29.2.1垂直于弦的直径（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，核心内容包括圆的轴对称性、垂径定理及其推论和“知二推三”应用。通过圆形纸片对折操作导入，引导学生从直观感知圆的对称性过渡到垂径定理的探究，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以动手操作培养几何直观（数学眼光），通过定理证明和“知二推三”转化训练推理意识（数学思维），结合赵州桥实例与符号语言提升模型应用意识（数学语言）。多样化例题及变式训练助学生巩固，教师可直接用此提升教学效率。

第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的轴对称性，知道圆的对称轴是直径所在的直线（有无数条）. 掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理进行有关的计算和证明，理解"知二推三"的含义，能在五个条件中灵活转化. 经历圆形纸片对折的操作过程，探索圆的轴对称性，培养学生的动手操作能力和几何直观. 新知引入 对于圆，与之相关的几何对象有 线段、弧和角. 研究圆的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量关系. 我们先来研究与圆有关的线段——直径和弦. O 弧 线段 探究 提到直径，你能想到圆的哪种对称性？ 用圆规在草稿纸上画一个圆，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？ 新知引入 圆形纸片沿着直径对折后，直径两侧的部分完全重合，换不同的直径对折，都能完全重合。 这说明圆是轴对称图形。 探究 圆有多少条对称轴？圆的对称轴是什么？ 圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 利用圆的轴对称性，我们可以得到一个关于垂直于弦的直径的重要定理——垂径定理。今天我们就来学习这个定理. 点击图片动态演示折叠过程 （放映状态下） 设AB是⊙O的任意一条直径 新知探究 探究1：圆的轴对称性的证明 探究 刚才我们通过折纸操作发现了圆是轴对称图形。你能证明这个结论吗？ 因为圆心O在AB上，所以OM′＝OM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），因此点M′在⊙O上。 如果M为⊙O上点A、B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点 那么直线AB是线段MM′的垂直平分线。 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。 概念归纳 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 新知探究 探究1：圆的轴对称性的证明 注：这个证明用了"任意一点"的方法，即证明圆上任意一点的对称点都在圆上，这是证明轴对称图形的常用方法。 新知探究 探究2：垂径定理 探究 利用圆的轴对称性，我们来研究垂直于弦的直径有什么性质. 如果⊙O的直径AB垂直于弦，垂足为N，那么M和M′是关于直径AB的对称点. 把圆沿着直径AB对折时，点M与点重合，与重合，弧MA、弧MB分别与弧、弧重合。 因此，直径AB平分弦，并且平分弧、弧 垂足 因此，，弧MA＝弧，弧MB＝弧 符号语言： 新知探究 探究2：垂径定理 概念归纳 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AM＝BM，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD 点击图片动态演示垂径定理 （放映状态下） 题设 结论 新知探究 探究2：垂径定理 （1）垂径定理中的"直径"可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段——只要经过圆心且垂直于弦即可； 垂径定理的注意事项 方法总结 （2）"平分弦所对的两条弧"是指平分弦所对的优弧和劣弧，不要只说平分一条弧； 垂径定理的条件有两个： ①经过圆心（直径）；②垂直于弦 结论有三个：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧。 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 新知巩固 垂径定理 如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为多少？ 解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 新知探究 探究3：垂径定理的推论与"知二推三" 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 题设 结论 如果一条直径平分一条弦（不是直径），那么这条直径是否垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧？ 探究 如果我们把垂径定理的条件和结论互换一下，还成立吗？ 题设和结论互换后： 直径平分弦（不是直径），所以圆心和弦的两个端点构成等腰三角形，直径是底边的中线，根据等腰三角形三线合一，直径垂直于弦. 再由垂径定理，直径平分弦所对的两条弧。 点击图片动态演示垂径定理 （放映状态下） 新知探究 探究3：垂径定理的推论与"知二推三" 概念归纳 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论中"平分弦"的"弦"一定不能是直径，否则结论不一定成立。 因为任意两条直径都互相平分，但不一定互相垂直。 注意： 新知探究 探究3：垂径定理的推论与"知二推三" 知二推三 在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么一定可以推出其他三个： ①经过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦（非直径）； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧。 如果知道①经过圆心和③平分弦（非直径） 可以推出②垂直于弦、④平分优弧、⑤平分劣弧（这就是推论）； 如果知道②垂直于弦和③平分弦 可以推出①经过圆心、④平分优弧、⑤平分劣弧. 新知巩固 垂径定理的推论与"知二推三" 【分析】紧扣垂径定理，必须满足**过圆心**这个前提条件，再判断命题真假． 判断正误： （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧。（ ） （2）平分弦的直径垂直于弦。（ ） （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（ ） （1）错误：垂直于弦的直线不一定过圆心，只有垂直于弦的直径才满足平分弦与弧。 （2）错误：当被平分的弦本身就是直径时，两条直径互相平分，但不一定垂直。 （3）正确：弦的垂直平分线一定经过圆心，同时平分弦所对的两条弧，符合垂径定理推论。 垂径定理的应用 教材例题 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今已有1400余年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径长（结果保留小数点后一位）。 【分析】根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题。 解：如图 ， 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为 ，半径长为 m. 经过圆心 作弦 的垂线 ， 为垂足， 与 相交于点 ，连接 。 垂径定理的应用 教材例题 根据垂径定理， 是 的中点， 是 的中点， 就是拱高。 所以 在 Rt 中，由勾股定理，得 即 解得 因此，赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 【分析】根据垂径定理求出𝐴𝐷长度，再根据勾股定理求出𝑂𝐷长度，即可求出𝐶𝐷的长度. 巩固训练1 利用垂径定理求值 如图，在中，半径与弦垂直于点，且，，则的长是（     ） A．3 B． C．2 D．1 解：，， ，， ， 在中，， ． 巩固训练1 利用垂径定理求值 变式题 1.如下图所示, 为 上两点, 且 , 弦 于 点, 则弦 的长为多少? 解: , , 是等边三角形 , , , 在 中, 根据勾股定理得 , , . 巩固训练1 利用垂径定理求值 变式题 2.如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为点 ， 为 上一点，．求 与 的大小． 解： 的直径 垂直于弦 ， ． 【分析】利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形. 巩固训练2 利用垂径定理求同心圆问题 如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为 3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是多少？ 解：如图，当 与小圆相切时有一个公共点， ∴ ∴ ， 在 ， ∴ = ， ； 当 经过同心圆的圆心时，弦 最大且与小圆相交有两个公共点， 此时 ， 所以 AB 的取值范围是 8 ≤ AB ≤ 10 巩固训练2 利用垂径定理求同心圆问题 如图，以点 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 与小圆相切，点 为切点，且 ，，连结 交小圆于点 ，则扇形 的面积为多少？ 解： 大圆的弦 与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形 的面积 变式题 巩固训练3 利用垂径定理求解其他问题 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． . 如图，的直径垂直于弦，则的度数是多少？ 解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 巩固训练3 利用垂径定理求解其他问题 变式题 是 的外接圆, 在弧 上找一点 , 使点 平分弧 . 对图中的三种作法, 下列说法正确的是 A. 三种作法均正确 B. 只有作法一和作法二正确 C. 只有作法二和作法三正确 D. 只有作法二正确 解: 由作图可知 平分 , 即作法一正确, 由作图可知 平分 , 经过圆心 , 即作法二正确, 由作图可知 垂直平分选段 , 经过圆心 , 故作法三正确, 故选: A. 课堂总结 本节课你学到了什么？ 24 感谢聆听! 25 $