3.4 相似三角形的性质 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，涵盖对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方等核心知识点。课堂导入通过模型房立柱等实际问题，从具体情境出发，经思考交流、严谨证明逐步扩展到n等分线等一般结论，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例和探究活动培养数学眼光，通过严谨证明和推理发展数学思维，结合例题应用强化数学语言表达。如平移重叠面积问题，引导学生用面积比解决实际问题。小结系统梳理性质，帮助学生构建知识网络，既提升学生探究能力，又为教师提供清晰教学路径。

4 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理（一） 学习目标 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 课时导入 （1） △ACD与△A′C′D′ 相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. 如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的 房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱. （2）如果CD =1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 知识讲解 知识点 相似三角形中对应线段的性质 思考·交流 （1）已知△ABC∽△A′B′C′， △ABC与△A′B′C′的相似比为3，那么这两个三角形的两条中线AD, A’D’有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流。 A B C A′ B′ C′ D D′ A B C A′ B′ C′ 同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比. 相似三角形对应中线的比等于相似比 D D′ ∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′， ∵ D，D′分别是BC和B′C′的中点 ∵∠B=∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′ （2）如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？请说明你的理由。 A B C A′ B′ C′ ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B′ 又∠AHB=∠A′H′B′=90°， △AHB∽∠A′H′B′ 同样可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比 A B C A′ B′ C′ H H′ 同样可以证明其余两组对应边上的角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴∠B=∠B′ ,∠BAC=∠B′A′C′. 又AT，A′T′分别为对应角∠BAC， ∠B′A′C′的平分线， ∴∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′, ∴△ABT∽△A′B′T′, A B C A′ B′ C′ T T′ 性质定理 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比. 操作·思考 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上. （1）若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′. ∴△ABD∽△A′B′D′， ∵∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′， （2）若BE= BC， B′E′= B′C′，则等于多少？ 解：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′ ， ∴△ABE∽△A′B′E′ ∵BE=BC，B′E′=B′C′， （3）你能提出更一般性的问题吗？ 相似三角形对应角的n等分线的比，对应边的n等分线的比都等于相似比. 例 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC 边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E. 当 SR= BC时，求DE的长.如果SR= BC呢？ 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）. ∴ （相似三角形对应高的比等于相似比）， 即 当SR= BC时，得 .解得DE= . 当SR= BC时，得 .解得DE= . 1.已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4:1， 则△ABC与△DEF对应边上的高之比为________． 2.如图， 若△ADE∽△ACB，且 ， DE＝10，则 BC＝________． 随 堂 小 测 4:1 15 1.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线， ， BD=4cm，求B′D′的长. 小结 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形的性质 相似三角形对应中线的比等于相似比 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 4 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的性质定理（二） 学习目标 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 课时导入 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？ A B C A1 B1 C1 知识讲解 知识点1 相似三角形的周长比 (1)如图，如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，△ABC与 △A'B'C' 的周长比是多少？ (2)如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，△ABC与△A'B'C' 的周长比是多少？ A B C A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 如图，由已知，得 相似三角形的周长比等于相似比． 知识点2 相似三角形的面积比 (1)如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，△ABC与 △A'B'C' 的面积比是多少？ (2)如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为k，△ABC与△A'B'C' 的面积比是多少？ A B C A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 分别作△ABC和△A ′B ′C ′的高CD，C ′D ′. ∵ △ABC∽△A ′B ′C ′， ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比). D D′ 思考·交流 （1）两个相似四边形的周长比等于相似比吗？两个相似的n边形呢？ （2）两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗？你能利用相似三角形的性质说明吗？两个相似n边形呢？与同伴进行交流。 A B D C A′ B′ D′ C′ 连接BD和B′D′. ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， 相似多边形周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方。 类比四边形，你能继续求五边形的周长比及面积比吗？ 例 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， △ABC与 △DEF 重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离. 解：根据题意，可知EG∥AB. ∴ ∠GEC=∠B，∠EGC=∠A. ∴ △GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴ （相似三角形的面积比等于相似比的平方）， 即 . ∴ EC2=2， ∴ EC= （负值舍去） . ∴BE=BC–EC= ， 即 △ABC平移的距离为 . 1.判断 （1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍， 那么它的周长也扩大为原来的10倍 （ ） （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么 它的三边的长都扩大为原来的9倍 （ ） 随 堂 小 测 × √ 2.如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上 的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______. 3.两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大 三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周 长____cm，面积为____cm2. 14 4.如图，已知DE∥BC，BD=3AD，S△ABC =48， 求：△ADE的面积. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB， ∴△ADE ∽△ABC. 又∵BD=3AD， 可得相似比 k=AD∶AB=1∶2， ∴S△ADE = S△ABC =12. 小结 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形的性质 相似三角形面积之比等于相似比的平方 相似三角形的性质 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $