数列的方法体系（下）综合篇 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦数列高考核心考点，涵盖公共项、插入项、新数列、单调性与最值及与不等式函数概率的综合应用，按知识点梳理、方法突破、真题训练的逻辑架构展开，通过考点精析、方法归纳（如同余法解公共项、不等式组求最值）、各地模拟题演练，帮助学生系统构建数列解题体系，突破难点。 资料以“问题驱动-规律探究-严格验证”为特色，如新定义数列先写前几项找规律再用定义验证，培养学生数学眼光与创新意识。单调性问题通过作差作商函数法结合相邻整数点比较，强化数学思维与推理能力。分层练习配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

数列的方法体系（下） 综合篇 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点九　公共项、插入项与新数列 公共项问题：两个等差数列的公共项仍成等差数列，首项取最小的公共项，公差取两个公差的最小公倍数 。做法是列出两通项，解同余条件定出首项与公差。 插入项问题：在 与 之间插入 个数使整体成等差数列，则新数列共 项，公差为 。插入后项数最容易数错，先把它定下来再往下做。 重排与计数：把两列数合并后按大小排序求 时，先精确计数「不超过 的元素有多少个」（分开数每一类），定位目标项的位次，再分段求和。 新定义数列：题目给出新运算或新构造（取整、二进制表示、差分等），先在草稿上写出前几项找规律，再回到定义严格验证。取整函数 不能直接参与代数变形，必须分段讨论。 ★ 遇到「新定义」，把它翻译成一句普通的数学条件再做——例如「规范数列：任意前缀中 的个数不少于 的个数」就是「前缀和恒非负」，后者才是可以直接算的东西。 知识点十　数列的单调性与最值 比较 与 有三条路：作差（通分后看分子符号）、作商（正项数列比 ）、函数法（把 看成 ，看连续函数的单调性）。 求最大项、最小项：解不等式组 把 夹在中间即可。分式型通项用「与相邻项作差」比通分更快。 ★ （）型：取倒数 用对勾函数的性质—— 附近取最大。 不是整数时，比较与它相邻的两个整数点即可。 恒成立求参数：把不等式整理成「参数 （或 ）某个关于 的式子」，问题就转成求那个式子的最值。 ⚠ 用函数法处理离散最值时，连续函数的最值点不一定是整数点，最后一定要比较相邻两个整数，这一步不能省。 ★ 看到「最大项」「最小项」「 的最大值」，先判断是三法里的哪一种；看到「 是二次函数」，直接配方看对称轴，再比较轴两侧的两个整数点。 知识点十一　数列与不等式、函数、概率的综合 放缩法证明数列不等式：把通项放大或缩小成一个能求和的式子。常用放缩： 放缩的方向必须与要证的不等式一致：证「大于」就往下放缩，证「小于」就往上放缩，中途不能反复改动，否则会失控。 与导数结合：把数列问题化归成函数问题。例如比较 与 的大小，用 的凸性或指数函数的单调性；选择题里常用特殊值先定位。 概率递推模型（传球问题）： 人互传、球在第 次传到某人手中的概率 ，关键是「不能传给自己」，于是 这是方法四的标准形状，构造等比数列 即可求通项。 存在性问题：先假设存在，用数列自身的约束逐项排除不可能的起点，再构造一组可行取值。「先证不可能、再给实例」两步走。 ★ 数列与概率结合时，第一步永远是把概率的语言翻译成递推式：分清「第 次的状态」与「第 次的状态」，之后它就是一道普通的递推题。 二、方法突破 方法九　公共项、插入项与新数列 公共项问题：两个数列的公共项仍成等差（或等比），公差取两个公差的最小公倍数。做法是分别写出通项，解同余条件，找出公共项的首项与公差。 插入项问题：在 与 之间插入 个数使其成等差，则新数列共 项，公差为 。插入后新数列的项数是最容易数错的量，先把它定下来。 重排与计数：把两列数合并后按大小排序求 ，先精确计数「不超过 的元素有多少个」，定位目标项的位次，再分段求和。 新定义数列：题目给出一个新运算或新构造（如取整、位运算），先在草稿上写出前几项找规律，再回到定义严格验证。 ★ 涉及「取整」 的题，先把通项化简成 附近的整数形式，再分段讨论——取整函数不能直接参与代数变形。 例题 例 9-1 （山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题 · 第11题） 【多选】已知递增数列的各项均为正整数，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 条件里没有具体的递推式，只有两个信息：（），以及 是递增的正整数列。这类题的通用思路是「先用单调性和整数性夹出前几项，再找一般规律」。 先定 。 时条件给出 是正整数。若 ，则 ，排除；若 ，由递增得 ，也不可能等于 。所以 ，进而 。A 项 正确。 再看 B 项 。用反证：若某个 使 ，由 递增得 ；但条件说 （），矛盾。所以 对一切 成立，B 正确。 下面用「把 换成 」的办法造出新的关系式：条件 对一切 成立，那么把式子里的 换成 也成立，即 而 ，所以 。这条结论直接解决 D 项：，所以 D 正确。 最后看 C 项 。由 且 得 ；再由递增，，所以 ，C 错误。 综上选 ABD。 第 1 步　， ◈ 抽象递推题的第一步永远是「夹出首项」。手段只有两样：整数性 + 单调性。本题由 可知 （否则由递增会超过 3），再排除 ，只剩 。 第 2 步　（反证） ◈ 要证「 比 大」这类结论，标准做法是反证：若 ，利用单调性得 ，与 矛盾。这里单调性是把「 压下来」的唯一工具，不能漏。 第 3 步　把 换成 ： ◈ 恒等式对一切 成立，就可以把 替换成任何正整数表达式（包括 ）。这是抽象递推题的第二个常规动作，一替换就得到了 与 的关系，用它可以把大下标拆小：。 答　ABD 例 9-2 （宣城市2026届高三第一学期期末检测 · 第6题） 【单选】已知数列 、 的通项公式分别为 ，，将数列 、 的公共项从小到大排列得到数列 ，设数列 的前 项和为 ，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 两个数列的通项分别是 （，即 去掉 ）与 （，即 ）。公共项就是「既在 里、又在 里」的数。 用同余刻画最省事。 取遍全体正奇数；。所以公共项要同时满足 一个奇数除以 的余数只能是 ，其中 的只有 。所以公共项必 ，即 反过来， 的数一定是正奇数、且 ，所以确实都是公共项。因此 这是首项 、公差 的等差数列，前 项和 选 B。 （也可以不用同余，直接把两个数列从小到大并排写出来找：，， 印证公差为 ，但同余法更快。） 第 1 步　公共项： 取遍正奇数， ◈ 求公共项有两条路：一是「同余刻画」（把两个通项各自翻译成同余条件，求交集），二是「从小到大列举找规律」。前者严谨且快，考试时优先用。 第 2 步　 ◈ 奇数除以 的余数只有 （ 是唯一的「奇数且 」）。这一步把两个条件合成一个同余式，是本题的关键。 第 3 步　 ◈ 公共项一定还是等差数列（两个等差数列的公共项构成一个新的等差数列，公差是两个公差的最小公倍数 ）。求出一项公差后直接用求和公式。 答　B 例 9-3 （山东省日照市2024-2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷 · 第8题） 【单选】已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【解析】 原数列 ：。按题设把它「撑开」：每两项之间插入若干个 ，插入的个数是 （ 为前一项的下标）。所以新数列开头是 求 的最小 ，用「逐段记账」的办法推进——每经过一段，既要记和，也要记项数： 到了 ：和 ，项数 ； 再插 个 ：和 ，项数 ； 到了 ：和 ，项数 ； 再插 个 ：和 ，项数 ； 到了 ：和 ，项数 ； 再插 个 ：和 ，项数 ； 到了 ：和 ，项数 。 此时和为 ，还差 。接下来进入「 个 」的那一段，这一段里每多取一项，和只增加 ： 所以 的最小 ，选 B。 （注意 那一段把和从 一下抬到 ，所以超过 的点出现在它的后面一段，而不是在 之前。） 第 1 步　把新数列按「原数列项 + 插入段」分段 ◈ 插入项题的通用做法就是分段记账：每一段记两个数——这一段结束后的和与项数。只要表列清楚，最后落在哪一段、段内第几项，一目了然。 第 2 步　到 时和已到 ，项数 ◈ 做这类题要盯住「哪一段跳得最猛」。本题 是最后一个大跳，算过它之后和就接近 了，后面的段全是 ，每项只加 ，逐项推三步就到位（）。 第 3 步　 ◈ 得到 后回代验一次：，而 ，确认是最小值。「最小 」类题目必须验证前一项不满足。 答　B 练习 9-1. 【填空】将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 解析　答：①. 14 ②. 49609 先把两个数列写开： 是 ， 是 。公共项满足 ，即 两边模 ：，解得 ，即 ，对应公共项 公差为 （两边公差 与 的最小公倍数是 ）。 下面数剩余的项。把两个数列并起来去掉公共项，可以「每 个整数一段」来统计： 在 这一段里， 有 项（）， 有 项（），其中 是公共项要去掉，所以每段余下 项（）。 第一段（）特殊： 在其中只有 三项，去掉公共项 后剩 共 项。（ 当 时是 ，不在数列里。） 所以前 项的分布是：（第一段 项，接着 个完整的段各 项，共 项，再取下一段的前 项），，正好。 第一段的和 ；第 段（）五项之和为 第 段的前三项是 、、，和为 。 于是 所以 ，前 项和为 。 9-2. 【填空】在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 解析　答：①. 27 ②. （1）先按定义算前几项。，：，，。 一阶差分数列 ： 所以 。 （2）已知前五项 ，且它是二阶等比数列，按定义逐层算： 一阶差：； 二阶差：，确实是首项 、公比 的等比数列， 再逐层往回求和。先求一阶差： 再求原数列（）： 其中 ，所以 （检验前五项： 给 ； 给 ； 给 ； 给 ； 给 ，全部吻合。） 9-3. 【多选】若数列满足，数列的前项积等于数列的前项和，则（ ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是递减数列 D. 当时， 解析　答：ABD 把条件 整理成差的形式： 所以 是公比为 的等比数列，A 正确；首项 ，故 累加求通项： 所以 是首项 、公比 的等比数列，B 正确。 再看 。前 项积等于 的前 项和： 取 得 ； 时两式相除： 于是 ，数列先增后减（），不是递减数列，C 错误。 D 项： 时 显然成立；再比较 与 。由上式 ，而 分子记 （ 时 ），，分母 ，所以 ，D 正确。 综上选 ABD。 9-4. 【多选】若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（ ） A. 若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列 B. 若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列 C. 数列的极差数列可能为等比数列 D. 数列的极差数列的极差数列仍是 解析　答：AD 先把定义弄清楚： 是前 项的最大项， 是前 项的最小项，极差数列的第 项是 。注意两个单调性：随着 增大， 只增不减、 只减不增，所以 是不减的。 A：设 是公差为 的等差数列。 时极差恒为 ； 时最大项是 、最小项是 ， 时同理得 。总之极差数列是等差数列，A 正确。 B：极差数列是等差，推不出原数列等差。反例：，前 项的最大值恒为 、最小值恒为 ，极差数列恒为 ，它是等差数列，但原数列不是等差数列。B 错误。 C：等比数列要求首项不为 （且公比不为 ）。而极差数列的第一项一定是 （只有一项时最大最小相同）。所以极差数列要么恒为 （不是等比数列），要么首项为 而后面非零（也不是等比数列）。C 错误。 D：由开头说的单调性， 是不减数列。一个不减数列的前 项最大值就是第 项、最小值就是第 项，所以它的极差数列第 项为 而 ，所以这个式子就是 ，即极差数列的极差数列仍是原极差数列，D 正确。 综上选 AD。 9-5. 【填空】已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为.若集合，且，则正整数n的值是_________. 解析　答：2025 ，集合 的元素是「从 中任取两个不同元素求和」得到的一切数值。 就是这些和的不同值的个数。 最小的和：；最大的和：。 关键在于「从 到 之间的每个整数都能取到」。设 ，取 ：可以由小到大验证—— 时取 （此时 ）； 时取 （此时 ）。两种情形都保证 且都在 内，所以中间没有「空洞」。 于是 就是 ，元素个数 由 解得 9-6. 【填空】数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．初始数列 经过 次扩充后的新数列记为 ，项数记为 ，所有项的和记为 ．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列 经过一次扩充后得到数列 ，，．已知初始数列 ，则 __________；__________. 解析　答：； 先弄清「扩充」对两个量的影响：项数与总和。 项数：每相邻两项之间插入一个数， 个数之间有 个空档，所以每次扩充增加 项： 两边减 凑等比：。初始三项 ，，所以 总和：插入的每一项都是「原来某一对相邻项之和」，因此所有插入项的和等于「原来所有相邻对之和」。而相邻对之和可以用总和表示：每一对 里，中间项各出现两次、首末两项各出现一次，故 扩充不改变首末两项（它们始终是 与 ），首末之和为 ，所以 初始和 ，所以 方法十　数列的单调性与最值 比较 与 有三条路：作差（通分后看分子符号）、作商（正项数列比 ）、函数法（把 看成 看连续函数的单调性）。 求最大项、最小项：解不等式组 （或反向），得到 的范围即可。 ★ （）型：取倒数 ，用对勾函数—— 附近取最大。 不是整数时，比较与它相邻的两个整数点即可。 恒成立求参数：把不等式整理成「参数 （或 ）某个关于 的式子」，问题转化为求那个式子的最值。 ★ 用函数法处理离散最值时，连续函数的最值点不一定是整数点，最后一定要比较相邻两个整数，这一步不能省。 例题 例 10-1 （九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试 · 第6题） 【单选】已知 是首项为 的等差数列．当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则公差 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【解析】 把 看成数列，它的「相邻两项之差」就是通项： 所以 在 时上升、在 时下降。 在 处取最大值，就意味着「 是最后一个正项、 是第一个负项」。 由「 当且仅当 时取最大值」得 即 且 。首项为 ，公差为 ，所以 再确认端点能不能取。若 ，则 ，最大值在 与 同时取得，与「当且仅当 」矛盾，故 不能取；若 ，则 ，同样出现并列最大值，故 也不能取。 所以 ，选 C。 第 1 步　： 的增量就是通项 ◈ 这是处理「前 项和的最大值」的总纲： 什么时候由升转降，完全由 的符号决定。 最大 ⟺ 最后一项为正、下一项为负；「唯一最大」再要求这两项都不为 。 第 2 步　 且 ◈ 注意不要把「 最大」误当成「 最大」。等差且 时， 的最大值永远在第 项，而 的最大值在「正项将被负项取代」的位置，两者不是一回事。 第 3 步　端点 、 都不能取 ◈ 题目里的「当且仅当」是判定端点开闭的唯一依据：凡是出现「某处取到等号会使相邻两项并列最优」的，端点一律不取。这也是答案选 C（开区间）而不选 D 的原因。 答　C 例 10-2 （广东省茂名市2024-2025学年高三第二次综合测试数学试题 · 第9题） 【多选】等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前10项和为50 【解析】 两个条件都翻译成基本量 ： 两式相减得 ，即 ，A 正确；代回得 ，所以 于是 这是开口向上的二次函数（ 取正整数），最小值在 处取得，所以 B（）错误。 再看 C：，，两者不相等，C 错误。 最后看 D。 的前 项为 ，取绝对值后前后两半对称： D 正确。综上选 AD。 答　AD 例 10-3 （河北省张家口市2025届高三全市第二次模拟考试（张家口二模）数学试题 · 第13题） 【填空】已知数列不是递增数列，且，则k的取值范围为________. 【解析】 先写清楚各项。； 时 ，所以 也就是说，从第 项起，相邻两项的差恒为 ： 时这一段递增， 时这一段递减， 时这一段恒为 。 「不是递增数列」的意思是「存在相邻两项满足 」，分三种情况： ① ：第 项起递增，所以只需看开头两步：要求不是递增，就要 ，即 与 合并得 。 ② ： 时 ，而 ，确实不是递增数列，符合。 ③ ：，也不是递增数列，符合。 三种情况合起来： 即 。 答　 练习 10-1. 【填空】已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，， 是 中的唯一最大项，则 的取值范围为__________. 解析　答： 仍然用「 的增量是 」。 是 中的唯一最大项，说明 在 处由升转降，并且没有并列： （若 ，则 ， 也取到最大值；若 ，则 ，同理。所以「唯一」等价于两个严格不等式。） 已知 ，公差为 ，则 所以 10-2. 【多选】已知数列 满足 ，，且 ，，则（　　） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. 解析　答：BCD 条件 移项就是 也就是说：差分数列 是不减的（后一个差总不小于前一个差）。这是本题唯一的抓手。 先看 C： 时 ，即 ，得 C 正确。 再看 D： 时 ，即 。结合 得 D 正确。 再看 B：递减数列要求 ，但题设 ，已经矛盾，所以 一定不是递减数列，B 正确。 最后看 A。取 ，它是等差数列，且 条件取等号成立；同时 、，也满足题设。这说明「等差」是可能的，所以 A（一定不是等差数列）错误。 综上选 BCD。 10-3. 【多选】已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（ ） A. 存在公差为1的等差数列，使得 B. 存在公比为2的等比数列，使得 C. 若，则 D. 若，则 解析　答：BCD A：设公差为 的等差数列首项为 ，则 解得 ，而 不是 的倍数， 不是整数，与「各项均为正整数」矛盾。A 错误。 B：设公比为 的等比数列首项为 ，则 是正整数，且递增，符合条件的数列存在。B 正确。 C：已知 。把 用 表示：因为递增且各项正整数，所以 于是 由 得 ，所以 。C 正确。 D：设 。同样由递增与正整数性， 所以 由 得 ，即 。D 正确。 综上选 BCD。 10-4. 【单选】在等差数列 中，，记 ，， 为数列 的前 项和，当 取得最大值时， 的值为（　　） A. B. C. D. 解析　答：C 要求 的最大值，先看每个 的符号。 是三个等差数列项的乘积，符号由「这三项中有几个负数」决定，所以要先把正负交界找出来。 由 与 ： 说明公差 ，数列递减。不妨取 （只影响缩放，不影响结论），则 ， 于是 、：前 项为正，从第 项起为负。 据此分三段看 的符号： ① ： 都落在前 项里，全为正，； ② ：三个因子越过正负交界，符号一正两负或两负一正； ③ ： 全为负，。 把中间两项算出来： 所以 在 时一路上升， 时回落 ， 时又涨回 ： 而 之后每一项都是负的， 只会再降。所以最大值在 处取得，选 C。 10-5. 【填空】已知数列 满足 ，当 时，，若数列 中存在连续 项 构成等差数列，则 的最小值是__________. 解析　答： 先明确约束： 只要求 （没有上界），而 时 即「每一项被夹在相邻两个单位分点之间」，而且随着 增大，这个夹逼区间越来越窄、并且整体向左移。 要找的是「存在连续 项成等差数列」的最小起始下标 ，那就从 开始试。 考察 ：连续 项是 ，设公差为 ，。则 ，，由约束 分别解出 两式要能同时成立，必须 这与 矛盾。所以 不可能。 再试 ：连续 项是 。取 得五项依次为 逐一核对约束（）： 全部满足； 取 （ 即可，与后面的项无关）。所以 可行，最小值就是 。 10-6. 【单选】已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 缺常数项，是 的二次式，说明 是等差数列；而「对任意 都有 」的意思是 就是最小值。 二次函数的最值看对称轴，但这里的自变量只取正整数，所以不能只算对称轴——要按 、、 分头讨论。 先把差分解出来，这是本题的关键一步： 要求它对一切正整数 都有 。 ：左端恒为 ，条件自动成立。 ：此时 ，只要 ，即 对一切 成立。右端随 增大而减小，最紧的是 ，得 ：即 ，此时 ，不等号要反向，只要 ，即 对 成立。两个值分别是 与 ，取较小的，得 合起来 ，选 D。 （也可以从二次函数的角度理解： 的对称轴是 ，要让最小值落在 附近，就要 落在 与 之间，同样得到 。但考试时按上面的差分讨论写更稳妥，不会漏掉端点的讨论。） 方法十一　数列与不等式、概率的综合 放缩法证明数列不等式：把通项放大或缩小成一个可以求和的式子，常用的放缩有 、、（）等。放缩的方向要和结论一致。 与函数、导数结合：把数列问题化归成函数问题（如比较 与 用指数函数的凸性），在选择题里常用特殊值先定位。 概率递推模型：传球问题是典型—— 人互传，球在某人手里的概率 满足，即 ，再用构造法（方法四）求通项。 存在性问题：先假设存在，用数列自身的约束逐项排除不可能的起点，再构造一组可行取值，「先证不可能、再给实例」两步走。 ★ 数列与概率结合的题，第一步永远是把概率的语言翻译成递推式：分清「第 次的状态」与「第 次的状态」，然后它就是一道普通的递推题。 例题 例 11-1 （淮南市2026届高三第一次教学质量检测 · 第17题） 【解答】甲、乙、丙、丁四人互相做传球训练，第 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中任何一人．设 次传球后球在乙手中的概率为 ．（1）求 ，；（2）求 ． 【解析】 （1）第 次由甲传出，球等可能地落到乙、丙、丁三人手中，所以 第 次传球后球在乙手中，要分「第 次后球在哪」两类讨论： 若第 次后球在乙手中（概率 ），那么第 次是乙来传球，他不会传给自己，球不可能落在乙手中，贡献 ； 若第 次后球在丙或丁手中（概率 ），此人从「除自己外的三人」中等可能选一个传出，其中恰有乙，贡献 。 所以 （2）一般地，第 次传球后球在乙手中，同样分两类： 若第 次后球已在乙手中（概率 ），下一步乙只能传给甲、丙、丁，贡献 ； 若第 次后球不在乙手中（概率 ），传球者从另外三人中等可能选一个，恰选中乙的概率是 ，贡献 。 于是得到递推式 这是一个「」型递推，解不动点：令 ，得 。两边减 ： 所以 是公比为 的等比数列，首项 ，于是 （检验： 给 ； 给 ，都与（1）一致。） 第 1 步　：分「第 1 次后球在谁手里」讨论 ◈ 概率递推题的第一步是分清状态。本题的状态只有两个：「球在乙手中」与「球不在乙手中」。转移时要注意一个关键事实——传球者不能传给自己，所以「球在乙手中」这个状态下一步一定离开乙。 第 2 步　 ◈ 把两类情况按全概率公式加起来就得到递推。写递推时用「」表示当前状态的权重、用「」表示另一状态，这样不用引入新字母，也便于后面归到等比。 第 3 步　 ◈ 「」型递推的固定解法是解不动点 （本题 ），两边减它即得等比。公比是负数，说明 在 两侧摆动、逐渐稳定到 。 答　（1），；（2） 例 11-2 （湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷 · 第8题） 【单选】如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 【解析】 先把「速增数列」这个新定义翻译成熟面孔。 移项得 也就是：差分 严格递增。 已知 ，，所以 。各项都是整数，因此 也都是整数；又要严格递增，只能 于是 要求 能实现， 就必须满足「这个下界不超过 」： 逐一检验相邻两个 ： 所以 的最大值为 ，选 B。 （「能实现」这一点也要交代： 的取值随差分单调变化，只要最小值不超过 ，就可以把某些 适当调大（同时保持严格递增），使 恰好等于 。所以上界 就是全部限制。） 第 1 步　：差分严格递增 ◈ 凡是「 的不等式」型新定义，一律先移项看差分。 是「差分递增」（凸）， 则是「差分递减」（凹）。 第 2 步　 ◈ 差分严格递增的整数列，最小可能是 ，即 。这一步把「严格递增」换成了可计算的线性下界，是解题的关键。 第 3 步　 最大 ⇒ 让 增长最慢 ⇒ 差分取最小 ◈ 求「 最大」等价于求「增长最慢时能拖多长」，所以差分取最小值；反过来求「 最小」就让差分取最大。这类「最值 + 存在性」的题，先算极值再说明可达，两个环节缺一不可。 答　B 例 11-3 （2025届江西省赣州市高三二模数学试题 · 第11题） 【多选】设数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 递推式里有 ，关键是用基本不等式 （）： 取等当且仅当 。所以从第 项起各项非负。 A：。数值估算：，所以 A 正确。 再看单调性。对 ，，所以 由 得 ，往后各项迅速趋近于 ，且逐项递减（，因为 ）。 于是 ，B（）错误。 C：由上面的估计，、，而它后面的项更小，所以 C 正确。 D： 已经小于 （数量级极微小），而 所以 成立，D 正确。 综上选 ACD。 第 1 步　 ◈ 见到 与 同时出现，立刻用 把它「拉平」为一个非负量。这是这类递推不等式的标准第一步，也是后面所有估计的基础。 第 2 步　（ 时 ） ◈ 要判断增减与量级，需要用比 更精细的估计。本题用 得到 ：一旦 小于 ，后面就会平方级迅速衰减，所以 、而 远小于 。 第 3 步　把 与 比大小 ◈ 比较的对象一边是极小的项、一边是有界的表达式，只要估出量级（，另一边 ）就能判定，不需要精确值。这类选项考的就是「会不会估」。 答　ACD 练习 11-1. 【单选】已知数列中，，则（ ） A. B. C. D. 无法判断大小 解析　答：B 把第二式 中的 换成 ，得 再与第一式 联立： 也就是说，任意相邻两项的差不超过 。 另一方面，由 拆成两个差： 两个差都不超过 ，要它们的和 ，只能两个都恰好等于 。而 是任意的，所以 即 是首项 、公差 的等差数列，，于是 选 B。 11-2. 【解答】记为数列的前项和，已知，. （1）求； （2）求的通项公式； （3）证明：. 解析　答：（1） （1）。由 ： （2） 时把 与条件联立： 即 ，所以 右边只含 ，用累乘： （检验 ：，吻合。） （3）由（2）得 要证 ，即 两边乘 （正数，不等号不变）： 因为 是正整数，，所以左边 恒成立，原不等式得证。 11-3. 【解答】记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求证：. 解析　答：（1） （1）条件 是「 与 混合」型，作差消 。 时 ，即 ，结合正项取 。 时作差并提取公因式： 由正项得 ，所以 。 （2）把 代入递推式 ，逐项乘起来： （中间的 上下约掉了。）代入 、： 分母是两个相差 的因式之积，裂项： 求和时逐项相消： 因为 ，所以 得证。 11-4. 【单选】等差数列 中，，当 取得最小值时，（　　） A. B. C. D. 解析　答：A 条件 里三个下标的关系值得注意：，由下标和定理 所以原式化为 。（也可以老老实实展开：。） 再由下标和定理，，所以 现在两个数的和是定值 ，要求它们平方和的最小值，用均值不等式： 取等当且仅当 。 此时 给出 ，即 ，数列是常数列，所以 选 A。 11-5. 【多选】已知数列 满足 ，，则下列结论正确的是（　　） A. 数列 为递增数列 B. ， C. ， D. ， 解析　答：ABC 递推式 的关键是判断 落在哪个区间。。 用基本不等式 （）：若 ，则 且把 （即 取 ）代入： 所以由归纳法， 递增且恒在 内。A 正确。 B：递增且有上界 ，故 收敛。设极限为 ，在递推式两边取极限得 ，即 ；又 ，所以 。既然 ，就必然存在某项 。B 正确。 C：把要证的不等式整理。 等价于 令 （），则 ，且 所以 在 上递减，而 ，故 ， 递增，，不等式成立。C 正确。 D： 两边减去 ，等价于 。令 ，即要求 但正弦曲线在 上位于直线 的上方（ 时 ），而 使 ，所以充分大时该不等式不成立。D 错误。 综上选 ABC。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $数列的方法体系（下) 综合篇·从题型到方法的完整梳理 第1页 一、知识点梳理 知识点九公共项、插入项与新数列 公共项问题：两个等差数列的公共项仍成等差数列，首项取最小的公共项，公差取两个公差的 最小公倍数1cmld,d,做法是列出两通项，解同余条件定出首项与公差。 插入项问题：在a与b之间插入n个数使整体成等差数列，则新数列共n+2项，公差为 [:。插入后项数最容易数错，先把它定下来再往下做。 重排与计数：把两列数合并后按大小排序求Sn时，先精确计数「不超过x的元素有多少个」 （分开数每一类)，定位目标项的位次，再分段求和。 新定义数列：题目给出新运算或新构造（取整、二进制表示、差分等），先在草稿上写出前几 项找规律，再回到定义严格验证。取整函数x不能直接参与代数变形，必须分段讨论。 ★遇到「新定义」，把它翻译成一句普通的数学条件再做一一例如「规范数列：任意前缀中1 的个数不少于-1的个数」就是「前缀和恒非负」，后者才是可以直接算的东西。 知识点十数列的单调性与最值 比较an+1与an有三条路：作差（通分后看分子符号）、作商（正项数列比1）、函数法（把 a,看成fn看连续函数的单调性)。 求最大项、最小项：解不等式组 anzan-1 或 an≤an-1 an≥an+1 an≤an+1 把n夹在中间即可。分式型通项用「与相邻项作差」比通分更快。 ★a,=(k,c>0)型：取倒数 n2+c n 用对勾函数的性质一一n=√附近取最大。Vc不是整数时，比较与它相邻的两个整数点即可。 恒成立求参数：把不等式整理成「参数≥（或≤）某个关于的式子」，问题就转成求那个 式子的最值。 △用函数法处理离散最值时，连续函数的最值点不一定是整数点，最后一定要比较相邻两个 整数，这一步不能省。 ★看到「最大项」「最小项」「Sn的最大值」，先判断是三法里的哪一种：看到「Sn是二次 第2页 函数」，直接配方看对称轴，再比较轴两侧的两个整数点。 知识点十一数列与不等式、函数、概率的综合 放缩法证明数列不等式：把通项放大或缩小成一个能求和的式子。常用放缩： 1<1，1 2 mnin-1'nn+12>n 放缩的方向必须与要证的不等式一致：证「大于」就往下放缩，证「小于」就往上放缩，中途 不能反复改动，否则会失控。 与导数结合：把数列问题化归成函数问题。例如比较a”与b”的大小，用y=x”的凸性或指 数函数的单调性；选择题里常用特殊值先定位。 概率递推模型（传球问题）：人互传、球在第k次传到某人手中的概率Pk,关键是「不能 传给自己」，于是 n-1 n-1P-1+-1 -1 这是方法四的标准形状，构造等比数列 1 P、 即可求通项。 n 存在性问题：先假设存在，用数列自身的约束逐项排除不可能的起点，再构造一组可行取值。 「先证不可能、再给实例」两步走。 ★数列与概率结合时，第一步永远是把概率的语言翻译成递推式：分清「第n次的状态」与 「第n-1次的状态」，之后它就是一道普通的递推题。 第3页 二、方法突破 方法九公共项、插入项与新数列 公共项问题：两个数列的公共项仍成等差（或等比），公差取两个公差的最小公倍数。做法是 分别写出通项，解同余条件，找出公共项的首项与公差。 插入项问题：在a与b之间插入n个数使其成等差，则新数列共n+2项，公差为 b-a n+19 插入后新数列的项数是最容易数错的量，先把它定下来。 重排与计数：把两列数合并后按大小排序求S,先精确计数「不超过x的元素有多少个」， 定位目标项的位次，再分段求和。 新定义数列：题目给出一个新运算或新构造（如取整、位运算），先在草稿上写出前几项找规 律，再回到定义严格验证。 ★涉及「取整」x的题，先把通项化简成√n附近的整数形式，再分段讨论一一取整函数不 能直接参与代数变形。 例题 例 9-1 (山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题·第11题) 【多选】已知递增数列a,的各项均为正整数，且满足a,=3n:则（) A 0,=3 B. a>n C.a5=6 D.a025=81a25 【解析】 第1步a1=2,a2=3 ◆抽象递推题的第一步永远是「夹出首项」。手段只有两样：整数性+单调性。本愿由Q。=3可知 a1≤2（否则由递增会超过3），再排除Q1=1,只剩a1=2。 第2步an>n(反证) 。要证「a,比n大」这类结论：标准做法是反证：若a,≤n利用单调性得a,≤a,≤n与 a,=3n矛盾。这里单调性是把[Q,压下来」的唯一工具，不能漏。 第4页 第3步把n换成an:aa=3an→a3n=3an 。恒等式对一切n成立，就可以把n替换成任何正整数表达式（包括Qn)。这是抽象递推题的第二个 常规动作，一替换就得到了Q3n与Qn的关系，用它可以把大下标拆小：2025=34.25。 答ABD 例 9-2 (宣城市2026届高三第一学期期末检测·第6题) 【单选】已知数列{a,小{b,的通项公式分别为a,=2n+1b。=3n-1将数列a,小{b,的 公共项从小到大排列得到数列(c设数列{c的前n项和为s,则S。=〈） A. B. D. 2n2-3n 3n2+2n 2n2+3n 3n2-2n 【解析】 第1步 公共项：an取遍正奇数，bn=2(mod3) 。求公共项有两条路：一是「同余刻画」（把两个通项各自翻译成同余条件，求交集），二是「从小到 大列举找规律」。前者严谨且快，考试时优先用。 第2步=5(mod6)】 。奇数除以6的余数只有1,3,5(5是唯一的「奇数且=2mod3」)。这一步把两个条件合成一个 同余式，是本题的关键。 第3步Sn=3n+2n 。公共项一定还是等差数列（两个等差数列的公共项构成一个新的等差数列，公差是两个公差的最小公 倍数6)。求出一项公差后直接用求和公式。 答B 例9-3 (山东省日照市2024-2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷·第8题) 【单选】已知数列a,}的通项公式g.=3”-1在每相邻两项a0之间插入2个2（k∈N 第5页 ),使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记数列{bn}的前n项和为Sn,则Sn≥150成立 的n的最小值为() A.20 B.21 C.22 D.23 【解析】 第1步把新数列按「原数列项+插入段」分段 。插入项题的通用做法就是分段记账：每一段记两个数一一这一段结束后的和与项数。只要表列清楚， 最后落在哪一段、段内第几项，一目了然。 第2步到a4时和已到144，项数18 。做这类题要盯住「哪一段跳得最猛」。本题a4=80是最后一个大跳，算过它之后和就接近150了， 后面的段全是2，每项只加2，逐项推三步就到位(144→146→148一150)。 第3步n=21 。得到n=21后回代验一次：S21=144+2×3=150≥150，而S20=148<150,确认是最小值。 「最小n」类题目必须验证前一项不满足。 答 B 练习 9-1.【填空】将数列{3n+2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序 得到数列a则a,= -’a,的前202项和为 9-2. 【填空】在数列a中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列a1-a称为a, 的一阶差数列，记为a,依此类推，{a的一阶差数列称为an的二阶差数列，记为a, 如果一个数列a的p阶差数列a是等比数列，则称数列a.为p阶等比数列p∈N若数列 {a,满足a,=1,a1=3a,+1则a=-一：若数列a,为二阶等比数列，其前5项分别为1， 13则a一 93.【多选】若数列a,满足a,=2,a,=4,2a,+a2=3an1数列b的前n项积等于数列a的 前n项和，则() 第6页 Ao1-a是等比数列 B{a,是等比数列 C{b,是递减数列 D.当n≥2时，an+1>an>bn+1 9-4.【多选】若数列a,的前n项中，最大项为A,:最小项为B,:则称数列A。-Bn为a,的 “极差数列”.下列关于极差数列的说法正确的为() A若数列a,是等差数列，则它的极差数列A。-B也是等差数列 B.若数列a,的极差数列A,-B,是等差数列，则a也是等差数列 C数列a,的极差数列A,-B,可能为等比数列 D.数列a的极差数列A-B的极差数列仍是A。-B, 9.5.【填空】已知有限集合A=a1,a,a,,a,小定义集合B={a,+a,1≤ijsn,ij∈N中 的元素的个数为集合A的“容量”，记为A若集合A=x∈N1sx≤n且|A=4047:则 正整数n的值是 9-6.【填空】数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始 数列a)经过n次扩充后的新数列记为a项数记为P,所有项的和记为S。:现若扩 充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列{a,b,C经过一次扩充后得到数列 c=a,a+b,b,b+c,c小P1=5:S,=2a+3b+2c已知初始数列{a)={-3,1,3则 P= --Sn= 第7页 方法十数列的单调性与最值 比较an+1与an有三条路：作差（通分后看分子符号）、作商（正项数列比1)、函数法（把 a,看成fn看连续函数的单调性)。 求最大项、最小项：解不等式组 an+1≥an (或反向)，得到n的范围即可。 Qn+1≤an+2 ★ n+c. a,=kn（k,c>0)型：取倒数1=n n+c 用对勾函数-一n=附近取最大。C ank“ n 不是整数时，比较与它相邻的两个整数点即可。 恒成立求参数：把不等式整理成「参数≥（或≤）某个关于n的式子」，问题转化为求那个 式子的最值。 ★用函数法处理离散最值时，连续函数的最值点不一定是整数点，最后一定要比较相邻两个整 数，这一步不能省。 例题 例10-1 (九江市2026届高三第二次高考模拟统一考试·第6题) 【单选】已知a,是首项为6的等差数列.当且仅当n=4时，a的前n项和取得最大 值，则公差d的取值范围为() A-3,-2 B.-3,-2 D 2. 3 【解析】 第1步Sn-Sn-1=an:Sn的增量就是通项 。这是处理「前n项和的最大值」的总纲：Sn什么时候由升转降，完全由an的符号决定。Sn最大 一最后一项为正、下一项为负；「唯一最大」再要求这两项都不为0。 第2步a4>0且a5<0 。注意不要把「Sn最大」误当成「an最大」。等差且d<0时，an的最大值永远在第1项，而S。 的最大值在「正项将被负项取代」的位置，两者不是一回事。 第8页 第3步端点d=-2、d-号郑不能取 。题目里的「当且仅当」是判定端点开闭的唯一依据：凡是出现「某处取到等号会使相邻两项并列最 优」的，端点一律不取。这也是答案选C(开区间)而不选D的原因。 答C 例 10-2 (广东省茂名市2024-2025学年高三第二次综合测试数学试题·第9题) 【多选】等差数列[a,中，a,+a,=-12,a,+a,=2记数列a,前n项和为S,下列选项正确的 是() A数列a的公差为2 B.S取最小值时，n=6 C. S4=S7 D.数列a,)的前10项和为50 【解析】 答AD 例10-3 (河北省张家口市2025届高三全市第二次模拟考试（张家口二模）数学试题·第13题) 【填空】己知数列an}不是递增数列，且an三 3,n=1 2kn-k+1,n≥2 则k的取值范围为 【解析】 答 00, 第9页 练习 10-1. 【填空】已知公差为d的等差数列{a的前n项和为S,'a4=10:S。是{S,中的 唯一最大项，则d的取值范围为」 102【多选】已知数列a,满足a,+a,2≥2a1n∈N且a=1a,=5则（） A{a,一定不是等差数列 B.a,一定不是递减数列Ca,≤3D.a,≥7 10-3.【多选】已知递增数列a,的各项均为正整数，且其前n项和为s:则（） A.存在公差为1的等差数列a,?使得S14=2025 B.存在公比为2的等比数列a 使得S4=2025 C.若S10=2025,则a4≤285 D.若S10=2025,则a10≥207 10-4.【单选】在等差数列（口中，a。=7a3>0记b,=a,102a'n∈N,S,为数列 {b,的前n项和，当S,取得最大值时，n的值为() A. B. 11 C. D. 12 13 14 105.【填空】日知数列a满足a,21当n22时.片0，≤气若数列Q中作在达 续5项ak,ak+1,“,ak+4构成等差数列，则k的最小值是 10-6.【单选】已知数列a的前n项和为s,:若s,=an2-10m且对任意的n∈N都有 S,≤S成立，则实数的取值范围是() 2 92到 第10页 方法十一数列与不等式、概率的综合 放缩法证明数列不等式：把通项放大或缩小成一个可以求和的式子，常用的放缩有 1<11 2 nnn-1、nn+n+72”>n(n≥1)等。放缩的方向要和结论一致。 与函数、导数结合：把数列问题化归成函数问题（如比较a”与b”用指数函数的凸性），在 选择题里常用特殊值先定位。 斑推橙型：传球间腰是臭型—n人传，球在来人手里的概率P,满足P。宁 1 Pn=-- 再用构造法（方法四)求通项。 存在性问题：先假设存在，用数列自身的约束逐项排除不可能的起点，再构造一组可行取值， 「先证不可能、再给实例」两步走。 ★数列与概率结合的题，第一步永远是把概率的语言翻译成递推式：分清「第n次的状态」与 「第n-1次的状态」，然后它就是一道普通的递推题。 例题 例11-1 (淮南市2026届高三第一次教学质量检测·第17题) 【解答】甲、乙、丙、丁四人互相做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都 等可能地将球传给另外三人中任何一人.设n次传球后球在乙手中的概率为P.(1)求p1, 名 (2)求Pm 【解析】 第1步 ,子分「第1次后球在谁手里讨论 。概率递推题的第一步是分清状态。本题的状态只有两个：「球在乙手中」与「球不在乙手中」。转移 时要注意一个关键事实一一传球者不能传给自己，所以「球在乙手中」这个状态下一步一定离开乙。 第2步 1 P1=31-pa 。把两类情况按全概率公式加起来就得到递推。写递推时用「Pn」表示当前状态的权重、用「1一PnJ 表示另一状态，这样不用引入新字母，也便于后面归到等比。 第3步 -1.11n-1 pm=4+123 第11页 「P1=ap,+b」型递推的固定解法是解不动点p=1 b 一（本题 1/3 1+1/34）,两边减它即得等 比。公比是负数，说明P。在4两侧摆动、逐渐稳定到4 答 例11-2 (湖南省永州市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试卷·第8题) 【单选】如果数列a,对任意的n∈m,都有a+a,>2a,成立，则称a为“速增数列”若 数列a为“速增数列”，且任意项a∈Z:a1=1a,=3a4=2025 则正整数k的最大值为 () A.62 B.63 C.64 D.65 【解析】 第1步an+2-an+1>an+1-an:差分严格递增 。凡是「Qn+2,an+1,an的不等式」型新定义，一律先移项看差分。Qn+2十an>2an+1是[差分递增」 (凸)，an+2+an<2an+1则是「差分递减」（凹）。 第2步dk2k+1 。差分严格递增的整数列，最小可能是2,3,4，…，即dk之k+1。这一步把「严格递增」换成了可计算 的线性下界，是解题的关键。 第3步k最大→让ak增长最慢→差分取最小 。求「k最大」等价于求「增长最慢时能拖多长」，所以差分取最小值；反过来求「k最小」就让差分 取最大。这类「最值+存在性」的题，先算极值再说明可达，两个环节缺一不可。 答B 例11-3 (2025届江西省赣州市高三二模数学试题·第11题) 、1 【多选】设数列a的前n项和为Sn,a=2:a+1=e-an-1,则（) 第12页 A. B.a7<as C.S30<13 D.a5<3a1-5a3 4 【解析】 第1步a+1=e-a,-120 。见到e"与x同时出现，立刻用e≥1+X把它「拉平」为一个非负量。这是这类递推不等式的标准 第一步，也是后面所有估计的基础。 第2步an+1<an(0<x<1时e<1+x+x2) ◆要判断增减与量级，需要用比e≥1十X更精细的估计，本题用e<1+X+X得到a,1<Q 旦Q,小于1，后面就会平方级迅速衰减，所以a7>a8、而S50远小于13。 第3步把a与3a1-5a比大小 。比较的对象一边是极小的项、一边是有界的表达式，只要估出量级( a,~106:另一边~1)就能判 定，不需要精确值。这类选项考的就是「会不会估」。 答 ACD 练习 11-1. 【单选】已知数列a,中，a1=1,a3≤a+3,02≥a,+2则（） A. a2025>2025 B.a05=2025 Ca205<2025 D.无法判断ao2大小 11-2.【解答】记sn为数列a,的前n项和，已知a,=1S=n㎡a:1)求a,:(2)求an的通 项公式；(3)证明：Sn<an+n. 113.【解答】记s为正项数列a,的前n项和，已知4s,=a+2a,-3（1)求数列a的通项 公式： （2)若数列b,满是b,=1b8b,求证b,+b,+b++b,< an+2 114.【单选】等差数列a)中，am0n十a5=5当a+a2取得最小值时，0ms=（ A. 5 6.6 C. D. 2025 2026 第13页 115.【多选】已知数列a满足a=之a,=a,+sna,n∈N则下列结论正确的是（ A数列(a,为递增数列 B.n∈N'a,>3 C VncN,d-txd 第14页