5.1 认识二次函数 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“认识二次函数”，核心内容包括二次函数的定义、一般形式及实际应用。课堂导入通过果园增产问题创设情境，回顾旧知连接正比例、一次、反比例函数，以问题链引导学生从实际变量关系抽象出函数表达式，构建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以真实情境问题驱动，如果园产量、利润增长、矩形面积等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过问题链引导推理，从变量分析到表达式推导，发展数学思维，强调将实际问题转化为二次函数一般形式，提升数学语言表达能力。小结分点明确步骤，帮助学生掌握建模方法，既利于学生形成应用意识，也为教师提供结构化教学流程。

1 认识二次函数 课时导入 知识讲解 随堂小测 小结 回顾旧知 回顾我们学过的函数以及它们的函数表达式： 正比例函数 y=kx（k≠0） 一次函数 y=kx±b（k≠0） 反比例函数 y= （k≠0） 课时导入 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （开放性问题） 自变量有橙子树的棵树、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量等. 课时导入 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. （2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子. y= （600-5x）（100+x)=-5x2+100x+60 000 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 课时导入 （3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 尝试·思考 （1）某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ （2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ （3）两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ （1）某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为x，6月的利润为y万元，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ y=20（1+x）2，x＞0 当矩形为正方形且边长为10 cm时，面积是100 cm2; 当矩形的长和宽分别是15 cm和5 cm时，面积是75 cm2； y=x(20-x)=20x-x2，0＜x＜20 设矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，则另一边长为（20-x）cm，根据题意可得 （2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm2吗？可能是75 cm2吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为x cm，面积为y cm2，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ y=x(20-x)=20x-x2，0＜x＜20 （3）两数的和是20，设其中一个数是x，这两个数的积是y，那么y与x之间的关系式是什么？x能取哪些值？ 知识点 二次函数的定义 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数. 最高次数项次数为2次 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 知识讲解 知识点 二次函数的一般形式和函数值 一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y=ax²+bx+c(a≠0) 这种形式叫做二次函数的一般形式 . 二次函数的项和各项系数 y=a x²+b x+ c 二次项系数 一次项系数 一次项 二次项 常数项 函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中 所得的y值为函数值. 1. 下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数？ y= +3x2 y= x2-x3+25 y=22+2x s=1+t+5t2 随堂小测 解： 自变量的最高次数是1 不是 是 是 2不是自变量的最高次数 不是 在上题中的两个二次函数中，它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？ 二次项系数 一次项系数为1 常数项 所以，二次项系数是 ，一次项系数是1，常数项是25. 二次项系数是5，一次项系数是1，常数项是1. 2. 圆的半径是1 cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加 y cm2. （1）写出y与x之间的关系式； y＝π·（1＋x）2－π·12＝πx2＋2πx， 即y与x之间的关系式为y＝πx2＋2πx. （2）当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 cm时，圆的面积各增加多少? 当x=1时，y＝π+2π＝3π； 当x= 时，y＝2π+2 π=（2+2 ）π； 当x=2时，y＝ π+2π×2=8π； 故当圆的半径分别增加1 cm， cm，2 m时，圆的面积各增加3π cm2，（2＋2 ）π cm2，8π cm2. 1.关于二次函数的定义要理解三点： （1）函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义； （2）确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把函数表达式化为一般式； （3）二次项系数不为0. 小结 2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤： （1）确定自变量与因变量代表的实际意义； （2）找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式； （3）将方程或等式整理成二次函数的一般形式． 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $