3.5 图形的位似 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“图形的位似”展开，涵盖位似图形的概念、性质、画法及平面直角坐标系中的位似变换。通过宣传海报实例和相似五边形问题导入，衔接相似图形知识，搭建从相似到位似的学习支架，逐步深入坐标系中的坐标变换规律。 其亮点在于以问题驱动结合实例探究，用“数学眼光”观察海报、坐标变换抽象位似本质，“数学思维”推理位似性质与坐标规律，“数学语言”通过表格归纳变换规律。提供同侧异侧画法示例和分层练习，帮助学生深化理解，教师可直接用于结构化教学，提升课堂效率。

5 图形的位似 第1课时 位似图形及其性质与画法 学习目标 1.掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点) 2.掌握位似与相似的联系与区别. (难点) 课时导入 下图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成，在图片①和图片②上任取一组对应点A，A′，可以发现：直线AA′都经过镜头中心点O. 如图，是两个相似五边形，设直线AA′与BB′相交于点O，那么直线CC′，DD′，EE′是否也都经过点O？ 有什么关系？ O A B C D E′ E A′ B′ C′ D′ 根据测量可以得出： 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O；且有OP=k·OP′（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.实际上，k就是这两个相似多边形的相似比. A B C D E E' D' C' B' A' O 知识讲解 ③两个正方形 判断下列各对图形哪些是相似图形，哪些是位似图形. 结论1：位似图形是相似图形的特殊情形. ②∠AED＝∠B ①DE∥BC B C D G A B C D E A B C D E A 相似且位似 E F 相似但不是位似 相似但不是位似 1.位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对应角相等，对应线段成比例，面积比等于相似比的平方． 2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（位似图形的相似比也叫做位似比） 3.对应线段平行或者在一条直线上． 归纳： 注意： ①两个位似图形的位似中心有且只有一个. ②位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处.常见位似图形的构成如图. 例1.如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使其与△ABC位似，且位似比为2. 解：①画射线OA、OB、OC; A B C F E D O 想一想：你还有其他的画法吗？ ②在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F,使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; ③顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似,相似比为2. A B C 画法二：对应点在位似中心异侧. 解：①画射线AO、BO、CO; ②沿着射线AO、BO、CO反方向上分别取点D、E、F,OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC; ③顺次连结D、E、F, 使△DEF与△ABC位似,相似比为2. O E F D 做一做 用以下方法可以近似地把一个不规则图形放大： 1. 将两根等长的橡皮筋系在一起，联结处形成一个结点. 3. 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点，把一支铅笔 固定在橡皮筋的另一端. 4. 拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运 动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了 一个新的图形. 这个新图形与已知图形形状相同. 请你用这个方法把一个已知图形放大. 2. 选一个图形，在图形外取一个定点. 随堂练习 已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2. A B C D E F 画法一:对应点在位似中心同侧. 解：①画射线OA、OB、OC; ②在射线OA、OB、OC上分别取点D、E、F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF; ③顺次连结D、E、F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2. O A B C 画法二: △ABC与△DEF在异侧. 解：①画射线OA、OB、OC; ②在射线OA、OB、OC反向延长线上分别取点D、E、F,使OA= 2OD,OB=2OE, ③OC=2OF;顺次连结D、E、F,使△DEF与 △ABC位似,位似比为1：2. D F E O 画位似图形的一般步骤： 归纳： ①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择； ②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； ③根据位似比，确定对应点，并连接对应点（根据位似比的取值，判断是将一个图形放大还是缩小）； ④符合要求的图形可能不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个位似图形。 随 堂 小 测 B 1.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（　　） A．左上 B．左下 C．右上 D．右下 2.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为（　　） A．8 cm B．20 cm C．3.2 cm D．10 cm B B 3.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 5. 用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（　　） D A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 6.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝___ cm. (1)请在图中画出位似中心O； (2)AC∶A′C′＝________； (3)AB与A′B′的位置 关系为________． 4 1:2 平行 A C B A′ B′ C′ O 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 5 图形的位似 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 学习目标 1.理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐标之间的联系． 2.会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律. (重点、难点) 在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0,0），A（3,1），B（2,3）. 将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点,以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比。 如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘﹣2呢？ 课时导入 2026/9/16 23 –2 –4 –6 2 4 6 0 2 4 6 –2 –4 –6 y x O A B · · A′ B′ 原坐标 O(0,0) A(3,1) B(2,3) 横纵坐标×2 原坐标 O(0,0) A(3,1) B(2,3) 横纵坐标×-2 O′(0,0) A′(6,2) B′(4,6) O′(0,0) A′(-6,-2) B′(-4,-6) 将△OAB的横、纵坐标分别乘2和-2，得到的两个不同的三角形都是△OAB的位似图形，位似中心都是原点O，相似比都是2，它们关于原点成中心对称。 知识讲解 2026/9/16 24 在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），C（6，10）,D（-2，6）. （1）将点A，B，C，D 的横、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比. （2）如果将点A，B，C，D 的横、纵坐标都乘- 呢？ （3）你还能提出更一般性的问题吗？ O x y 2 4 6 2 4 6 -2 -4 8 -2 -4 -6 8 10 A B C D A′(2,1) B′(4,3) C′(3,5) D′(-1,3) A′′(-2,-1) B′′(-4,-3) C′′(-3,-5) D′′(1,-3) 乘 操作·思考 在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形有什么关系？ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 O 5 6 7 6 x y 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数 k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为∣k∣. 例 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A （6，0），B （3，6），C（-3，3）. 已知四边形O1A1B1C1与四边形OABC是以原点O为位似中心的位似四边形，且相似比是3:2，请写出四边形O1A1B1C1各个顶点的坐标. 与四边形OABC相比，四边形O1A1B1C1对应顶点的坐标发生了什么变化？ 原坐标 O(0，0) A(6，0) B(3，6) C(-3，3) 横纵坐 标× 横纵坐标× 4 2 6 8 -6 -8 -4 -2 2 -2 6 8 4 -4 -6 -8 O A B C 以原点O为位似中心，与四边形OABC相似比为3:2的位似图形有两个，它们关于原点成中心对称. x y O1(0，0) A1 (9，0) B1(4.5，9) C1(-4.5,4.5) O2(0，0) A2(-9，0) B2(-4.5，-9) C2(4.5,-4.5) A1 B1 C1 A2 B2 C2 （O1） （O2） 归纳 平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律 变换方式 平移 对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度 全等变换 轴对称 若以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 旋转 若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数 位似 当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比 相似变换（扩大、缩小或不变） 2026/9/16 29 随 堂 小 测 1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( ) A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变 B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变 C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2 D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2 C 2.在平面直角坐标系中，已知点A(6，4),B(4，-2),以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是（ ） A.(3，2) B.(12，8)或（-12，8） C.(12，8) D.(3，2)或（-3，-2） O A B A' B' A'' B'' D x y 3.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以点O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若点B的对应点B′的坐标为(0，－6)，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4) A 4.如图所示，△ABC在网格中(每个小方格的边长均为1)． (1)请在网格上建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(2，3)，点C的坐标为(6，2)，并求出点B的坐标； (2)在(1)的基础上，以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； (3)计算△A′B′C′的面积S. 解：(1)平面直角坐标系如图所示，B(2，1)． (2)△A′B′C′如图所示，A′(4，6)，B′(4，2)，C′(12，4)． A′ B′ C′ y O x 小结 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数 k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为∣k∣. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $