精品解析：江西省南昌市外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

南昌市外国语学校2025-2026学年度上学期 高一期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由交集的定义求解即可. 【详解】集合，，则. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】集合表示被3整除余数为1的整数所构成的集合， 集合表示被3整除余数为2的整数构成的集合， 表示被3整除余数为1或2的整数集合， 则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集. 故选：A. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，考虑由能否推出，由能否推出，由此判断结论． 【详解】因为 ，所以 ，即 ， 充分性：若 ，因为 ，所以必有 ，即 ，故充分性成立， 必要性：若 ，即 ，因为 ，所以必有 ，故必要性成立， 综上，“”是“”的充要条件。 故选：A． 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式不等式，再利用充要条件的判断方法即得. 【详解】由， 因是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知函数则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B. 6. 已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 7. 已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过定义法确定的单调性，然后通过赋值法得到，再由已知等式关系结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可． 【详解】任取，且，则， 所以，且， 因为当时，，所以，所以， 所以，所以在上单调递减； 因为，所以，， 所以， 所以，解得， 因此，不等式的解集为， 故选：B． 8. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化为，解之即可. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 因为关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以. 故选：A 二、多选题 本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，则 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数，则 D. 与同一函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入化简计算判断A；利用函数定义及表示法判断B；求出分段函数值判断C；利用同一函数的定义判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由函数定义知函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，函数与定义域都为R，对应法则相同，它们是同一函数，D正确. 故选：ABD 10. 已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次函数图象可得，，进而代入各选项判断即可. 【详解】由图象可知，该二次函数开口向上，故， 与轴的交点为，， 故， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D：不等式可化为， 即，即，其解集为，故D正确. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知集合，若，则实数___________． 【答案】或0或 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再利用交集结果，结合包含关系求解. 【详解】依题意，，由，得，而， 则当时，；当时，，解得；当时，，解得， 所以实数的值为或0或. 故答案为：或0或 13. 已知，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案： 14. 用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ，若 ，则实数 的所有可能值构成的集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件，得到或，结合方程分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以或． 因为 当时，或． 当时，且， 由已知关于x的方程有3个实数解， 且是方程的解，且， 若是方程的解，则， 此时方程的解集只有个元素，矛盾， 若是方程的解，则，矛盾， 所以关于x的方程只有一个解且不为1和， 则，解得． 当时，的解为1，不符合题意； 当时，的解为，符合题意． 综上，a的所有可能取值为0，1，，即所求集合为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知集合， （1）若时，求出集合与； （2）若时，全集， 求出集合 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由并集及补集运算即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以或. 16. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据分和两种情况讨论，建立不等式组，求解. 【小问1详解】 （1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 （2）当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上，实数的取值范围为. 17. 已知均为正数且，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法，结合平方数为非负数推理得证. （2）根据给定条件，利用基本不等式，结合不等式的性质推理得证. 【小问1详解】 由，得 ， 当且仅当时取等号，所以. 【小问2详解】 由均为正数且，得，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得函数的两个零点是和，即，求得的值，即可得的值； （2）将代入，化简得.讨论方程的两根的大小关系，分别求不等式的解集即可. 【小问1详解】 解：由题意知，-1和3是方程的两个根， 根据根与系数的关系，得. 解得，则． 【小问2详解】 将代入， 即为：，得. 因为，所以方程的两个实数根分别为. ①当时，，所以不等式的解集为； ②当时，得，其解集为，所以不等式的解集为； ③当时，，所以不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 19. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题设代点求解即可； （2）结合对勾函数的性质可得，转化问题为在有解，进而求解即可； （3）由已知可得，化简可得，，换元结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 解得，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当或时，. 所以，则. 不等式，即， 得在有解，所以且， 即， 则实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 恒成立，所以，则， 而 ， 设，其中，则， 当且仅当时，即当时等号成立， 因为，则， 所以， 因为函数在上单调递增，可得， 所以，即实数的最小值为3. 【点睛】方法点睛：求解函数不等式恒（能）成立问题，常常利用函数最值解决问题，而遇到原函数有参数时，常用参变量分离法分离参数，进而利用函数性质求解最值以解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025-2026学年度上学期 高一期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的单选题 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数则（　　） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题 本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 已知，则 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C 函数，则 D. 与是同一函数 10. 已知二次函数（，，为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 不等式的解集为 11. 定义在上函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ） A B. C. 当时， D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知集合，若，则实数___________． 13. 已知，则 的最小值为__________. 14. 用 表示非空集合 中元素的个数，定义 ，若 ， ，若 ，则实数 的所有可能值构成的集合为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知集合， （1）若时，求出集合与； （2）若时，全集， 求出集合 16. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知均为正数且，求证： （1）； （2）． 18. 设函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 19. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，使得不等式成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $