3.3 相似三角形判定定理的证明 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦平行线分线段成比例基本事实、推论及相似三角形判定定理的证明，通过梯子实例导入第1课时引发猜想，第2课时回顾旧知衔接定理证明，搭建从情境探究到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，如梯子问题引导发现线段关系，通过网格图操作与定理严谨证明发展数学思维，规范比例式书写与证明步骤训练数学语言。结构化小结梳理知识体系，助力学生提升探究与推理能力，为教师提供清晰教学路径与实例支持。

第1课时 平行线分线段成比例 3 相似三角形判定定理的证明 学习目标 1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论. 2.熟练运用平行线分线段成比例进行相关的计算，证明三角形的相似.（重难点） 课时导入 下图是一架梯子，由生活常识可以知道:AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？ A A1 B C D B1 C1 D1 A1B1=B1C1 知识讲解 如图，小方格的边长都是1，直线 l1∥l2 ∥l3 , 分别交直线 m , n 于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3 . 知识讲解 （1）计算与，与，与的值， 你有什么发现？ （2）将 l2 向下平移到如下图 的位置，直线 m，n 与直线l2 的交点分别为 A2，B2 . 你在问题（1）中发现的结论 还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？ （3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直 线，截得的线段成比例吗？ 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点1 平行线分线段成比例的基本事实 数学表达： 如图，∵l3∥l4∥l5，∴ …. 如图1，直线 a∥b∥c ，分别交直线 m，n 于点 A1，A2，A3，B1，B2，B3 . 过点 A1 作直线 n 的平行线，分别交直线 b，c 于点 C2，C3 （如图2），图2中有哪些成比例线段？ 图1 图2 观察·思考 知识点2 成比例线段 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段. 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例. A1 A2 b c m B1 B2 B3 n a A2 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 推论 A1 A2 b c m B1 B2 B3 n a A2 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说新图形中有哪些成比例线段？刚刚所说的线段是否仍然成比例？ 例 如图，在△ABC 中，E，F 分别是AB 和 AC上的点，且 EF∥BC. （1） 如果 AE=7，EB=5，FC=4，那么AF 的长是多少？ A B C E F 解：（1）∵EF∥BC，∴ ∵ AE=7，EB=5，FC=4， ∴ 13 例 如图，在△ABC 中，E，F 分别是AB 和 AC上的点，且 EF∥BC. （2） 如果 AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ A B C E F （2）∵EF∥BC，∴ ∵ AB=10， AE=6，AF=5， ∴ ∴ 14 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC. 若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝________. 随 堂 小 测 2.如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC= ； FG∥BC，AF=4.5，则AG= . A B C E D F G 7.5 6 3．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB. 求证： . 证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB为平行四边形．∴DE＝BF. ∵DE∥BC，∴ ∵EF∥AB，∴ 又∵DE＝BF，∴ ∴ 小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 基本事实 平行线分线 段成比例 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 3 相似三角形判定定理的证明 第2课时 相似三角形判定定理的证明 学习目标 1.会证明相似三角形判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 课时导入 相似三角形的判定方法有哪些？ （1）两角分别相等的两个三角形相似 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. （3）三边成比例的两个三角形相似. 你能对它们进行证明吗？ 两角分别相等的两个三角形相似． 数学表达： 在△ABC与△A′B′C′中， ∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 知识讲解 知识点1 证明两角分别相等的两个三角形相似 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′， 求证 ：△ABC∽△A'B'C'. A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， （平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例） F 过点D作AC的平行线， 交BC于点F， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′， 求证 ：△ABC∽△A'B'C'. （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） ∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE＝CF. 而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C ∴△ADE∽△ABC ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′. ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' A B C A′ B′ C′ D E F 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 数学表达： 在△ABC与△A′B′C′中， ∵ ，∠A＝∠A′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 知识点2 证明两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， 求证 ：△ABC∽△A'B'C' ∴△ABC∽△ADE. （两角分别相等的两个三角形相似） 而∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 知识点3 证明三边成比例的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似． 数学表达： 在△ABC与△A′B′C′中， ∵ ， ∴△ABC∽△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， AE＝A′C′, 连接DE. 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中， 求证 ：△ABC∽△A'B'C' 而∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 1.判断 （1）所有的等边三角形都相似. ( ) （2）所有的直角三角形都相似. ( ) （3）所有的等腰三角形都相似. ( ) （4）所有的等腰直角三角形都相似. ( ) 随 堂 小 测 × √ × √ 2. 如图4，AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD于点F， 你能从中找出几对相似三角形？ B C A E D F B C A E D F B C E D F B A E D F B C A E D F D C F E A 3.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的长. A B C D 解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = ∴ 又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA， ∴ ∴AD= 小结 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 定理证明 相似三角形判定定理的证明 定理的运用 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $