第2章 2.4.1 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 以圆的方程为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的标准方程、圆心坐标、平移与对称|直接考查概念，如第1题求圆心、第3题圆的平移，夯实基础| |综合应用|点与圆位置关系、弦的中点、四点共圆|结合几何性质，如第8题弦中点求直线方程、第9题四点共圆求参数，培养推理意识| |拓展探究|九点圆、动点距离范围|融合数学史与综合推理，如第14题动点距离取值、第15题九点圆方程，发展创新意识|

1．圆(x－7)2＋(y－24)2＝34的圆心坐标为(　　) A．(－7，－24) B．(7，24) C．(－7，24) D．(7，－24) 解析：选B.由圆(x－7)2＋(y－24)2＝34，得圆心坐标为(7，24). 2．(2026·盐城期中)点P(m，2)与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8的位置关系为(　　) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与m的值有关 解析：选C.因为(m－1)2＋(2＋1)2＝(m－1)2＋9＞8，所以点P(m，2)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝8外． 3．把圆x2＋y2＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 解析：选C.圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0，0)，点(0，0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点(1，1)，故所得圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1. 4．曲线y＝与x轴围成区域的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D． 解析：选B.曲线的方程可化为y2＝4－(x＋1)2(y≥0)，即(x＋1)2＋y2＝4(y≥0)，所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径r＝2的半圆，其面积为S＝πr2＝2π. 5．(2026·青岛月考)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5关于x轴对称的圆的方程为(　　) A.(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 解析：选B.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心坐标为(－1，2)，故关于x轴对称的圆的圆心坐标为(－1，－2)，半径不变仍为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 6．(多选)(2026·哈尔滨期中)已知点P(－2，－3)和圆Q：(x－1)2＋(y－2)2＝9，下列说法正确的是(　　) A．圆Q的圆心为Q(1，2)，半径为r＝9 B．点P在圆Q外 C．圆Q关于直线2x＋y－4＝0对称 D．设点M是圆Q上任意一点，则|PM|的最小值为－3 解析：选BCD.圆Q的圆心为Q(1，2)，半径为r＝3，A错误； 因为|PQ|＝＝＞r，所以点P在圆Q外，B正确； 因为圆心Q(1，2)在直线2x＋y－4＝0上，所以圆Q关于直线2x＋y－4＝0对称，C正确； 因为|PQ|＝，圆Q的半径r＝3，所以－3≤|PM|≤＋3，D正确． 7．(2026·平谷期中)以(2，－3)为圆心，5为半径的圆的标准方程是________． 解析：以(2，－3)为圆心，5为半径的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25 8．(2026·台州期中)若圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝25的弦AB被点Q(2，1)平分，则直线AB的方程为________． 解析：因为圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心为M(1，2)，则kMQ＝＝－1.由题意可知，MQ⊥AB，则直线AB的斜率为k＝1，所以直线AB的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 9．若不同的四点A(－1，0)，B(2，－1)，C(5，0)，D(a，8)共圆，则实数a＝________． 解析：易知圆心在线段AC的垂直平分线上，该直线方程为x＝2，设圆心坐标为(2，b)，半径为r(r>0)，所以＝|b＋1|＝r，解得b＝4，r＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝25，又点D(a，8)在圆(x－2)2＋(y－4)2＝25上，所以(a－2)2＋(8－4)2＝25，解得a＝－1或a＝5. 答案：－1或5 10．(13分)写出下列圆的标准方程． (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)；(6分) (2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径为.(7分) 解：(1)设圆的半径为r(r＞0)， 则r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10， 故圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)由题意得解得 所以圆心坐标为(－，)，又半径为，所以圆的标准方程为(x＋)2＋(y－)2＝. 11．已知圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)，则“点A(1，0)在圆O外”是“点B(1，1)在圆O外”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.因为点A在圆O外⇔12＋02＞r2(r＞0)，即0＜r＜1；点B在圆O外⇔12＋12＞r2(r＞0)，即0＜r＜. 当0＜r＜1时，0＜r＜一定成立；而当0＜r＜时，0＜r＜1不一定成立．故“点A(1，0)在圆O外”是“点B(1，1)在圆O外”的充分不必要条件． 12．(多选)设圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．不论k如何变化，圆C的面积都是4π B．存在k∈R，使得圆C过点(3，0) C．经过点(2，2)的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 解析：选AD.对于A，不论k取何值，圆C的半径都是2，故面积都是4π，故A正确； 对于B，由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2(k－)2＋≥>4，故圆C必定不过点(3，0)，故B错误； 对于C，对于k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圆C经过点(2，2)，故C错误； 对于D，圆心(k，k)始终在直线y＝x上，故D正确． 13．(13分)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程；(6分) (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．(7分) 解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为－3. 又点T(－1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0. (2)由解得即点A的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2，0)，所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心． 故外接圆半径r＝|AM|＝＝2，所以矩形ABCD外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝8. 14．(15分)已知圆心为C的圆经过O(0，0)，A(0，2)两点，且圆心C在直线l：y＝x上． (1)求圆C的标准方程；(7分) (2)点P在圆C上运动，求|PO|2＋|PA|2的取值范围．(8分) 解：(1)由圆经过O(0，0)，A(0，2)两点，得圆心在OA的中垂线y＝上， 又圆心C在直线l：y＝x上， 联立得 即圆心为C(1，)，又|CO|2＝4，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝4. (2)设P(x0，y0)，易知x0∈[－1，3]， 则|PO|2＋|PA|2＝x＋y＋x＋(y0－2)2＝2x＋2(y0－)2＋6，(*) 因为点P在圆C上运动， 则(x0－1)2＋(y0－)2＝4， 故(*)式可化简为|PO|2＋|PA|2＝2x＋2[4－(x0－1)2]＋6＝4x0＋12， 由x0∈[－1，3]得4x0＋12∈[8，24]， 所以|PO|2＋|PA|2的取值范围为[8，24]. 15．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意三角形中，三条边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称为欧拉圆．已知在△ABC中，A(－2，0)，B(4，4)，C(2，2)，则△ABC的九点圆的方程是________________________________________________________________________． 解析：记△ABC的边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，则AB边的中点M(1，2)，BC边的中点N(3，3)，AC边的中点P(0，1)， 因为直线MP的斜率kMP＝＝1，线段MP的中点坐标为(，)，所以线段MP的垂直平分线方程为y－＝－(x－)，即y＝－x＋2. 因为直线NP的斜率kNP＝＝， 线段NP的中点坐标为(，2)，所以线段NP的垂直平分线方程为y－2＝－(x－)， 即y＝－x＋. 联立解得 由垂径定理推论得，(，－)即为圆心， 结合圆上点P(0，1)可得半径 r＝＝， 所以△ABC的九点圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝. 答案：(x－)2＋(y＋)2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $