第2章 2.4.2 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 这份同步练习围绕圆的方程，通过基础巩固、综合应用到创新拓展的分层设计，实现从概念理解到数学思维与语言表达的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的方程与基本量|以选择为主（1-5题），强化圆心半径计算，落实数学抽象与几何直观| |提升层|位置关系与简单应用|结合填空解答（6-10题），训练轨迹与外接圆求解，发展运算能力与推理意识| |综合层|综合应用与创新情境|融入新定义与最值（11-15题），如“直角距离”问题，培养数学眼光与模型观念|

1．圆x2＋y2＋2x＝0的圆心在(　　) A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 解析：选A.圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标为(－1，0)，在x轴上． 2．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线l：mx＋2y－1＝0对称，则实数m的值为(　　) A．－5 B．－3 C．3 D．5 解析：选C.圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心为C(－1，2)，而圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线l：mx＋2y－1＝0对称，故点C(－1，2)在直线mx＋2y－1＝0上，故－m＋4－1＝0，解得m＝3. 3．(2026·扬州期中)已知P(0，2)在圆C：x2＋y2＋4x＋m＝0外，则实数m的取值范围为(　　) A．－4＜m＜4 B．m＜4 C．m＜－4或m＞4 D．m＞－4 解析：选A.将圆C的方程化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝4－m，因为该方程表示圆，所以4－m＞0，即m＜4.点P(0，2)在圆C外，所以(0＋2)2＋22＞4－m，解得m＞－4.综上，－4＜m＜4. 4．(2026·泰州期中)已知圆x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0的圆心在第三象限，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0) B．(－，0) C．(－1，0) D．(－1，) 解析：选C.由x2＋y2＋4x－2ay＋3a2－a＋1＝0，得到(x＋2)2＋(y－a)2＝－2a2＋a＋3，则圆心坐标为(－2，a)，由题意得解得－1＜a＜0. 5．(2026·临沂期中)已知圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋2m2－2m＋1＝0，点P在直线l：x＋y＋1＝0上，当圆C的半径最大时，|CP|的最小值为(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选A.设圆C的半径为r.由题意，圆C的标准方程为(x＋m)2＋(y－2)2＝－m2＋2m＋3，所以圆心C(－m，2)，r2＝－m2＋2m＋3＞0，解得－1＜m＜3.由二次函数的性质知，当m＝1时，r2取得最大值，即r取得最大值，此时C(－1，2)，r＝2.因为点C到直线l的距离d＝＝，所以|CP|的最小值为. 6．(多选)下列方程一定表示圆的是(　　) A．x2＋y2＝0 B．x2＋y2－2x＋4y－6＝0 C．x2＋y2＋2ax－a2－1＝0(a∈R) D．x2＋2xy＋y2－9＝0 解析：选BC.对于A，方程x2＋y2＝0表示点(0，0)，A不正确；对于B，方程x2＋y2－2x＋4y－6＝0化为(x－1)2＋(y＋2)2＝11，此方程表示圆，B正确；对于C，x2＋y2＋2ax－a2－1＝0(a∈R)化为(x＋a)2＋y2＝2a2＋1(a∈R)，2a2＋1≥1＞0恒成立，此方程表示圆，C正确；对于D，方程x2＋2xy＋y2－9＝0化为x＋y＝±3表示两条平行直线，D不正确． 7．设圆C的方程为x2＋y2＋4x－6y＋10＝0，则圆C的面积为________． 解析：因为圆C的方程为x2＋y2＋4x－6y＋10＝0，即(x＋2)2＋(y－3)2＝3，可知圆C的半径r＝，所以圆C的面积为πr2＝3π. 答案：3π 8．(2026·无锡期中)已知m∈R，则圆x2＋y2－2mx＋2m2－2＝0的半径最大时圆的方程为 ________． 解析：易知圆x2＋y2－2mx＋2m2－2＝0的标准方程为(x－m)2＋y2＝2－m2， 可得0＜2－m2≤2，因此当m＝0时，圆的半径最大，此时圆的方程为x2＋y2＝2. 答案：x2＋y2＝2 9．(2026·泉州期中)已知点A是圆x2＋y2＝4上的一动点，点B(2，4)，点P是线段AB的中点，则动点P的轨迹方程是________________． 解析：设点P(x，y)，A(x0，y0)， 所以则① 又x＋y＝4，将①代入有(2x－2)2＋(2y－4)2＝4，化简得(x－1)2＋(y－2)2＝1. 答案：(x－1)2＋(y－2)2＝1 10．(13分)已知△ABC的三个顶点为A(4，1)，B(－6，3)，C(3，0). (1)求AB边上的中线CM的长；(6分) (2)求△ABC的外接圆方程．(7分) 解：(1)由中点坐标公式得AB的中点M(－1，2)，由两点间距离公式得|CM|＝＝2. (2)设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 因为点A，B，C在所求的圆上， 可得，解得 满足D2＋E2－4F＞0，则△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0. 11．曲线x2＋y2＝4|x|＋4|y|(xy≠0)的周长为(　　) A．4π B．8π C．12π D．16π 解析：选B. 由题意，曲线x2＋y2＝4|x|＋4|y|关于x轴对称，且关于y轴对称，当x＞0，y＞0时，曲线方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，作出曲线如图所示．设四部分的圆心分别为A，B，C，D，则曲线是分别以A，B，C，D四个点为圆心，半径为2的四个半圆，所以曲线的周长为4×π×2×2×＝8π. 12．已知m∈R，动直线l1：x＋my－1＝0过定点A，动直线l2：mx－y－2m＋3＝0过定点B.若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则△PAB面积的最大值是________． 解析：由直线l1：x＋my－1＝0，令y＝0，可得x＝1，所以直线l1恒过定点A(1，0)， 由直线l2：mx－y－2m＋3＝0，得y－3＝m(x－2)，所以直线l2恒过定点B(2，3)， 因为l1和l2的直线方程，满足1×m＋m×(－1)＝0，所以l1⊥l2，又因为l1和l2交于点P，所以点P在以AB为直径的圆上(除去点A(1，0)和B(2，3))， 由|AB|＝＝，可得|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10， 则Rt△PAB的面积S＝|PA||PB|≤·＝， 当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立，所以△PAB面积的最大值为. 答案： 13．(13分)已知圆E经过点A(0，0)，且恒被直线x－my＋m＝0(m∈R)平分． (1)求圆E的标准方程；(6分) (2)设P是圆E上异于点A的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．(7分) 解：(1)直线x－my＋m＝0(m∈R)恒过点(0，1). 因为圆E恒被直线x－my＋m＝0(m∈R)平分，所以直线x－my＋m＝0(m∈R)恒过圆心，所以圆心坐标为(0，1)，又圆E经过点A(0，0)，所以圆E的半径r＝1， 所以圆E的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. (2)设M(x，y)(0＜y≤1).因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y). 因为点P是圆E上的动点，所以(2x)2＋(2y－1)2＝1，即x2＋y2－y＝0，所以M的轨迹方程为x2＋y2－y＝0(0＜y≤1). 14．(15分)(2026·沧州月考)已知圆心在x轴上的圆C过A(－2，4)，B(5，3)两点，其中O为坐标原点． (1)求圆C的一般方程；(6分) (2)设P为圆C上的一动点，M(－24，0)，探究是不是定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．(9分) 解：(1)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 所以圆C的一般方程为x2＋y2－2x－24＝0. (2)为定值．设P(x，y)， 则|PM|＝，|PO|＝， 所以＝，因为P为圆C上的动点，所以y2＝24－x2＋2x(－4≤x≤6)， 所以＝ ＝ ＝＝＝5， 所以为定值5. 15．对给定的两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式定义“直角距离”：d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知M(3，5)，点N在圆C：x2＋y2＋2x＋4y＝0上运动，若点P满足d(M，P)＝2，则|PN|的最大值为________． 解析： 设点P(x，y)，由d(M，P)＝|x－3|＋|y－5|＝2可得点P的轨迹是如图所示以M为中心的正方形，其中A(3，7)，B(5，5)(由x＝3，得y＝3或7；由y＝5，得x＝1或5). 因为点N在圆C：x2＋y2＋2x＋4y＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝5上运动，其中圆心C(－1，－2)，所以|PN|的最大值为点P到圆心距离的最大值加圆的半径． 因为|AC|＝＝，|BC|＝＝， 圆C的半径r＝， 所以|PN|max＝|AC|＋r＝＋. 答案：＋ 学科网（北京）股份有限公司 $