专题06有理数的乘方、混合运算、近似数同步培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方、混合运算与近似数三大核心知识点，构建“新运算引入—运算顺序确立—结果规范处理”的学习支架，乘方明确底数、指数及符号规律并延伸科学记数法，混合运算强调“先乘方再乘除后加减”顺序与运算律应用，近似数则涵盖精确度判断及实际情境取近似值。 资料通过15类题型分层设计，涵盖概念理解、运算应用及实际问题，突出“先定符号再算绝对值”运算主线与“结合情境取近似”结果处理，融入细胞分裂、24点游戏等实例，培养抽象能力、运算能力与应用意识，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识内化。

专题06有理数的乘方、混合运算、近似数同步培优讲义 ✺知识框架 ●乘方 —— 新运算： n 个相同因数相乘记作aⁿ（底数 a、指数 n、幂 aⁿ）；符号规律 "正数恒正、负数奇负偶正、0 得 0"；注意 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 之别；由此引出科学记数法 a×10ⁿ（1≤a<10）表示大数并能还原。 ●混合运算 —— 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；括号优先；同级从左到右；以运算律（交换、结合、分配）简化计算。 ●近似数 —— 结果处理：辨准确数与近似数；四舍五入到哪一位即精确到哪一位；判断各类数的精确度；结合情境取近似（进一、去尾）。 ✅乘方引入新运算，混合运算确立运算顺序，近似数规范结果处理，三者环环相扣。学习时把握两条主线 —— 运算上 "先定符号、再算绝对值、留意括号"，结果上 "看精确数位、合实际情境"。 ✺学习目标 1.理解乘方的意义与符号规律，能正确进行乘方运算；会用科学记数法表示绝对值大于10的数（含负数）并还原。 2.掌握运算顺序，能正确进行含乘方、乘除、加减及括号的混合运算，并运用运算律简化计算。 3.理解精确度，会用四舍五入取近似值、判断各类数的精确度，并结合情境（进一、去尾）解决实际问题。 ✺题型归纳 题型1.有理数幂的概念理解 题型2.有理数的乘方运算 题型3.有理数乘方逆运算 题型4.乘方运算的符号规律 题型5.乘方的应用 题型6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型7.将用科学记数法表示的数变回原数 题型8.程序流程图与有理数计算 题型9.算“24”点 题型10.含乘方的有理数混合运算 题型11.求一个数的近似数 题型12.求近似数的精确度 题型13.近似数推断取值范围 题型14.计算器——有理数 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、乘方 1.定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（n 为正整数）。 2.公式表示：a×a×…×a（n 个）＝aⁿ，读作 "a 的n次方"（或 "a的n次幂"）。 其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果aⁿ叫幂。a¹＝a，指数1通常省略不写；二次方叫平方，三次方叫立方。 3.乘方的运算 乘方运算转化为乘法进行：先确定符号，再计算绝对值。 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是 0。 特殊幂：1ⁿ＝1；(−1)ⁿ 中，n 为奇数时等于−1，n 为偶数时等于 1。 底数为分数时须加括号，如 (−)²＝。 4. (−a)ⁿ 与 −aⁿ 的区别 (−a)ⁿ 表示n个 (−a) 相乘，如 (−2)⁴＝16；−aⁿ 表示aⁿ的相反数，如 −2⁴＝−16。底数为负数或分数时，须用括号括起来再乘方。 5.科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（1≤a<10，n 为正整数），这种记数法叫做科学记数法。负数可类似表示，如 −6500000＝−6.5×10⁶；还原时把 a 的小数点向右移动 n 位。 6.科学记数法的简单运算【培优拓展】 ①两个科学记数法表示的数相乘（除）：系数相乘（除），10 的幂的指数相加（减），结果再化为科学记数法。如 (3×10⁸)×(5×10⁵)＝15×10¹³＝1.5×10¹⁴。 ②相加减：先把10的幂的指数统一，再合并系数。如 3.2×10⁶＋5.2×10⁵＝3.2×10⁶＋0.52×10⁶＝3.72×10⁶。 ③ 注意：结果必须符合 1≤a<10 的形式。 7.乘方的实际情境应用【培优拓展】 ① 增长模型：数量每次翻倍，翻 n 次后变为原来的 2ⁿ 倍，如折纸对折、细胞分裂、拉面拉伸等。 ② 先列乘方表示增长后的数量，再结合科学记数法表示大数。 【易错提醒】 ① 乘方与乘法混淆：aⁿ 表示n个a相乘，如2³＝8，不是 2×3＝6。 ② 符号错误：(−2)²＝4，而 −2²＝−4，二者意义不同。 ③ 科学记数法要求 1≤a<10：如12×10⁵ 不是科学记数法，应改写为 1.2×10⁶。 知识点二、有理数的混合运算 1.运算顺序 ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号时，先算括号里面的，按小、中、大括号依次进行； ③同级运算，从左到右依次进行。 2.运算律的运用 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在有理数范围内仍然成立，可用于简化计算。 3.常用运算技巧 ①先确定符号，再计算绝对值； ②乘除混合运算先统一为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再确定符号、约分； ③运用运算律凑整：互为倒数、互为相反数或能凑成整十、整百的数先结合； ④灵活运用分配律 a (b＋c)＝ab＋ac（正用、逆用）。 4.常见题型与应用 ①"24 点" 游戏：把给定的数用加、减、乘、除（可加括号）运算，每个数用且只用一次，使结果为24； ②运算程序框图、数字规律类问题； ③简单的实际应用问题。 【易错提醒】 ① 运算顺序不能随意调整：如 −3²＋(−2)³÷2＝−9＋(−8)÷2＝−13。 ② 同级运算必须从左到右；除法没有交换律、结合律，须先转化为乘法。 ③ 去括号时注意符号变化，有括号时先算括号内。 ④ 负数乘方易错：−3²＝−9，而 (−3)²＝9。 知识点三、近似数 1.准确数与近似数 准确数：与实际数量完全相符的数，一般由计数或设定得到，没有误差， 如"某班有48名学生"。 近似数：与实际数值接近但不完全相等的数，一般由测量或估算得到，常带"约、大约"等字样。 如"身高 1.57 m"。判断方法：看该数是否与实际情况完全相符，与数的大小无关。 2.精确度与四舍五入 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 常见要求：精确到个位（保留整数）、精确到十分位（0.1）、精确到百分位（0.01）等。 取近似值方法：看精确位的后一位，满5进1，不满5舍去。大数精确到十位、百位、千位时，结果用科学记数法书写，如40353精确到百位约为4.04×10⁴。 3.精确度的判断 普通数：看末位数字所在的数位，如 0.050 精确到千分位。 科学记数法表示的数：还原成原数后判断，如 3.30×10⁵ 精确到千位。 带单位大数：先明确单位对应的数位，如 1.25 万＝12500，精确到百位。 4.计算器的使用 按算式顺序完整输入，有括号须输入括号，确保运算顺序正确；算出精确结果后，再按题目要求四舍五入取近似值。 5.近似数的实际应用 增长率、百分率类问题：先列式计算，再按精确度取近似值。取近似值须结合具体情境，不能机械套用四舍五入：进一法（如21吨货物用载重4吨的车运，21÷4＝5.25，需运 6 次）；去尾法（如1.5米布料裁剪0.4米一段，最多裁3段）。 【易错提醒】 ① 近似数末尾的0不能随意删去：1.60精确到百分位，1.6精确到十分位，精确度不同。 ② 精确到高位的大数须用科学记数法书写，不能直接去掉末位的0。 ③ 判断科学记数法表示的近似数的精确度，应还原原数后看末位所在的数位。 ④ 实际问题取近似值须结合情境（进一、去尾），不能一律四舍五入。 ✺题型精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 2．在中，底数是__________，指数是__________； 【答案】 【详解】解：根据有理数乘方的定义，表示个相乘，其中为底数，为指数 ∵表示个相乘，括号将负号和括为整体，负号属于底数， ∴ 本题中底数是，指数是． 3．下列各式一定成立吗？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 一定成立 (2) 不一定成立 (3) 不一定成立 (4) 不一定成立 【详解】（1）解：一定成立 ∵， ∴对任意实数，恒成立； （2）解：不一定成立 ∵，当时，，仅当时等式成立， ∴该式不一定成立； （3）解：不一定成立 ∵， ∴，， 当时，，等式不成立， ∴该式不一定成立； （4）解：不一定成立 ∵当时，， ∴，此时，等式不成立， ∴该式不一定成立． 题型2.有理数的乘方运算 1．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、，，故，本选项不合题意； B、，，故，本选项不合题意； C、，，故，本选项不合题意； D、，，故，本选项符合题意． 2．计算的结果是_______ ． 【答案】 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型3.有理数乘方逆运算 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 2．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 3．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2） 解：原式． 题型4.乘方运算的符号规律 1．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 2．当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 【答案】 大 2012 【分析】本题考查了平方式的非负性，熟练掌握平方式的非负性是解题的关键．由得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值是2012． 故答案为：；大；2012． 3．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)正，正，负，正，负，正 (2)正，正，既不为正也不为负，正，正 【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数． 【详解】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正； 25为正，故为正； 为负，且9为奇数，故为负； 为负，6为偶数，故为正； -1为负，101为奇数，故为负； 为负，50为偶数，故为正． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数， 0.01为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正； ，0既不是正数也不是负数； 为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正． 【点睛】本题考查了乘方运算符号的规律，熟练掌握正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数且0既不是正数也不是负数是解题的关键． 题型5.乘方的应用 1．一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 【详解】解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 2．《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 3．【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 题型6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一个较大的数用科学记数法表示为的形式，其中，为正整数，的值等于原整数位数减1即可． 【详解】解：． 2．北京故宫的占地面积约为720000平方米，若用科学记数法表示为________平方米． 【答案】 【详解】解：720000平方米平方米． 3．用科学记数法表示下列数据： (1)水星的赤道半径约为； (2)木星的赤道半径约为； (3)地球上的陆地面积约为； (4)地球上的海洋面积约为． 【答案】(1) 解：； (2) 解：； (3) 解：； (4) 解：． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型7.将用科学记数法表示的数变回原数 1．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 2．若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________． 【答案】703000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数转换为原数． 将科学记数法表示的数转换为原数，需将系数乘以10的幂次，即根据指数正负移动小数点位置． 【详解】解：指数5为正数，因此将系数的小数点向右移动5位，得到703000． 故答案为：703000． 3．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2000000 (2)603000 (3) 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法，正确确定a，n的值是解题的关键．科学记数法的表示形式为，n的值为整数，当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，当原数的绝对值小于1时，n为负整数． （1）利用科学记数法的法则解答即可； （2）利用科学记数法的法则解答即可； （3）利用科学记数法的法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的原数为2000000； （2）解：∵， ∴的原数为603000； （3）解：∵， ∴的原数为． 题型8.程序流程图与有理数计算 1．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 【答案】A 【分析】明确运算规则为，判断条件为结果小于，若否则循环计算． 【详解】解：当输入时，， ∵， ∴需将重新代入计算， ∴当时，， ∵， ∴最后输出的结果为． 2．按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 【答案】6 【分析】根据程序规则，将输入的数乘，判断结果符号，若结果为负则重新计算，若结果为正则输出，按照有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意进行计算：， ∵，满足输出条件， ∴输出结果为6． 3．根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 【答案】 ， ∵，， ∴输出的结果为． 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，先计算出的结果，若结果为非负数，则把结果乘以后输出，若结果不是非负数，则直接把结果输出，据此求解即可． 【详解】略 题型9.算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3） 解：抽取、、、，（答案不唯一） 题型10.含乘方的有理数混合运算 1．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：由，得. 2．定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 【答案】 14 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 . 题型11.求一个数的近似数 1．用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 【答案】A 【详解】解：将0.06029精确到十分位，观察百分位数字为6，向十分位进1，得0.1． 2．6045809090读作______________，“四舍五入”到万位的近似数记作________万． 【答案】 六十亿四千五百八十万九千零九十 【详解】6045809090读作六十亿四千五百八十万九千零九十，“四舍五入”到万位的近似数记作604581万． 3．下列各数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？ （1）小琳称得体重为； （2）现在的气温是； （3）等于； （4）某汽车集团去年累计汽车销量为280万辆． 【答案】（1）是近似数． （2）是近似数． （3）等于中的和是准确数． （4）万辆是近似数． 【分析】在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数．根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）体重由称量得到，存在测量误差，所以是近似数． （2）气温由测量得到，存在测量误差，所以是近似数． （3）是长度单位的规定换算关系，数值完全准确， 所以其中的1和100是准确数． （4）280万辆是汽车销量近似到万位的统计结果，与实际销量存在偏差， 所以280万辆是近似数． 题型12.求近似数的精确度 1．近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 【答案】C 【分析】判断带计数单位的近似数的精确度，需先将带单位的近似数还原为不带单位的原数，再观察最后一位有效数字所在的数位，即可得到近似数精确到的数位． 【详解】解：万，85000中最后一位有效数字“”位于千位， 则近似数万精确到千位． 2．响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 3．小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 【答案】解：不相同．理由如下： 小明测得，是精确到百分位；小刚测得，是精确到十分位， 因为两人测量结果的精确度不同，所以两人测得的结果不相同． 【分析】根据测量的精确度解答即可． 【详解】略 题型13.近似数推断取值范围 1．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 2．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 【答案】 【分析】分“四舍”和“五入”两种情况讨论近似数，“四舍”得到的近似数比原数小，对应原数的最大值；“五入”得到的近似数比原数大，对应原数的最小值． 【详解】解：若原数是通过“四舍”得到近似值，则原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需小于，千分位最大取，因此最大原数为； 若原数是通过“五入”得到近似值，则进位后得到，原三位小数的十分位是，百分位是，千分位需大于等于，千分位最小取，因此最小原数为． 3．计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这11个数的和，进而根据平均数的含义，求出正确的答案．因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以即可得到答案． 【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数； 又因为，， 所以可以知道这个自然数的和一定是， ； 答：正确答案应该是． 题型14.计算器——有理数 1．利用课本上的计算器进行计算．其按键顺序如下： 则输出的结果是（    ） A．10 B．12 C．15 D．25 【答案】A 【分析】本题考查的是计算器的使用，有理数的混合运算，根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意得： 故选：A． 2．用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据按键顺序列出式子，计算即可，熟知科学计算器，熟练进行运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可列出式子， 故答案为：． 3．用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． ✺课堂小练 一、单选题 1．2026年月，我国新能源汽车出口约1830000辆，将1830000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将1830000用科学记数法表示为． 2．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 4．下列说法正确的是（   ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据有理数乘方运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 有理数0的平方为0，不是正数，原说法不正确，本选项不符合题意； B. 正数的立方为正数，0的立方为0，负数的立方为负数，原说法不正确，本选项不符合题意； C.因为，，所以，正确，本选项符合题意； D. 为负值，为正值，故，原说法不正确，本选项不符合题意． 故选：C． 5．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 二、填空题 6．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 7．一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 【答案】 4 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据，即可得． 【详解】解：∵，， ∴一个数的平方等于64，那么这个数是；一个数的立方等于64，那么这个数是4． 故答案为：；4． 8．【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论得到近似数的原数，四舍得到近似数时原数更大，五入得到近似数时原数更小，分别确定最大和最小的三位小数即可． 【详解】解：求保留两位小数得到的三位小数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论： 若为“四舍”得到，说明千分位上的数小于，舍去后得到，千分位最大取， 因此最大的三位小数是， 若为“五入”得到，说明千分位上的数大于或等于，进后得到，原来的百分位为，千分位最小取， 因此最小的三位小数是． 9．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意可得（答案不唯一）． 三、解答题 10．计算下面各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查了有理数的乘方应用，先理解题意，得里面有6个，根据每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，里面有6个， ∵每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个． ∴， 即1个细胞经过能分裂成个． 12．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 【答案】(1)小王加工的轴不合格， 理由如下： 图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格； (2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是 【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． （1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格； （2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】（1） 略 （2）解：近似数的要求是精确到， 所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是． 13．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 14．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 【答案】(1)①7；②206 (2)或 【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； ②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可； （2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由题意知，， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方、混合运算、近似数同步培优讲义 ✺知识框架 ●乘方 —— 新运算： n 个相同因数相乘记作aⁿ（底数 a、指数 n、幂 aⁿ）；符号规律 "正数恒正、负数奇负偶正、0 得 0"；注意 (−a)ⁿ 与 −aⁿ 之别；由此引出科学记数法 a×10ⁿ（1≤a<10）表示大数并能还原。 ●混合运算 —— 运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；括号优先；同级从左到右；以运算律（交换、结合、分配）简化计算。 ●近似数 —— 结果处理：辨准确数与近似数；四舍五入到哪一位即精确到哪一位；判断各类数的精确度；结合情境取近似（进一、去尾）。 ✅乘方引入新运算，混合运算确立运算顺序，近似数规范结果处理，三者环环相扣。学习时把握两条主线 —— 运算上 "先定符号、再算绝对值、留意括号"，结果上 "看精确数位、合实际情境"。 ✺学习目标 1.理解乘方的意义与符号规律，能正确进行乘方运算；会用科学记数法表示绝对值大于10的数（含负数）并还原。 2.掌握运算顺序，能正确进行含乘方、乘除、加减及括号的混合运算，并运用运算律简化计算。 3.理解精确度，会用四舍五入取近似值、判断各类数的精确度，并结合情境（进一、去尾）解决实际问题。 ✺题型归纳 题型1.有理数幂的概念理解 题型2.有理数的乘方运算 题型3.有理数乘方逆运算 题型4.乘方运算的符号规律 题型5.乘方的应用 题型6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型7.将用科学记数法表示的数变回原数 题型8.程序流程图与有理数计算 题型9.算“24”点 题型10.含乘方的有理数混合运算 题型11.求一个数的近似数 题型12.求近似数的精确度 题型13.近似数推断取值范围 题型14.计算器——有理数 题型15.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、乘方 1.定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方（n 为正整数）。 2.公式表示：a×a×…×a（n 个）＝aⁿ，读作 "a 的n次方"（或 "a的n次幂"）。 其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果aⁿ叫幂。a¹＝a，指数1通常省略不写；二次方叫平方，三次方叫立方。 3.乘方的运算 乘方运算转化为乘法进行：先确定符号，再计算绝对值。 符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是 0。 特殊幂：1ⁿ＝1；(−1)ⁿ 中，n 为奇数时等于−1，n 为偶数时等于 1。 底数为分数时须加括号，如 (−)²＝。 4. (−a)ⁿ 与 −aⁿ 的区别 (−a)ⁿ 表示n个 (−a) 相乘，如 (−2)⁴＝16；−aⁿ 表示aⁿ的相反数，如 −2⁴＝−16。底数为负数或分数时，须用括号括起来再乘方。 5.科学记数法 定义：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（1≤a<10，n 为正整数），这种记数法叫做科学记数法。负数可类似表示，如 −6500000＝−6.5×10⁶；还原时把 a 的小数点向右移动 n 位。 6.科学记数法的简单运算【培优拓展】 ①两个科学记数法表示的数相乘（除）：系数相乘（除），10 的幂的指数相加（减），结果再化为科学记数法。如 (3×10⁸)×(5×10⁵)＝15×10¹³＝1.5×10¹⁴。 ②相加减：先把10的幂的指数统一，再合并系数。如 3.2×10⁶＋5.2×10⁵＝3.2×10⁶＋0.52×10⁶＝3.72×10⁶。 ③ 注意：结果必须符合 1≤a<10 的形式。 7.乘方的实际情境应用【培优拓展】 ① 增长模型：数量每次翻倍，翻 n 次后变为原来的 2ⁿ 倍，如折纸对折、细胞分裂、拉面拉伸等。 ② 先列乘方表示增长后的数量，再结合科学记数法表示大数。 【易错提醒】 ① 乘方与乘法混淆：aⁿ 表示n个a相乘，如2³＝8，不是 2×3＝6。 ② 符号错误：(−2)²＝4，而 −2²＝−4，二者意义不同。 ③ 科学记数法要求 1≤a<10：如12×10⁵ 不是科学记数法，应改写为 1.2×10⁶。 知识点二、有理数的混合运算 1.运算顺序 ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号时，先算括号里面的，按小、中、大括号依次进行； ③同级运算，从左到右依次进行。 2.运算律的运用 加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在有理数范围内仍然成立，可用于简化计算。 3.常用运算技巧 ①先确定符号，再计算绝对值； ②乘除混合运算先统一为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数），再确定符号、约分； ③运用运算律凑整：互为倒数、互为相反数或能凑成整十、整百的数先结合； ④灵活运用分配律 a (b＋c)＝ab＋ac（正用、逆用）。 4.常见题型与应用 ①"24 点" 游戏：把给定的数用加、减、乘、除（可加括号）运算，每个数用且只用一次，使结果为24； ②运算程序框图、数字规律类问题； ③简单的实际应用问题。 【易错提醒】 ① 运算顺序不能随意调整：如 −3²＋(−2)³÷2＝−9＋(−8)÷2＝−13。 ② 同级运算必须从左到右；除法没有交换律、结合律，须先转化为乘法。 ③ 去括号时注意符号变化，有括号时先算括号内。 ④ 负数乘方易错：−3²＝−9，而 (−3)²＝9。 知识点三、近似数 1.准确数与近似数 准确数：与实际数量完全相符的数，一般由计数或设定得到，没有误差， 如"某班有48名学生"。 近似数：与实际数值接近但不完全相等的数，一般由测量或估算得到，常带"约、大约"等字样。 如"身高 1.57 m"。判断方法：看该数是否与实际情况完全相符，与数的大小无关。 2.精确度与四舍五入 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 常见要求：精确到个位（保留整数）、精确到十分位（0.1）、精确到百分位（0.01）等。 取近似值方法：看精确位的后一位，满5进1，不满5舍去。大数精确到十位、百位、千位时，结果用科学记数法书写，如40353精确到百位约为4.04×10⁴。 3.精确度的判断 普通数：看末位数字所在的数位，如 0.050 精确到千分位。 科学记数法表示的数：还原成原数后判断，如 3.30×10⁵ 精确到千位。 带单位大数：先明确单位对应的数位，如 1.25 万＝12500，精确到百位。 4.计算器的使用 按算式顺序完整输入，有括号须输入括号，确保运算顺序正确；算出精确结果后，再按题目要求四舍五入取近似值。 5.近似数的实际应用 增长率、百分率类问题：先列式计算，再按精确度取近似值。取近似值须结合具体情境，不能机械套用四舍五入：进一法（如21吨货物用载重4吨的车运，21÷4＝5.25，需运 6 次）；去尾法（如1.5米布料裁剪0.4米一段，最多裁3段）。 【易错提醒】 ① 近似数末尾的0不能随意删去：1.60精确到百分位，1.6精确到十分位，精确度不同。 ② 精确到高位的大数须用科学记数法书写，不能直接去掉末位的0。 ③ 判断科学记数法表示的近似数的精确度，应还原原数后看末位所在的数位。 ④ 实际问题取近似值须结合情境（进一、去尾），不能一律四舍五入。 ✺题型精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 2．在中，底数是__________，指数是__________； 3．下列各式一定成立吗？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2.有理数的乘方运算 1．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．计算的结果是_______ ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3.有理数乘方逆运算 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 2．若，则________． 3．已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 题型4.乘方运算的符号规律 1．下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 2．当___________时，有最___________值（填“大”或“小”）是___________． 3．你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 题型5.乘方的应用 1．一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 2．《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 3．【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 题型6.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．2024年，长沙在全球科技集群百强榜中跃升至第位，在全球科研城市排名中升至第位，人才总量达到．人才总量数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．北京故宫的占地面积约为720000平方米，若用科学记数法表示为________平方米． 3．用科学记数法表示下列数据： (1)水星的赤道半径约为； (2)木星的赤道半径约为； (3)地球上的陆地面积约为； (4)地球上的海洋面积约为． 题型7.将用科学记数法表示的数变回原数 1．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 2．若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________． 3．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ (1)； (2)； (3)． 题型8.程序流程图与有理数计算 1．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是多少？（     ） A． B．11 C． D． 2．按程序输入数，先乘，若结果为负，再将此结果乘，直到结果为正输出，则输出结果为______________． 3．根据如图的流程图，完成下列各题： 如果输入x的值是，那么输出的数是多少？请写出计算过程． 题型9.算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 题型10.含乘方的有理数混合运算 1．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型11.求一个数的近似数 1．用四舍五入法将0.06029精确到十分位，得到的是（     ） A．0.1 B．0.060 C．0.06 D．0.0603 2．6045809090读作______________，“四舍五入”到万位的近似数记作________万． 3．下列各数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？ （1）小琳称得体重为； （2）现在的气温是； （3）等于； （4）某汽车集团去年累计汽车销量为280万辆． 题型12.求近似数的精确度 1．近似数万精确到（   ）位． A．十 B．十分位 C．千 D．万 2．响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 3．小明和小刚测量同一根铜管的长，用四舍五入法记录测得的结果，小明测量结果的记录是，小刚测量结果的记录是．这两个测量结果是否相同？为什么？ 题型13.近似数推断取值范围 1．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 2．一个三位小数保留两位小数的近似值是，这个小数在“四舍五入”前最大是______，最小是______． 3．计算11个自然数的平均数（保留两位小数），算出，最后一位错了，正确的平均数是多少？ 题型14.计算器——有理数 1．利用课本上的计算器进行计算．其按键顺序如下： 则输出的结果是（    ） A．10 B．12 C．15 D．25 2．用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为______． 3．用计算器计算（精确到十分位）： (1)； (2)； (3)． ✺课堂小练 一、单选题 1．2026年月，我国新能源汽车出口约1830000辆，将1830000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 4．下列说法正确的是（   ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 5．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 二、填空题 6．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 7．一个数的平方等于64，那么这个数是___________；一个数的立方等于64，那么这个数是___________． 8．【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 9．你会玩“24点”游戏吗？规则：任取四个整数（每个数用且只能用一次，可以加括号）进行加、减、乘、除四则运算，算其结果等于24或．现在四个数分别是、、3、5，请根据规则写出结果为24或的等式__________________ 三、解答题 10．计算下面各题： (1)； (2) 11．一种细胞，每经过分裂一次，每次每个细胞分裂成2个．那么，1个细胞经过能分裂成多少个？ 12．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因； (2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ 13．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 14．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学： A：乘2 B：减 C：平方 D：加6 (1)列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ (2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $