29.2.1 垂直于弦的直径（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，核心内容包括圆的轴对称性、垂径定理及推论。通过回顾轴对称图形和弦弧概念，结合折叠圆形纸片实验，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究定理推导过程。 其亮点在于以探究式教学为主，通过动手折叠培养几何直观与空间观念，逻辑证明发展推理能力，结合赵州桥等实例强化模型意识。系统梳理“知二推三”结论，帮助学生构建知识体系，教师可利用清晰环节提升教学效率，学生能增强问题解决能力。

人教版(新教材) 九年级上册 29.2 圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直 第二十九章 圆 回顾与练习 对于圆，与之相关的几何对象有线段、弧和角。研究圆的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量关系。 圆中的弦、弧是如何规定的？ O A B ＊圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 ＊连接圆上任意两点的线段叫做弦. ＊直径是经过圆心的弦叫做直径. 一段弧对几条弦？一条弦对几段弧？ 思考 一段弧只对一条弦 一条弦对两段弧 弧、弦之间有怎样关系？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 2. 对称轴的性质是什么？ 在平面内，如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形。 1.什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？ 线段、矩形、正方形、角、菱形、等腰三角形…… 回顾与练习 对称轴是对应点连线的垂直平分线 3. 举例说一说常见的轴对称图形 圆是轴对称图形吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：探究圆的轴对称性 圆是轴对称图形吗？对称轴是什么？有多少条对称轴？ 学习活动： 将圆形纸片沿任意一条直径对折，观察对折后的重合情况 O 圆是轴对称图形 对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴 你能用轴对称的相关知识证明这个结论吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：探究圆的轴对称性 思考 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，M为⊙O上点A，B以外的任意一点.证明点M关于直线AB的对称点仍在⊙O上. M' O M A B N 要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 如图，设AB是⊙O的任意一条直径， 如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点， M'是点M关于直线AB的对称点， 那么直线AB是线段MM'的垂直平分线. 因为圆心O在AB上， 所以OM'=OM，因此点M′在⊙O上. 如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. 根据轴对称定义证明 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 思考 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，M为⊙O上点A，B以外的任意一点.证明点M关于直线AB的对称点仍在⊙O上. 你还能用其他方法证明吗 M' O M A B N 证明：过点M作MM'AB，交⊙O于点M'， 垂足为N，连接OM，OM' 在△OMM'中，∵OMOM' ∴△OMM'是等腰三角形 又∵MM'AB ∴NM=NM'，即AB是MM'的垂直平分线 ∴.点M关于直线AB的对称点M′在⊙O上 根据对称轴性质证明 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：探究圆的轴对称性 归纳 圆的对称性 ①圆是轴对称图形 F F' E E' B B' C D A A' M O ②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：推导垂径定理 思考 如图，设AB是⊙O的任意一条直径，弦MM′⊥AB，垂足为N， 求证：AB平分MM′，且AB平分，AB平分 M' O M A B N 证明: ∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 MM′，垂足为 N， ∴点 M 和 M′ 是关于直径AB的对称点. 与 重合 MA M′A 与 重合 MB M′B 因此，MN = M′N ， 即直径 AB 平分弦 MM′，并且平分 ， . MM′ MAM′ 把圆沿着直径AB对折时，M N与 M′N 重合， 点 M与点 M′ 重合， 结论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 归纳 环节二：推导垂径定理 文字语言 几何语言 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 在⊙O中，AB 是直径， AB ⊥弦MM′于N. M' O M A B N MN=NM′ 垂径定理 圆中直径与弦的位置关系 相等线段，相等的弧 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：推导垂径定理 想一想 （1）下列图形是否具备垂径定理的条件？ E C O A B D E C O A B D C O A B （1） （2） （3） （4） 没有垂直 AB、CD都不是直径 D O A B C （2）条件“直径”可以用什么条件替换 半径，或过圆心的直线（线段），其本质是“过圆心” 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 思考 （1）垂径定理中的题设条件和结论分别是什么？ 题设： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 有一条直线如果 那么这条直线 结论： M' O M A B N （2）能不能将垂径定理中的题设条件“垂直弦” 和结论“平分弦” 互换吗？ ①过圆心 ③平分弦 ②垂直于弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 一定成立吗？ 环节三： 垂径定理的推论 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三： 垂径定理的推论 D O A B C 思考 （3）AB、CD是⊙O的直径， AB、CD互相平分， AB、CD一定互相垂直吗？ ①过圆心 ③平分弦(直径) ②垂直于弦不一定成立 （4）AB是⊙O的直径， CD为圆中非直径的弦， AB平分CD，AB、CD一定互相垂直吗？ D O A B C ∟ ①过圆心 ③平分弦(非直径) ②垂直于弦成立 说说你的理由. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三： 垂径定理的推论 证明：连接OA,OB,则OA=OB. 在△OAM和△OBM中， ∵OA=OB,OM=OM,AM=BM ∴△OAM≌△OBM.（SSS） ∴∠AMO=∠BMO. ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 与重合, 与重合, ∴ =, = D O M A B C 图（2） 已知：如图，AB是⊙O的直径， CD为圆中非直径的弦， AB平分CD，求证：AB⊥CD且 =, = 结论： 平分（非直径）弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧, ⑤平分弦所对的劣弧. ①③→②④⑤ 还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？ 环节三： 垂径定理的推论 知二推三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三： 垂径定理的推论 垂径定理拓展 （1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： ①过圆心； ②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. D O A B C ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 条件 结论 推论 ①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧. 知二推三 环节三： 垂径定理的推论 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧. ②③ ①⑤④ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧. … … … … … … 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：定理应用与模型构建 归纳 应用垂径定理及其推论常用辅助线 连接半径，过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理计算 半径r、弦心距d、半弦长，满足：r²=d²+()² O ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例1 .赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)？ 37m 7.23m O ∟ 解：如图，表示主桥拱，设 所在圆的圆心 O，半径长为 R m.经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与 相交于点 C，连接 OA. 根据垂径定理，D 是 AB 的中点，C 是 的中点，CD 就是拱高.由题设可知 AB = 37，CD = 7.23， ∴ AD = = = 18.5， OD = OC－CD = R－7.23. 在 Rt△OAD 中，有勾股定理，得 OA² = AD² + OD²， 即 R² = 18.5² + (R - 7.23)². 解得 R ≈ 27.3. 答：赵州桥主桥拱的半径长约为 27.3 m. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、⊙O 的半径为5，为两条平行的弦，．求这两条平行弦之间的距离 【分析】 （1）为两条平行的弦，这两条弦的位置有两种情况 ① 和在圆心的同侧； ② 和在圆心的异侧 O O （3）辅助线：过点作于，交于，则， 连结OA、OC （2）方法：利用垂径定理构造直角三角形计算 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、⊙O 的半径为5，为两条平行的弦，．求这两条平行弦之间的距离 O 解：当和在圆心的同侧时，如图所示， 连接，．过点作于，交于， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ， ， 则． E ∟ F 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2、⊙O 的半径为5，为两条平行的弦，．求这两条平行弦之间的距离 O E ∟ F 解：当和在圆心的两侧时，如图所示， 连接，．过点作于，交于， ，， ， ，， ，， 根据勾股定理，得 ， ， 则． 答：这两条平行弦之间的距离是1或7． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂小结与知识梳理 1.圆的对称性：轴对称图形，直径所在直线为对称轴 2.垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3.垂径定理推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.垂径定理拓展： 一条直线具备“①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧”中两个条件，就能推出其他三个结论成立。 5.计算模型： 已知圆中半径为r，弧对的弦长为a，圆心到弦的距离为d，则： r²=d²+()²（勾股定理）   O ∟ r d 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 1．如图，在半径为10的中，垂直弦于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 解：如图所示，连接， ∵垂直弦于点， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 2．如图，在中，直径与弦相交于点P，，若，，则 ． 【分析】 （1）利用垂径定理计算弦长，常用辅助线为： 过圆心作弦的垂线，连结半径，得到直角三角形，进而利用勾股定理计算 （2）辅助线：过点O作于点D，连接 D ∟ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 2．如图，在中，直径与弦相交于点P，，若，，则 ． D ∟ 解：如图所示，过点O作于点D，连接， 则，  ∵是的直径，，， ∴的半径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 课堂演练 3．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． M ∟ N 解：如图：过O点作，垂足为M，连接，  ∵四边形是矩形， ∴. 设, 则, 在直角三角形中， ， 即， 解得，即球的半径为． C 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 5.（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点． (1)利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） (2)若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径． 课堂演练 【分析】 （1）弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心，据此即可完成作图； （2）连接，根据垂径定理可得，再结合勾股定理可得； 设圆片的半径为，在中利用勾股定理求解． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 5.（2023上·浙江杭州·九年级统考期中）如图这是一个残缺的圆形部件，已知是该部件圆弧上的三点． (1)利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹） (2)若是等腰三角形，底边，腰，求该部件的半径． 课堂演练 （1）解：如图所示： 分别作弦和的垂直平分线交点即为所求的圆心； 2）解：连接交于． ，， ， ， 设圆片的半径为， 在中，， 解得：， 圆片的半径为． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 6.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，求AB的长 O H ∟ D C A B 解：如图，连接OD. ∵CD⊥AB，CD=2 ，∴CH=DH= . 在Rt△BHD中，由勾股定理， 得BH= =1. 设⊙O的半径为r，则OH=r-1. 在Rt △OHD中， OH2+HD2=OD2，即 (r -1)2+( )2=r2， 解得 r = ， ∴AB=2r=3. 课堂演练 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢聆听 $