2.1.2 有理数的减法（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦“有理数的减法（第1课时）”，通过复习有理数加法运算律，结合“北京温差”情境引入3 - (-3)的计算需求，以数轴、温度计为直观支架，衔接学生已掌握的加法、相反数知识，构建从旧知到新知的学习脉络。 亮点在于以“逆运算”为核心推导法则，通过温度计观察与多组对比计算（如0 - (-3)与0 + 3）归纳“两变一不变”，培养推理意识与几何直观。设置数轴距离、微信账单等实际问题，强化符号意识与模型意识，助力学生理解本质，也为教师提供梯度化教学资源，提升课堂效率。

2.1.2 有理数的减法（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自人教版义务教育教科书《数学》七年级上册章节位置：第二章“有理数的运算”，知识点：2.1 有理数的加法与减法——2.1.2 有理数的减法（第1课时） 2.内容解析 本节课通过“北京一天的温差”情境，引出 的计算需求，借助数轴直观与“减法是加法的逆运算”原理，推导出有理数减法法则：。在转化过程中强调“两变一不变”（符号由“−”变“+”；减数取相反数；被减数保持不变），并通过多组对比计算与数轴距离问题，总结“两数相减时差的符号规律”：；；。教学重点放在运算转化与符号判断，难点在于学生对“逆运算”本质的理解和运用法则解决实际问题的迁移。 1.教学目标 •能熟练运用“减去一个数等于加上该数的相反数”进行两个有理数的减法运算，做到“两变一不变”的规范转化。 •理解两数相减时差的符号规律，能用减法解决温差、数轴距离等实际情境问题。 •经历从情境提出、逆运算推导到法则归纳的过程，体会转化思想与归纳思想。 2.目标解析 •口头或书面能将任意 正确写成 ，并在练习中准确计算 ≥90%。 •能根据大小判断符号；能独立完成温差、数轴距离2类实际问题。 3.重点难点 • 教学重点：有理数减法法则的推导与“两变一不变”运用。 • 教学难点：逆运算思想的理解及其在多情境中的迁移应用。 已有基础：学生已掌握整数、小数、分数的减法及有理数加法法则，能在数轴上表示有理数，理解“相反数”概念。 认知特点：七年级学生具备直观感知与初步抽象能力，乐于接受数轴、温度计等直观材料。 可能障碍： 容易机械记忆 ）而忽视“逆运算”本质； 将“减负数等于加正数”与符号运算混淆； 在文字情境中提取“被减数”“减数”并正确列式存在困难。 教学对策：充分利用数轴模型与温差实例建立直观联系；设计对比练习强化“两变一不变”；通过小组探究与概念再造，帮助学生实现由“操作性理解”向“本质性理解”的过渡。 创设情景，引入新课 旧知复习 教师提问：上节课我们学习了有理数的加法运算律，谁能说一说有理数的加法运算律是什么？ 学生回答： 加法交换律 文字：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变. 字母：a+b=b+a 加法结合律 文字：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 字母：(a+b)+c=a+(b+c) 两者常用来分组凑整、简便计算 新课引入 教师提问：实际问题中有哪些涉及到有理数减法？下面我们一起看看. 学生回答：北京某一天的气温是－3～3 ℃，计算这一天的温差就要计算 3－(－3). 教师提问：3－(－3)的结果是多少？应该如何得到？ 在有理数范围内，减法应该如何计算？这就是我们今天要研究的内容. 【设计意图】借助生活化情境激活旧知，引出“减去负数”等陌生运算形式，激发学习兴趣。 探究一：有理数减法法则的推导 1.探究讨论 探究：3－(－3)的结果是多少？应该如何得到？ 观察温度计，3 ℃比－3 ℃高多少摄氏度？ 从温度计上可以看出3－(－3)=6，这个结果除了从温度计上观察还能怎样得到呢？ 计算3－(－3)，即求一个数，使得它与－3 相加得 3。 教师总结：减法是加法的逆运算。在把减法推广到有理数范围内时，规定有理数的减法与加法之间仍具有上述关系。 2.新知探究 3－(－3)=6的推导： 因为 6 与－3 相加得 3，所以这个数应该是 6，即： 3－(－3)＝6① 另一方面，我们知道：3＋(＋3)＝6② 由①②，得：3－(－3)＝3＋(＋3)③（将减法转化为加法） 教师总结：由此可推测，有理数的减法可以转化为它的逆运算，即转化为有理数的加法. 3.思考讨论 ①从③式能看出减－3 相当于加哪个数吗？把 3 分别换成 0，－1，－5，用上面的方法考虑：0－(－3)，(－1)－(－3)，(－5)－(－3).这些数减－3 的结果与它们加＋3 的结果相同吗？ 解：减－3 相当于加＋3. 验证：0－(－3)＝3，0＋(＋3)＝3 → 结果相同 (－1)－(－3)＝2，(－1)＋(＋3)＝2 → 结果相同 (－5)－(－3)＝－2，(－5)＋(＋3)＝－2 → 结果相同 ②计算 9－8，9＋(－8)，15－7，15＋(－7)，从中又有什么新发现？ 解：9－8＝1，9＋(－8)＝1 → 结果相同 15－7＝8，15＋(－7)＝8 → 结果相同 教师总结：可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行. 4.总结概括 有理数减法法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数. 字母表示：a－b＝a＋(－b). 显然，两个有理数相减，差是一个有理数。 注：将减法转化为加法时，要注意"两变一不变" ①“两变”：运算符号“－”变成“＋”，减数变成它的相反数； ②"一不变"：被减数不变。 5.例题讲解 (1) (−3)−(−5)； (2) 0−7； (3) 2−5； (4) 7.2−(−4.8)； (5) (−3)−5． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数. 解：(1) (−3)−(−5)=(−3)+5=2 (2) 0−7=0+(−7)=−7; (3) 2−5=2+(−5)=−3; (4) 7.2−(−4.8)=7.2+4.8=12; (5) (−3)−5=(−3)+(-5)=−8. 6.新知探究 有理数减法的三种常见情况： ① 0 减去一个数等于这个数的相反数； 如 0－5＝0＋(－5)＝－5； ② 减去一个负数等于加上一个正数 如 3－(－5)＝3＋(＋5)＝8； ③ 减去一个正数等于加上一个负数 如 3－5＝3＋(－5)＝－2. 【设计意图】通过“现实问题→逆运算→符号推理→多例验证→归纳”，培养转化与归纳的思想方法。 探究二：两数相减时差的符号规律 1.探究讨论 在小学，只有当 a 大于或等于 b 时（其中a，b是 0 或正数），我们才能计算 a－b（如 2－1，1－1）。现在，当 a 小于b 时，你能计算 a－b（如 1－2，(－1)－1）吗？ 解：1－2＝1＋(－2)＝－1 (－1)－1＝(－1)＋(－1)＝－2 （减号变成加号） 教师总结：在有理数范围内，较小的数减去较大的数是可以计算的，且依旧满足减去一个数等于加上这个数的相反数这个规律. 2.知识小结 两数相减时差的符号： ① 较大的数－较小的数＝正数 即若 a＞b，则 a－b＞0； ② 较小的数－较大的数＝负数 即若 a＜b，则 a－b＜0； ③ 相等的两个数的差为 0 即若 a＝b，则 a－b＝0。 3.知识巩固 计算：(1)0−(+1)； (2)(+4.5)−(−2.8)； (3)−−(+)； (4)−1−(−). 【分析】0减去一个数等于这个数的相反数； 减去一个负数等于加上一个正数； 减去一个正数等于加上一个负数. 解：(1)0−(+1)=0+(−1)=−1. (2)(+4.5)−(−2.8)=(+4.5)+(+2.8)=7.3. (3)−−(+)=−+(−)=−(+)=−(+)=−. (4)−1−(−)=−+(+)=0. 【设计意图】补齐学生在整数阶段形成的“差一定非负”旧观念，帮助正确判断差的符号。 1.下列计算正确的是（     ） A．−7−(−2)=5 B．(−3.6)−(+5.4)=1.8 C．(−)−(−)=− D．4−(−5)=−1 【分析】利用有理数减法法则将减法转化为加法，逐个验算选项选出正确答案. 解：A、−7−(−2)=−7+2=−5，原式计算错误，不符合题意； B、(−3.6)−(+5.4)=−9，原式计算错误，不符合题意； C、(−)−(−)=−+=−，计算正确，符合题意； D、4−(−5)=4+5=9，原式计算错误，不符合题意． 2．计算： （1）5.6−(−3.2)； （2）(+)−[(−2)−(−)]； （3）1−(+1)−(−)−(+)． 解：（1）原式=5.6+3.2=8.8； （2）原式=−(−2+)=−(−)=+=2； （3）原式=1+(−1)++(−)=[1+(−1)+]+(−)=0+(−)=−． 3．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，−2，5且AO=BO，则BC=________．   【分析】先由数轴上两点间距离公式可得AO=2，即BO=2，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，−2，5， ∴AO=|0−(−2)|=2， ∵AO=BO， ∴BO=2， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴BC=|5−2|=3． 4.如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是−2，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． （1）求A、B两点之间的距离． （2）当t=1时，求P、Q两点之间的距离． 解：（1）∵点A对应的数是−2，点B对应的数是10， ∴A，B两点之间的距离为|−2−10|=12； （2）当t=1时，点P对应的数为−2+4×1=2 点Q对应的数为10+1×1=11， ∴P，Q两点之间的距离为|2−11|=9. 5.一箱苹果重40千克，第一天吃了它的，第二天吃了千克；则还剩________千克． 【分析】本题考查了考查有理数乘法和减法的实际应用，根据第一天吃了它的，第二天吃了千克，列式40−40×−计算即可. 解：根据题意：40−40×− =40-8− =32− =31（千克）． 6.小薇汇总了近一周微信账单的每日收支（规定收入记为正，支出记为负），数据如下： （1）这一周中，星期______收入最多，星期______支出最多，这两天的收支差额是______元； （2）计算这一周的收支总额． 解：（1）收入最多即数据中的最大值，为星期二的+256元； 支出最多即数据中的最小值，为星期一的−300元； 这两天的收支差额是256−(−300)=256+300=556（元）． 故答案为：二，一，556； （2）解：−300+256+(−196)+(−36)+86+(−89)+9 =256+86+9−300−196−36−89 =351−621 =−270（元）． 【设计意图】题目按“计算—选择—综合—应用”梯度安排，覆盖法则运用、符号规律、数轴距离及生活化题型；全面对应学情差异：前两类适合基础、后三类兼顾拓展；练习后即时订正，确保“两变一不变”熟练迁移。 主板书 2.1.2 有理数的减法（第1课时） 探究一：有理数减法法则的推导 探究二：两数相减时差的符号规律 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后练习题。 学科网（北京）股份有限公司 $