 ，则直线 的斜率 把 整理为 左端的振幅为 ，所以 ，平方得 ，即 所以直线 斜率的最大值为 ，选 B。 3-6. 【单选】已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 把 代入 ： 整理得 设 、，则 线段 中点的横坐标为 所以 ，选 D。 3-7. 【多选】设动直线与抛物线相交于，两点，分别过，作的切线，设两切线相交于点，则（ ） A. 直线经过一定点 B. 抛物线的焦点为 C. 点到坐标原点的距离不小于 D. 的面积的最小值为 解析　答：ACD 中 ，即 。设 、（）在 上。 A 项： 即 ，它对任意 都过点 ，A 正确。 B 项： 开口向上，焦点为 ，B 错误。 在 处的切线为 ，即 ；在 处的切线为 。两式相减得 代回得 ，即 。 弦 所在直线为 ，与 对照得 C 项： 所以 ，C 正确。 D 项：，所以 点 到直线 的距离 于是 而 ，所以 当 时取到最小值 ，D 正确。 选 ACD。 3-8. 【填空】已知是抛物线在第一象限上的点，是抛物线的焦点，（为坐标原点）则抛物线在处切线的斜率是__________． 解析　答： 中 ，焦点 。设 在第一象限，则 。 ，， 到焦点的距离是焦半径，。由 ： 解得 于是 ，。 抛物线在 处的切线为 ，其斜率 3-9. 【多选】若直线与抛物线只有1个公共点，则抛物线的焦点坐标可以是（ ） A. B. C. D. 解析　答：BC 是抛物线时 ，此时 ，，焦点为 。 把 代入 ： 整理得 若 ，两曲线只有 个公共点等价于这个二次方程有重根， 即 。由 ： 给出 ，不合 ； 给出 若 ，即 ，方程退化为 ，也只有一个公共点，此时 ，公共点为 ，确实只有 个。 所以 只能取 或 ，对应的焦点为 与 。B、C 正确。 A、D 错误。 选 BC。 方法四　抛物线的性质综合 这一节收的是条件多、提示少、要自己认路的题。题面上通常不会出现「焦点弦」「切线」这样的词，得从条件里判断该调前三节的哪一套工具。 ★ 与圆结合的题只有一条思路：把位置关系翻译成「圆心到直线的距离」或「圆心到圆上点的距离」与半径的关系。圆心在坐标轴上的圆尤其省事，写出来的方程往往直接就是含 的等式。 ★ 求 型最小值（ 在抛物线上、 在圆上）分两步：先把 换成 ，把问题化成抛物线上的点到定点 的距离；再按定义转化把焦半径换成到准线的距离，回到折线最短。 ★ 两垂直点的定值： 时 、。如果题面给的是弦过 轴上定点 ，那就用 、。两组结论各管一类题，别混。 ★ 最值按条件选路子：条件几何味浓（到焦点、到准线、对称点）的走定义转化与对称；条件给动直线、动点的设参代入，把目标化成一元函数再配方或用基本不等式；条件说「存在」「恒成立」的用判别式 定范围，这类题的答案是区间而不是数值。 ★ 面积最值有两条现成套路：底固定时让高最大，过动点作平行于底的切线，切点到该直线的距离就是最大高；过 轴上定点的弦用 ，再化成关于参数的一元式。 ★ 对称点：求 关于直线 的对称点 ，用「 的中点在 上」与「」两个条件把 的坐标用 的参数表示出来， 就成了单变量函数。两个条件写全再消参，比猜 的位置可靠。 ★ 抛物线的含参结论普遍比椭圆、双曲线短，因为只有一个参数 。但这也意味着条件不能凭对称性省略：「顶点处取到」「关于 轴对称」这类话都要落实成方程，否则容易出现「少一个方程、多一族解」。 ★ 综合题先把每个条件单独翻译成 、坐标或斜率的关系写在旁边，再挑出能凑成同一未知量的几条联立——一次翻译、一次联立，比边读边算稳得多。 例题 例 4-1 （赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第16题） 【解答】已知抛物线 ，过点 作直线 与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点.（1）证明：；（2）若存在异于点 的定点 ，使得 恒成立，请求出点 的坐标，并求出 面积的最小值. 【解析】 设 的斜率为 。 过 ，若 与 轴垂直则只与 交于一点，不合题意，所以 。代入 ： 设 、，则 由 得 于是 所以 ，得证。 （2）由 得 设 。条件 等价于 把 展开，归并含 、 的项，得 代入 、，并注意 ： 它对一切 成立，所以 且 ，得 。 异于点 ，故 再算面积。 即 ， 到它的距离 所以 使 ，当 时取等，面积的最小值为 。 第 1 步　 先化成 ◈ 在 上，所以 ，于是 。 同理。这样距离比就只与 、 有关，与斜率 的纠缠被剥掉一层。 第 2 步　两个对称式分别消去常数项与 的系数 ◈ 整理后得到 。它对任意 都成立，说明 的系数与不含 的部分必须分别为零，于是 且 。再由 舍去 。 答　（2），面积的最小值为 例 4-2 （温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第8题） 【单选】已知 为坐标原点，直线 与 轴交于 点，与抛物线 交于 ， 两点，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 中 。设 、（，），则 记 ，得 ，即 。 由 、 的坐标写出弦 的方程 ，即 所以 与 轴的交点为 。由 得 而 ，，所以 于是 D 项正确。再看 A、C 两项， 所以 它随 变化，不是定值，A、C 错误。选 D。 答　D 例 4-3 （湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测 · 第7题） 【单选】已知 为坐标原点，点 ，动点 、 在抛物线 上，满足 . 若点 关于直线 的对称点为 ，则 的最大值是（　　） A. B. C. D. 【解析】 中 。设 、，由 得 。 把 代回弦的方程 ，得 记 ，则 恒过定点 。 是 关于 的对称点，所以 是线段 的垂直平分线。 在 上，因此 即 在以 为圆心、 为半径的圆上。 再确认 能跑遍这个圆。 的斜率为 ，故 所在直线的斜率为 ，设 为 在 上的垂足，则 由 得 取遍实数时 取遍 ，对应的点跑遍该圆上除原点外的一切点。 到圆心 的距离为 所以 取最大值时 、、 依次共线， 在 与 之间，坐标为 （即 沿 方向再走 个单位），不为原点，可以取到。选 B。 答　B 练习 4-1. 【单选】已知点 ，，点 是抛物线 上的动点（异于 ， 两点），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 为定值 解析　答：C ，设 （），则 所以 与 无关，C 正确。 其余三项： 都随 变化，不是定值。选 C。 4-2. 【单选】抛物线 的焦点为 ，动点 在抛物线 的准线上， 为坐标原点，当 最大时， 的面积为（　　） A. B. C. D. 解析　答：B 中 ，焦点 ，准线为 。设 ，由对称性只讨论 。 于是 相除得 是锐角， 在其上递增，所以 最大等价于 最大。而 当 时取等。此时 的底 ，高为 ， 选 B。 4-3. 【填空】已知抛物线 ，点 ，，点 在 上运动，则 面积的最小值为 ________. 解析　答： 、，所以 直线 的方程为 ，即 。设 ，则 到 的距离 ，所以 ，于是 4-4. 【填空】已知抛物线 上距离点 最近的点恰好是其顶点，则 的取值范围是 ________. 解析　答： 设 是抛物线上一点，则 记 ，得 抛物线上的点与顶点 的距离对应 。要使最近的点恰好是顶点， 在 上的最小值须在 处取到，即对称轴 所以 。又 ， 的取值范围是 。 反之当 时 对 恒成立， 单调递增，最小值确在 处。 4-5. 【单选】已知抛物线，点M是抛物线上的动点，则M到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D ，设 。 所以 到 的距离 到 的距离 两距离之和 当 时取最小值 ，选 D。 4-6. 【单选】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 解析　答：C 中 ，焦点 。设 ，弦 过焦点，所以 对应的参数为 ，即 在 处的切线 为 ，令 得 ，所以 切线 的斜率为 。过 且平行于 的直线为 令 得 ，即 ，所以 于是 当 时取等，最小值为 ，选 C。 4-7. 【单选】已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 解析　答：C 焦点 ，准线 。圆 即 ，圆心为 、半径为 。 设 （），直线 的斜率 直线 为 ，即 。它与圆相切，所以圆心到它的距离等于半径： 得 。由 得 所以 。过 作 的垂线， 竖直，故垂线水平，垂足 。 在 中，、 的纵坐标都是 ，所以 水平， 到直线 的距离为 ，所以 选 C。 4-8. 【填空】已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________． 解析　答： 设切点为 。抛物线 在切点处的切线为 圆 在切点处的切线为 两条切线是同一条直线，法向量 与 平行： 再把切线的常数项对齐： 取 ，得 。由 得 ，即 焦点 。 的底 ， 到直线 （即 ）的距离为 ，所以 4-9. 【单选】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析　答：B 中 ，焦点 ，恰好是圆 的圆心，圆的半径为 。 对 上的点 ， 在圆上，所以 ，从而 设 ，则 ， 注意 而 ，所以根号内的被开方数不小于 。 当 时两边开方得 ，于是 ；当 时 ，同样有 。 等号在 时取到，此时 在圆上取 使 在线段 上，则 ，于是 即最小值为 ，选 B。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $