第9课时 相似三角形的性质（一）——对应线段关系课件-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应线段关系，核心知识点为对应高、中线、角平分线的比等于相似比。复习导入通过对应边比例、三角形线段定义等问题，衔接相似三角形判定旧知与性质应用新知，搭建“先定对应再探性质”的学习支架。 其亮点在于以情境观察（如照片缩放中对应高变化）培养数学眼光，通过构造小三角形用AA或SAS证明性质发展推理能力，强调“先定对应再列比例”规范数学语言。学生能理解性质本质，教师可依“观察-猜想-证明-应用”路径提升教学效率。

第9课时 相似三角形的性质（一）——对应线段关系 复习导入 1. 若△ABC∽△DEF，AB:DE=3:5，BC:EF是多少？ 2. 三角形的高、中线、角平分线分别怎样定义？ 3. “对应边”容易确定，那么“对应高、中线、角平分线”该怎样确定？ 相似三角形对应边成比例，BC:EF也为3:5。 高、中线、角平分线都依附于某个顶点或某条边。 因此本课所有性质的前提都是：先确定对应顶点、对应边，再确定对应线段。 方法提示：今天不是继续学习新的判定方法，而是研究“已知相似以后能推出什么”。 本课任务 由“判定相似”转向“运用性质” 观察测量 在相似图形中比较对应高、中线、角平分线 形成猜想 这些对应线段是否也按相似比变化 说明理由 构造小三角形，用相似判定证明性质 规范应用 先定对应，再列比例式求解 情境1：照片缩放中的对应高 把一张三角形标志图按同一比例放大：对应边变了，高会怎样变？ A B C H D E F K 思考： 1. 若对应边放大2倍，对应高会不会也放大2倍？ 2. 这里哪两条高才叫对应高？ 情境1：学生思考与教师解惑 6 1. 放大图与原图相似，边的比确定了，高的比是否也确定？ 2. 能不能把任意两条高拿来相比？ 3. 直观看到“差不多成比例”，能不能作为数学结论？ 整体放大给出直观猜想：对应高可能也按相似比变化。 但必须是对应顶点到对应边的高，任意两条高没有这种保证。 测量只能帮助猜想，真正的结论需要用相似判定和性质证明。 情境2：测量对应中线与角平分线 7 在两张相似三角形格点图中，测量对应中线和对应角平分线。 A B C M D E F N 任务：分别计算“对应边比、对应中线比、对应角平分线比”，观察这些比值是否相等。 情境2：从测量到猜想 8 1. 测量得到的几个比值是否接近相等？ 2. 如果有误差，误差可能来自哪里？ 3. 能否把发现写成一句数学猜想？ 测量通常会发现：对应边、对应中线、对应角平分线的比值接近相等。 误差来自画图、读数、取整。 数学猜想：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 性质建构：对应线段关系 9 比较两个情境：对应高、中线、角平分线有什么共同点？ 它们为什么都不能脱离“对应”二字？ 若△ABC∽△DEF，相似比为k，可以怎样概括？ 这些线段都依附于对应顶点或对应边。 只有对应线段才随相似图形作同一比例变化。 性质：相似三角形对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比k。 对应边比 = 对应高比 = 对应中线比 = 对应角平分线比 = 相似比 证明对应高性质 10 已知△ABC∽△DEF，AH⊥BC，DK⊥EF。求证：AH:DK=AB:DE。 思考 1. 含高的小三角形是哪两个？ 2. 哪两组角相等？ 3. 为什么可得△ABH∽△DEK？ 解析：∠AHB=∠DKE=90°，又∠B=∠E，所以△ABH∽△DEK，由相似得AH:DK=AB:DE。 A B C H E F K D 证明中线与角平分线性质 11 中线：解：BM=BC，EN=EF，所以BM:EN=BC:EF； 因为△ABC∽△DEF，所以AB:DE=BC:EF， 所以AB:DE=BM:EN，结合∠B=∠E， 所以△ABM∽△DEN（SAS）， 所以AB:DE=AM:DN 已知△ABC∽△DEF，AM、DN分别为△ABC和△DEF的中线，求证：AM:DN=AB:DE。 同理，对于角平分线而言，也满足对应角平分线比也等于相似三角形的相似比. 即时训练一：识别对应线段 12 若△ABC∽△DEF，A↔D，B↔E，C↔F。 1. BC边上的高对应哪条边上的高？ 2. AB边上的中线对应哪条边上的中线？ 3. ∠C的角平分线对应哪个角的角平分线？ 1. BC↔EF，所以BC边上的高对应EF边上的高。 2. AB↔DE，所以AB边上的中线对应DE边上的中线。 3. C↔F，所以∠C的角平分线对应∠F的角平分线。 先看相似结论顺序，再定对应线段。 方法提示：先定对应顶点，再定对应边，最后定对应线段。 即时训练二：用性质求线段 13 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=4:7，△ABC中BC边上的高为8 cm，求△DEF中EF边上的高。 独立完成： 1. 相似比方向是什么？ 2. 设未知数后怎样列比例？ 解：因为BC↔EF，所以两条高对应。 对应高的比等于相似比，设△DEF中EF边上的高为x，则8:x=4:7。 解得x=14 cm。 结果检查：第二个三角形对应边更长，高也应更长。 方法提示：计算题也要写清“哪两条线段对应”。 例题1：对应高计算 14 已知△ABC∽△DEF，A↔D，B↔E，C↔F，AB:DE=3:5。AH是BC边上的高，AH=6 cm，求EF边上的对应高DK。 1. 本题是否需要重新证明△ABC∽△DEF？ 2. AH与DK为什么对应？ 3. 比例式应写成AH:DK=3:5，还是DK:AH=3:5？ 解：BC↔EF，所以BC边上的高AH与EF边上的高DK对应。 AB:DE=3:5，与AH:DK方向一致，因此6:DK=3:5，解得DK=10 cm。 例题2：对应中线与变式 15 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=2:3。AM、DN分别是BC、EF边上的中线，DN=12 cm，求AM。 1. AM与DN为什么是对应中线？ 2. 应列AM:DN=2:3，还是DN:AM=2:3？ 3. 若换成对应角平分线，方法变吗？ BC↔EF，AM、DN分别连向对应边中点，所以AM↔DN。 AM:DN=AB:DE=2:3，AM:12=2:3，解得AM=8 cm。 换成对应角平分线时性质相同：对应角平分线的比也等于相似比。 边界澄清：性质与判定不要混 16 判断下面两种题的第一步有什么不同： A. 已知△ABC∽△DEF，求对应高。 B. 已知两组角相等，先证明两个三角形相似，再求对应高。 哪一种直接用性质？哪一种先判定？ A题已经给出相似，可直接用“对应线段比等于相似比”。 B题没有给出相似结论，必须先用AA等方法判定相似，再使用性质。 不能未证相似就列对应线段比例，也不要在已知相似时做无效重复证明。 两句话记牢：没有相似，先判定；已经相似，用性质。 课堂检测一：选择、填空、判断 17 请独立完成，先写答案，再补理由。 1. 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=3:4。正确的是（ ） A. 任意两条中线之比为3:4 B. BC边上的高与EF边上的高之比为3:4 C. ∠A的角平分线与∠E的角平分线之比为3:4 D. 任意两边之比为3:4 2. 若△ABC∽△A'B'C'，AB:A'B'=5:2，对应中线之比为____。 3. 两个相似三角形中，任意一条线段与任意一条线段的比都等于相似比。（ ） B 5:2 错 课堂检测二：证明与解答 18 4. 已知△ABC∽△DEF，AH是∠BAC的角平分线，DK是∠EDF的角平分线且A↔D，B↔E，C↔F。求证：AH:DK=AB:DE。 证明：△ABC∽△DEF，所以∠BAC=∠EDF。因为AH是∠BAC的角平分线，DK是∠EDF的角平分线，所以∠BAH=∠BAC，∠EDK=∠EDF，所以∠BAH=∠EDK，因为∠B=∠E，所以△ABH∽△DEK，因此AH:DK=AB:DE。 5. 已知△ABC∽△DEF，AB:DE=3:5，AM、DN分别是BC、EF边上的中线。若AM=9 cm，求DN。 解：AM、DN是对应中线，所以AM:DN=AB:DE=3:5。由9:DN=3:5，解得DN=15 cm。 课堂小结 19 今天的知识结构：已知相似 → 确定对应 → 对应线段成比例 → 计算或证明 核心性质：对应边比 = 对应高比 = 对应中线比 = 对应角平分线比 = 相似比。 理解来源：构造含目标线段的小三角形，再用AA或SAS证明小三角形相似。 应用路径：写相似结论 → 确定相似比 → 找对应线段 → 列比例式 → 求解。 易错提醒：不是任意线段，而是对应线段；不是只写结果，还要说明对应关系。 $