专题08从有理数到实数 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数到实数的扩充，系统梳理无理数定义（无限不循环小数）、三大类型（开方开不尽的数、特定常数、构造型小数）、实数分类（按定义和正负性），以及实数与数轴一一对应关系、大小比较规则和相反数绝对值性质延续，构建连贯的知识支架。 资料通过8类分层题型（难度★到★★★★）、易错点辨析（如带根号数的化简判断）和解题思路指导，结合数轴直观案例（如圆滚动表示π、正方形对角线定位无理数）培养抽象能力与几何直观。课中辅助教师系统教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题08从有理数到实数精讲学案 核心立意 数的范围由有理数扩充到实数。识别无理数，掌握实数分类，理解实数与数轴一一对应关系，会比较实数大小；延续有理数范围内相反数、绝对值相关性质，是实数运算的基础，中考常考无理数辨析、实数分类。 无理数定义： 无限不循环小数叫做无理数。无限小数≠无理数，无限循环小数属于有理数。 无理数三大常考类型： 1.开方开不尽的数：、； 2.特定常数：； 3.构造型无限不循环小数：0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 实数定义： 有理数和无理数统称为实数。 实数两种分类 实数与数轴： 实数和数轴上的点一一对应；有理数不能铺满数轴，无理数也能在数轴上找到对应点。 实数大小比较： 数轴上右边的实数总比左边的实数大，和有理数比较大小规则一致。 实数相关性质： 实数范围内，相反数、绝对值的意义与有理数完全一致。 例：-的相反数是；||=。 ①误认为带根号就是无理数，=2是有理数，只有开方开不尽才是无理数。 ②混淆无限小数：无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 ③错误认为数轴上只存在有理数对应的点，数轴上所有点对应全体实数。 ④0是有理数，不属于无理数。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★★ 题型二 无理数的大小估算 ★★★ 题型三 无理数整数部分的有关计算 ★★★★ 题型四 实数概念理解 ★★ 题型五 实数的分类 ★★★ 题型六 实数的性质 ★★★ 题型七 实数与数轴 ★★★ 题型八 实数的大小比较 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：无理数 解题思路 ①抓住无理数核心定义：无限不循环小数；②记住三类常见无理数：①开方开不尽的数；②含有的数；③构造型无限不循环小数；③先化简再判断，不要看到带根号就判定为无理数，例如=2，属于有理数。 1．写出一个你喜欢的无理数________． 2．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 3．在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有________个． 4．在 中，其中无理数的个数共有（     ） A．44个 B．45个 C．1979个 D．1980个 题型二：无理数的大小估算 解题思路 ①找到被开方数左右相邻的两个完全平方数；②将被开方数夹在两个完全平方数中间；③对不等式同时开平方，确定无理数在哪两个整数之间。 5．大于的最小整数为________． 6．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．若为正整数，且满足，的值是_____． 8．正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 题型三：无理数整数部分的有关计算 解题思路 ①先估算无理数的取值范围，确定它的整数部分；②记住公式：小数部分 = 原无理数 − 整数部分；③若是负的无理数，整数部分要取更小的整数，不要直接照搬正数的计算方法。 9．a为的整数部分，则__________． 10．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 11．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 12．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．6 B． C． D．1 题型四：实数概念理解 解题思路 ①牢记实数由有理数和无理数两部分共同组成；②分清小数类别：有限小数、无限循环小数属于有理数；无限不循环小数属于无理数；③记住特殊数0：0是有理数，既不是正数，也不是负数；④读题逐个甄别选项说法，注意概念判断题里的文字陷阱。 13．若，则  ______． 14．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 题型五：实数的分类 解题思路 ①看清题目分类要求，实数有两套分类标准：按定义分、按正负性分；②按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数；③必须先把数字化简完成，再进行归类，避免被表面形式误导。 16．下列实数中，有理数是（     ） A． B． C． D．0 17．数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 18．在，，，，，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型六：实数的性质 解题思路 ①实数范围内相反数、绝对值规则和有理数完全一致；②求相反数，直接改变数字前面的符号；③求绝对值：正数绝对值等于本身，负数绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0；④遇到带根号的实数，先判断正负，再开展计算。 20．实数的相反数是_________． 21．化简的结果为(     ) A． B． C． D． 22．已知|a-4|+(b+1)2=0，那么ab=___． 23．已知，为实数，且，则的绝对值为___． 题型七：实数与数轴 解题思路 ①牢记核心结论：实数和数轴上的点一一对应；②任意一个实数都可以在数轴上找到对应点，数轴上任意一点都对应一个实数；③数轴上右侧点代表的数始终大于左侧点代表的数，可用来判断大小、化简绝对值。 24．如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 25．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 26．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 27．教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 题型八：实数的大小比较 解题思路 ①数轴法：数轴右边的数大于左边的数；②正负判断法：正数大于0，0大于负数；③负数比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；④带根号比较法：可以将两边同时平方，比较平方后的数值大小，再还原原数大小。 28．比较大小：_____ 3． 29．下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 30．比较大小：_____(填，， 31．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 2．在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 3．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 4．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 5．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08从有理数到实数精讲学案 核心立意 数的范围由有理数扩充到实数。识别无理数，掌握实数分类，理解实数与数轴一一对应关系，会比较实数大小；延续有理数范围内相反数、绝对值相关性质，是实数运算的基础，中考常考无理数辨析、实数分类。 无理数定义： 无限不循环小数叫做无理数。无限小数≠无理数，无限循环小数属于有理数。 无理数三大常考类型： 1.开方开不尽的数：、； 2.特定常数：； 3.构造型无限不循环小数：0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）。 实数定义： 有理数和无理数统称为实数。 实数两种分类 实数与数轴： 实数和数轴上的点一一对应；有理数不能铺满数轴，无理数也能在数轴上找到对应点。 实数大小比较： 数轴上右边的实数总比左边的实数大，和有理数比较大小规则一致。 实数相关性质： 实数范围内，相反数、绝对值的意义与有理数完全一致。 例：-的相反数是；||=。 ①误认为带根号就是无理数，=2是有理数，只有开方开不尽才是无理数。 ②混淆无限小数：无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 ③错误认为数轴上只存在有理数对应的点，数轴上所有点对应全体实数。 ④0是有理数，不属于无理数。 题型 考察方向 难度 题型一 无理数 ★★ 题型二 无理数的大小估算 ★★★ 题型三 无理数整数部分的有关计算 ★★★★ 题型四 实数概念理解 ★★ 题型五 实数的分类 ★★★ 题型六 实数的性质 ★★★ 题型七 实数与数轴 ★★★ 题型八 实数的大小比较 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★巩固；★★★提升；★★★★拔高★★★★★难题 题型一：无理数 解题思路 ①抓住无理数核心定义：无限不循环小数；②记住三类常见无理数：①开方开不尽的数；②含有的数；③构造型无限不循环小数；③先化简再判断，不要看到带根号就判定为无理数，例如=2，属于有理数。 1．写出一个你喜欢的无理数________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，任选一个满足定义的数即可． 【详解】解：是无限不循环小数，符合无理数的定义， 2．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】选项A，为整数，是有理数，不符合题意； 选项B，为分数，是有理数，不符合题意； 选项C，为整数，是有理数，不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，是无理数，符合题意. 3．在数0.66，，，π，，，0.313113…（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握根据定义识别常见无理数是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是循环小数，是有理数； π是无理数； 是分数，是有理数； 是无理数； 0.313113…（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 故无理数有个． 故答案为：． 4．在 中，其中无理数的个数共有（     ） A．44个 B．45个 C．1979个 D．1980个 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，为有理数当且仅当是完全平方数，因此先计算总个数，再求出范围内完全平方数（有理数）的个数，用总个数减去有理数个数即可得到无理数个数． 【详解】解：被开方数从到，总个数为 个， ∵ ，， ∴ 不超过的正完全平方数为，共个， 其中，不在本题范围内，因此有理数共有（个）， ∴ 无理数个数为 （个）． 题型二：无理数的大小估算 解题思路 ①找到被开方数左右相邻的两个完全平方数；②将被开方数夹在两个完全平方数中间；③对不等式同时开平方，确定无理数在哪两个整数之间。 5．大于的最小整数为________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，即可得到大于的最小整数． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴大于的最小整数为． 6．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 7．若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 8．正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算. 先确定 的取值范围，再利用不等式的性质求出 的范围即可． 【详解】解： 即 即 该数值在 和 之间． 题型三：无理数整数部分的有关计算 解题思路 ①先估算无理数的取值范围，确定它的整数部分；②记住公式：小数部分 = 原无理数 − 整数部分；③若是负的无理数，整数部分要取更小的整数，不要直接照搬正数的计算方法。 9．a为的整数部分，则__________． 【答案】2 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分，即的值． 【详解】解：，，且， ，即， 的整数部分为，即． 10．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 11．已知的小数部分是，的小数部分是，则的值_____． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则，， 则． 12．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】A 【分析】先判断，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ，， 原式． 题型四：实数概念理解 解题思路 ①牢记实数由有理数和无理数两部分共同组成；②分清小数类别：有限小数、无限循环小数属于有理数；无限不循环小数属于无理数；③记住特殊数0：0是有理数，既不是正数，也不是负数；④读题逐个甄别选项说法，注意概念判断题里的文字陷阱。 13．若，则  ______． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 、 的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出 ， 的值是解题关键． 14．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 15．下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 【答案】C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 题型五：实数的分类 解题思路 ①看清题目分类要求，实数有两套分类标准：按定义分、按正负性分；②按定义分为有理数、无理数；按正负性分为正实数、0、负实数；③必须先把数字化简完成，再进行归类，避免被表面形式误导。 16．下列实数中，有理数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】解：A、是无理数； B、是无理数； C、是无理数； D、0是有理数． 17．数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 【答案】3 【分析】根据无理数的定义，逐个判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 故无理数有：，，（3和1之间依次多一个0），共个． 18．在，，，，，中，无理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，无理数的定义，正确理解无理数的定义及表示无理数的几种形式是解题的关键．根据无理数定义，无理数是指无限不循环小数．逐个判断各数即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 中的π是无理数， 是无理数； ，是分数， 是有理数； 是分数， 是有理数； ，是整数， 是有理数； 是无限不循环小数，是无理数， 所以，无理数有2个． 故选：A． 19．在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0）这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得出答案． 【详解】解：，， 则，，，是有理数， ，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，是无理数，共3个； 故选：D． 题型六：实数的性质 解题思路 ①实数范围内相反数、绝对值规则和有理数完全一致；②求相反数，直接改变数字前面的符号；③求绝对值：正数绝对值等于本身，负数绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0；④遇到带根号的实数，先判断正负，再开展计算。 20．实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 21．化简的结果为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 22．已知|a-4|+(b+1)2=0，那么ab=___． 【答案】-4 【分析】根据实数的非负性质，得到a-4=0，b+1=0，计算得到a，b的值计算即可． 【详解】∵ |a-4|+=0， ∴a-4=0，b+1=0， ∴a=4，b= -1， ∴ab=-4， 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了实数的非负性，熟练掌握非负性性质是解题的关键． 23．已知，为实数，且，则的绝对值为___． 【答案】/ 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键． 题型七：实数与数轴 解题思路 ①牢记核心结论：实数和数轴上的点一一对应；②任意一个实数都可以在数轴上找到对应点，数轴上任意一点都对应一个实数；③数轴上右侧点代表的数始终大于左侧点代表的数，可用来判断大小、化简绝对值。 24．如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 【答案】 【详解】解：∵点从原点滚动到点， ∴， ∴点对应的数为， ∴点对应的数的相反数是． 25．数轴上的点A表示的数为，点B表示的数为2，则点A与点B之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点距离的计算，利用数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，先比较两数大小，再去绝对值得到结果． 【详解】解：∵ 数轴上两点之间的距离等于两点对应数差的绝对值，点对应数为，点对应数为， 又∵ ， ∴ 与之间的距离为． 26．如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为；若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合点A所表示的数及两点间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴边长， ∵， ∴， ∵顶点在数轴上，且表示的数为， ∴点所表示的数为． 27．教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 题型八：实数的大小比较 解题思路 ①数轴法：数轴右边的数大于左边的数；②正负判断法：正数大于0，0大于负数；③负数比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；④带根号比较法：可以将两边同时平方，比较平方后的数值大小，再还原原数大小。 28．比较大小：_____ 3． 【答案】 【分析】对两个数同时立方，通过比较立方后的结果判断原数的大小． 【详解】解：∵ ，， ∵ ， ∴ ． 29．下列四个数中最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将四个数进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数是． 30．比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 31．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 通过计算或比较每个选项的数值或表达式，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，，且， ， ， ，故该选项说法错误，不符合题意； B、∵ > ， ∴ ， ∴ ，该选项说法正确，符合题意； C、，，且， ，故该选项说法错误，不符合题意； D、∵ ， ∴ ，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 解答题 1．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．， ， ， ，，． 有理数集合：{                      } 无理数集合：{                       } 【答案】有理数集合：； 无理数集合：. 【分析】先化简可开方的数，再根据有理数和无理数的定义分类.有理数是整数和分数的统称，包含有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数. 【详解】解：是分数，是有限小数，是有限小数，都符合有理数定义， 以上三个数属于有理数，填入有理数集合； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无限不循环小数，都符合无理数定义， 以上三个数属于无理数，填入无理数集合. 2．在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2；3 (2)3； (3) 【分析】（1）利用夹逼法即可解答； （2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分； （3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， ，； （2）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （3）解：， ，即， 的整数部分， ，即， 的整数部分为，小数部分， ． 3．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 4．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 5．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $