2.2.1 有理数的乘法（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦有理数乘法运算律（交换律、结合律、分配律）及多个有理数相乘的“奇负偶正”符号规律，通过复习有理数乘法法则，衔接小学乘法运算律，引导学生探究运算律在有理数范围的适用性，搭建旧知到新知的学习支架。 资料以“算一算—比一比—归纳律”活动让学生验证运算律，通过负因数个数实验总结符号规律，培养推理意识与抽象能力（符号意识）。例题涵盖分配律逆用、凑整简算等梯度练习，提升运算能力。助力教师高效教学，帮助学生理解知识本质，发展数学思维。

2.2.1 有理数的乘法（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本课为人教版七年级上册第二章《有理数的运算》2.2 有理数的乘法与除法2.2.1 有理数的乘法（第2课时）。核心知识点： 1.有理数乘法的交换律、结合律、分配律 2.多个有理数相乘的符号规律——“奇负偶正” 3.运算律在有理数范围内的验证与推广。 2.内容解析 本节课在学生已掌握“同号得正、异号得负”和“任何数与0相乘得0”的基础上，进一步探究乘法运算律在有理数中的普适性。通过“算一算—比一比—归纳律”让学生直观验证 、 及 ，体会从整数到有理数的类比思想，并借助交换、结合律实现“凑整”“分组”简算。随后借用“负因数个数与积的符号”实验，总结“奇负偶正”，解决连乘符号判断这一运算难点。知识价值在于：一方面为后续幂运算、整式乘除奠基；另一方面提升学生运算优化与符号快速判断的能力。教学重点放在运算律的掌握与灵活应用，难点是分配律的逆用及“奇负偶正”规律的理解和迁移。 1.教学目标 •理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律，能运用运算律进行简便计算。 •掌握多个有理数相乘的符号规律（奇负偶正），能正确确定多个有理数相乘的积的符号。 •经历运算律在有理数范围内的验证过程，体会从特殊到一般的归纳思想和类比思想。 2.目标解析 •面对 ，能先判定 3 个负因数为奇数→积为负，进而完成运算。 •在小组探究中能够举例验证 ，写出文字归纳，说明“整数→有理数”推广理由，并在新题中主动类比使用。 3.重点难点 • 教学重点：①有理数乘法三大运算律的掌握与迁移应用②“奇负偶正”符号规律的正确判断。 • 教学难点：①分配律的逆向提取与综合运用（如凑系数、提公因式）②符号规律与运算律结合进行复杂连乘、混合运算的简化。 七年级学生已学习正负数意义及乘法法则，且具备整数范围内运算律的经验，但对符号处理的敏感度不足，往往“看到负号就慌”“凑整意识弱”。他们喜欢直观、操作性强的活动，逻辑抽象能力正处于由具体形象思维向初步抽象思维过渡阶段。本课宜通过计算对比、表格记录、符号计数等活动，让学生在具体算例中发现共性，再上升到符号化规律。预计： 易错点——漏换符号、忘记整体因数移动时同时移动负号； 易学点——交换、结合律的“凑整”简算； 难学点——分配律的逆用与多个符号同时变化的跟踪。教学中应多提供对照练习、分步提示及口算训练，帮助学生逐步克服。 创设情景，引入新课 旧知复习： 教师提问：有理数乘法法则是什么？ 学生回答：有理数乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②任何数与0相乘都得0 教师提问：利用有理数乘法法则完成下列题目. 学生回答：（1）(－3)×4＝_-12__ （2）(－5)×(－2)＝__10__ （3） (－)×(－4)＝__2__ 新课引入 在小学，我们学过乘法的交换律、结合律和分配律，你还记得这些运算律的具体内容吗？ 乘法交换律 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加. 在有理数范围内，这些运算律还成立吗？具体我们就一起来学习——有理数的乘法运算律. 【设计意图】通过复习旧知，调动课堂气氛，为新知探究埋下伏笔。 探究一：有理数乘法运算律 1.新知探究 计算下列式子，所得的积相同吗？ ①5×(－6)＝_-30_，(－6)×5＝_-30__ ②3×(－2)＝_-6__，(－2)×3＝__-6__ ③×(－12)＝_-4_，(－12)× ＝__-4__ 教师提问：以上每组式子的计算结果都相同，由此你能发现什么？ 学生回答：乘法交换律在有理数的运算中同样成立. 2.新知归纳 ◎乘法交换律 一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 乘法交换律：ab＝ba. 注：a×b也可以写为a·b或ab。 当用字母表示乘数时，"×"可以写为"·"或省略。 若是数字表示，则不能改写或省略，如2×5就不能改写，也不能省略符号 ◎乘法结合律 类似地，可以发现有理数的乘法结合律仍然成立. 即三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 乘法结合律：(ab)c＝a(bc). 乘法交换律和结合律可以推广到多个有理数相乘： 三个或三个以上不为0的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等。 如：[7×(−6)]×5 =7×[(−6)×5] =7×5 × (−6) 在运用乘法交换律交换因数的位置时，要连同性质符号一起交换。 3.探究思考 计算下列式子，所得的结果相同吗？ ①5×[3＋(－7)]＝_5×(－4)__＝_-20_； 5×3＋5×(－7)＝__15＋(－35)___＝_-20_. ②7×[6＋(－5)]＝__7×1__＝_7_； 7×6＋7×(－5)＝__42＋(－35)___＝_7_. ③0.5×[4＋(－10)]＝_0.5× (－6)__＝_-3_； 0.5×4＋0.5×(－10)＝_2＋(－5)__＝_-3_. 教师提问：以上每组式子的计算结果都相同，由此你能发现什么？ 学生回答：乘法分配律在有理数的运算中同样成立. 4.知识小结 ◎乘法分配律 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ◎分配律推广 分配律也可以推广到一个不为0的有理数同多个有理数的和相乘 即a(b＋c＋…＋m)＝ab＋ac＋…＋am. ◎有理数乘法运算律 交换律：ab＝ba → 交换因数位置，积不变 结合律：(ab)c＝a(bc) → 改变相乘顺序，积不变； 分配律：a(b＋c)＝ab＋ac → 一个数乘和等于分别相乘再相加。 交换律、结合律、分配律等运算律在运算中有重要作用，它们是解决许多数学问题的基础。 5.新知巩固 利用运算律进行简便计算． （1）()×24 （2）()×24 【分析】利用乘法分配律把括号内每一项分别乘 24，避开通分实现简便计算. 解：（1）()×24 =×24+×24−×24 =8+6−1=13 （2）()×24 =×24+×24 =16+4=20 6.例题讲解 计算（1）计算 2×3×0.5×(−7)； （2）用两种方法计算 (+−)×12。 【分析】第 (1) 小题运用乘法交换律、结合律凑整简便运算；第 (2) 小题分别用先算括号和乘法分配律两种方法完成计算. 解：（1） 2×3×0.5×(−7) =(2×0.5)×[3×(−7)] =1×(−21) =−21. （2）解法 1: (+−)×12 =(+−)×12 →先计算括号内的式子 =−×12=−1 解法 2: (+−)×12 =×12+×12−×12 →利用乘法分配律进行计算 =3+2−6=−1 【设计意图】通过“先算后算比一比”的体验式活动，让学生亲历“特殊→一般→符号化”的知识生成过程，培养归纳、类比思维。 探究二：多个有理数相乘的符号规律 1.新知探究 改变例3（1）的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子。观察这些式子，它们的积是正的还是负的？ ① 2×3×(－0.5)×(－7)， ② 2×(－3)×(－0.5)×(－7)， ③ (－2)×(－3)×(－0.5)×(－7)。 解：① 有2个负因数（偶数），积为正： 2×3×0.5×7＝21； ② 有3个负因数（奇数），积为负： －(2×3×0.5×7)＝－21； ③ 有4个负因数（偶数），积为正： 2×3×0.5×7＝21。 教师总结：一个式子中的负因数的个数与它的结果的正负有关. 2.知识小结 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？如果有乘数为0，那么积有什么特点？ ①几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数； 负因数的个数是奇数时，积为负数。 ② 几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0. 口诀：奇负偶正 3.新知巩固 下列式子中的运算结果为正还是为负？ （1） （2） （3）(−2020)×(−2021)×2×(−2022)×0×(−2023) 【分析】通过数负因数的个数判断乘积符号，算式中含有因数 0 时，乘积直接得 0. 解：（1）有 3 个负因数（奇数），积为负； （2）有 2 个负因数（偶数），积为正； （3）含有因数0，由此结果为0 4.题型探究 ①题型一：巧用乘法运算律简化运算 计算:25×0.125×(−4)×()×(−8)×1. 解题思路：确定积的符号→各因数绝对值相乘→乘积为整数的因数结合在一起→计算求值 解: 25×0.125×(−4)×()×(−8)×1→确定积的符号 =−25×0.125×4××8×→运用乘法交换律、结合律 =−(25×4)×(0.125×8)×(×) =−100×1×1 =−100. 计算.（1）(−3)×(−)×(−)×(−) （2）(−10)×(−)×|−|×(−0.1)×6× 解：（1）(−3)×(−)×(−)×(−) =3××× =(3×)×(×) =1×4=4 （2）(−10)×(−)×|−|×(−0.1)×6× =(−10)×(−)××(−0.1)×6× =−(10×0.1×××6×) =−(1××6×)=− ②题型二：绝对值与加减综合 若 |a|=4，|b|=2，且 |a+b|=−(a+b)，求 a−b 的值。 解析：由 |a|=4 得 a=±4，由 |b|=2 得 b=±2； 由 |a+b|=−(a+b) 得 a+b≤0。 所以 a=−4，b=2 或 a=−4，b=−2。 当 a=−4，b=2 时，a−b=−4−2=−6； 当 a=−4，b=−2 时，a−b=−4−(−2)=−2。 所以 a−b 的值为 −6 或 −2。 ③题型三：应用分配律简化运算 (−36)×(−+−). 思路分析：运用乘法分配律，把(-36)分别乘括号内每一项，约分后再做加减运算实现简便计算. 解: (−36)×(−+−) →用分配律展开 =(−36)×(−)+(−36)×+(−36)×(−) =16−30+21 =7. 计算：−9×62； 思路引导： 带分数拆分成整数和分数的和或差 解： −9×62 =−(10−)×62 →拆项 =−(10×62−×62) →用分配律展开 =−(620−2) =−618. ④题型四：逆用分配律化简运算 计算:(−47.65)×2+37.15×2+10.5×(−7). 解: (−47.65)×2+37.15×2+10.5×(−7) =[(−47.65)+37.15]×2+10.5×(−7) →逆用分配律 =(−10.5)×2+10.5×(−7) →先算括号内的 =(−10.5)×(2+7) →逆用分配律 =(−10.5)×10 =−105. 计算：(−+)×(−36)+(−24)×0.375+24×． 解：原式=×(−36)−×(−36)+×(−36)+24×(−)+24× =−20+27−2+24×(−+) =5+24×1 =5+24 =29 【设计意图】精选与教材一致的例题，让学生体会“运算律=计算利器”，形成方法迁移的内驱力。 1．计算：（1）(−4)×15×(−)；（2）(−12.5)×(−8)×(−0.5)． 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）解：原式=4×15× =4×9 =36； （2）解：原式=−12.5×8×0.5 =−100×0.5 =−50． 2.计算： （1）(−)×(−)×(−)； （2）−0.75×(−0.4)×1； 解：（1）(−)×(−)×(−) =−×× =−； （2）−0.75×(−0.4)×1 =××=； 3.利用运算律进行简便计算.（1） （2） 【分析】(1) 利用乘法结合律优先约分简化连乘；(2) 利用乘法分配律展开，避开分数通分计算. （1） =24×() =24× =10 （2） =36×+36×+36× =9+6+4 =19 4.用简便方法计算： （1）(−8)×(−12)×(−0.125)×(−)×(−0.1)． （2）(−5.25)×(−4.73)−4.73×(−19.75)+25×(−14.73) 解：（1）原式=−(8×0.125)×(12×)×0.1 =−1×4×0.1=−0.4； （2）(−5.25)×(−4.73)−4.73×(−19.75)+25×(−14.73) =(−5.25−19.75)×(−4.73)+25×(−14.73) =(−25)×(−4.73)+25×(−14.73) =25×(4.73−14.73) =25×(−10)=−250． 【设计意图】围绕“运算律+符号规律”两条主线设置梯度练习，先从直接应用到综合混合，保证每名学生都能在“最近发展区”内完成巩固。 主板书 2.2.1 有理数的乘法（第2课时） 探究一：有理数乘法运算律 探究二：多个有理数相乘的符号规律 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $