3.5《图形的位似》 课件 第2课时 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦坐标系中以原点为位似中心的位似变换，通过北斗导航地图缩放情境导入，衔接上节课一般位似画法，引导学生从猜想坐标变化到验证位似关系，构建知识支架。 其特色在于以科技应用为情境培养数学眼光，通过坐标乘2与-2的对比探究发展数学思维，用规律解释地图缩放体现数学语言。采用协作探究与分层检测，学生能联系生活提升应用意识，教师可借助清晰环节提高教学效果。

第三章 图形的相似 第5课 图形的位似 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 坐标系中的位似变换 学习目标 1.通过在平面直角坐标系中动手画图和计算对应点坐标,发现以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律. 2.通过对比k取正数和负数时的图形位置差异,理解k的绝对值和符号分别表示的几何意义. 3.通过完成课本例2的画图任务,掌握利用坐标规律画位似图形的方法,能准确写出位似图形对应顶点的坐标.借助北斗卫星导航系统和数字地图中的位似变换应用,感受数学在现代科技中的核心作用,增强科技报国的使命感 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 北斗卫星导航系统是中国自主建设、独立运行的全球卫星导航系统,是国之重器.它能为全球用户提供精准的定位、导航和地图缩放服务，而地图的等比例缩放功能,核心原理就是我们今天要学习的 “坐标系中的位似变换”.这一数学原理支撑着从导航到航空航天、从游戏到影视特效的无数现代科技应用,彰显了数学作为 “科学之母” 的强大力量. 为什么我们在手机上用手指一滑,就能精准地将地图等比例放大或缩小？这种在屏幕坐标系中实现的完美缩放,背后隐藏着怎样简单而神奇的坐标变化规律？ 问题构建 问题1:同学们有时可能用到手机地图,当你用两个手指放大地图时,地图上的街道、建筑形状有没有改变？大小有没有改变？ 形状完全不变,大小按比例放大或缩小,这是一种位似变换. 问题构建 问题2:手机屏幕本质上是一个平面直角坐标系,每个地点都对应着唯一的坐标.猜想一下：当地图放大2倍时,地图上每个点的坐标会发生怎样的变化？ 猜想:每个点的横坐标和纵坐标都同时乘以2 追问:上节课我们学习了一般的位似图形画法,需要先确定位似中心，再画射线取点.在坐标系中,有没有更简便的方法,不用画射线,直接通过计算坐标就能画出位似图形？ 有,这就是我们今天要探究的坐标系中的位似变换规律 问题3:请大家打开课本,看第一个探究问题.已知△OAB的三个顶点坐标O(0,0),A(3,1),B(2,3).将这三个点的横坐标、纵坐标都乘2,得到三个新点的坐标分别是什么？ O(0,0)，A₁(6,2)，B₁(4,6) 问题构建 追问1:请大家在坐标系中画出△OAB和△OA₁B₁,观察这两个三角形的形状和大小有什么关系？ 形状相同,△OA₁B₁的大小是△OAB的2倍,它们是相似图形 追问2:它们是位似图形吗？请你用上节课学习的位似定义来验证. 是位似图形.验证:①对应顶点连线OO、AA₁、BB₁都经过原点O；②计算，同理2,所以对应顶点到位似中心的距离之比都等于2,符合位似图形的定义. 问题构建 追问3:位似中心在哪里？相似比是多少？ 位似中心是坐标原点O,相似比是2 追问4:如果将点O、A、B的横坐标、纵坐标都乘-2,得到的三个点坐标是什么？画出这个三角形,它与△OAB 位似吗？位似中心和相似比又是多少？ 得到的点坐标是O(0,0),A₂(-6,-2),B₂(-4,-6).它与△OAB位似,位似中心还是原点O,相似比是2 问题构建 追问5:对比乘2和乘-2得到的两个三角形,它们的位置有什么不同？为什么会有这种不同？ 乘2得到的三角形与原三角形在原点的同侧，乘-2得到的三角形与原三角形在原点的两侧.因为乘负数时,坐标的符号发生了改变,所以图形关于原点中心对称. 问题构建 问题4:看课本图3-33,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(4,2),B(8,6),C(6,10),D(-2,6).将这四个点的横 坐标、纵坐标都乘,得到的新点坐标是什么？ A₁(2,1)，B₁(4,3)，C₁(3,5)，D₁(-1,3) 追问1:以这四个点为顶点的四边形与原四边形 ABCD 位似吗？位似中心和相似比是多少？ 位似,位似中心是原点O,相似比是 问题构建 追问2:如果将横坐标、纵坐标都乘-呢？得到的四边形与原四边形位似吗？位似中心和相似比是多少？ 位似,位似中心还是原点O,相似比是,图形在原点的另一侧. 追问3:结合刚才的两个探究活动,你能提出一个更一般性的问题吗？ 在平面直角坐标系中,如果将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，得到的图形与原图形位似吗？位似中心在哪里？相似比是多少？ 协作破冰 在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0),所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为|k|. 问题5:在这个规律中,k的绝对值表示什么？k的符号表示什么？ 追问:这个规律和我们上节课学习的位似图形画法有什么联系？ k的绝对值表示相似比;k的符号表示位似图形与原图形的位置关系:k>0时,在原点同侧；k<0时,在原点异侧（关于原点中心对称） 本质上是一致的.上节课我们是通过画射线,使对应顶点到位似中心的距离比等于相似比;在坐标系中,将坐标乘k,就自动满足了对应顶点连线过原点,且距离比等于|k|这两个位似条件. 教师示范 例2 在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A (6,0),B(3,6),C(-3,3).以原点O为位似中心画一个四边形,使它与四边形OABC位似,且相似比是2:3. 问题6:为了使画出的四边形与原四边形的相似比为2:3，需要将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘多少？ 需要乘或者-因为相似比是|k|= 画法一：将四边形OABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘得到O(0,0)，A´(4,0)，B´(2,4)，C´(-2,2)；在平面直角坐标系中描出点A´,B´，C´,用线段顺次连接点O, A´,B´,C´,O,则四边形OA´B´C´就是符合要求的四边形. 教师示范 画法二:将四边形OABC各顶点的横坐标、纵坐标都乘-得到O (0,0)，A''(-4,0)，B''(-2,-4)，C''(2,-2)；在平面直角坐标系中描出点A‘’,B‘’,C‘’,用线段顺次连接点O,A‘’,B‘’,C‘’,O,则四边形 OA''B''C'' 也是符合要求的四边形. 追问1:课本中给出了两种画法,画法一和画法二的区别是什么？ 画法一乘的是得到的四边形与原四边形在原点的同侧；画法二乘的是 -得到的四边形与原四边形在原点的异侧. 追问2:如果位似中心不是原点,而是平面内的任意一点,我们还能用这个坐标规律吗？ 巩固拓展 问题7:现在回到本节课开始的主问题,为什么手机地图能精准地等比例缩放？请你用今天学习的知识解释. 手机地图是建立在平面直角坐标系上的,每个地点都有坐标.当我们放大地图时,系统会将地图上所有点的横坐标和纵坐标都乘以一个大于 1的数k;当我们缩小地图时,就乘以一个小于1的正数k.根据今天学习的规律,这样得到的新图形与原图形位似,位似中心是屏幕中心（或原点）,相似比是|k|,所以能实现等比例缩放. 追问:除了地图缩放,生活中还有哪些应用了坐标系中位似变换的例子？ 游戏中角色的放大缩小、照片的缩放编辑、CAD工程制图中的比例缩放、卫星遥感图像的处理等. 数学是现代科技的基础,所有的高科技应用都离不开数学原理的支撑.学好数学,就能为未来的科技发展贡献力量. 当堂检测 1.在平面直角坐标系中，将点 A (2,3) 的横坐标、纵坐标都乘-2，得到点A‘，则下列说法正确的是（ ） A. 点 A' 与点 A 关于 x 轴对称 B. 点 A' 与点 A 关于 y 轴对称 C. 点 A' 与点 A 关于原点对称 D. 点 A' 在第一象限 C 上面题目中解题方法，与你在平面直角坐标系中学到的方法有什么异同？ 当堂检测 2.在平面直角坐标系中,△ABC 与△A‘B’C‘ 是以原点为位似中心的位似图形,相似比为 1:3.若点 A 的坐标为 (2,-1)，则点 A' 的坐标为______ (6,-3) 或 (-6,3) 解题步骤 1.明确规律：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标为原坐标乘以k或-k,其中 | k | 为相似比. 2.确定k值：已知△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 1:3，因此 | k|=3，即 k=3 或 k=-3 3.计算对应点坐标：当k=3 时，点 A'(2×3, -1×3)=(6,-3) 当 k=-3时，点 A'(2×(-3), -1×(-3))=(-6,3)得出 4.结论：点 A' 的坐标为 (6,-3) 或 (-6,3) 当堂检测 3.在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1,1)，B (2,3)，C (4,2).以原点O为位似中心,在第一象限内画一个△A'B'C’,使它与△ABC 位似,且相似比为2.写出点 A'、B'、C' 的坐标，并画出图形 点 A' 的坐标为 (2,2)，点 B' 的坐标为 (4,6)，点 C' 的坐标为 (8,4)。画图步骤： 计算对应点坐标； (2) 在坐标系中描出 A'、B'、C’； (3) 顺次连接 A'、B'、C'，得到△A'B'C' 当堂检测 4.在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为 O (0,0)，A (4,0)，B (3,4)，C (1,3).以原点O为位似中心,画一个与四边形OABC位似,且相似比为 的四边形.要求画出所有可能的图形,并写出对应顶点的坐标. 有两种画法： 画法一（同侧）：将各顶点坐标乘，得到 O (0,0)，A₁(2,0)，B₁(1.5,2)，C₁(0.5,1.5)，顺次连接得到四边形 OA₁B₁C₁ 画法二（异侧）：将各顶点坐标乘- ,得到 O (0,0)，A₂(-2,0)，B₂(-1.5,-2)，C₂(-0.5,-1.5)，顺次连接得到四边形 OA₂B₂C₂ 反思总结 1.本节课我们经历了怎样的探究过程,才得出了坐标系中位似变换的坐标规律？这个过程体现了数学研究的什么思想？ 2.坐标系中的位似变换与我们之前学习的平移、轴对称、旋转变换有什么相同点和不同点？ 3.通过了解北斗导航系统中的数学应用,你对“数学改变世界” 这句话有了哪些新的理解？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第93页 第2,3题 二、素养类作业 课本第94页 第7题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $