专题04 乘法公式与整式的除法（题型专练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 以“考点-题型”双维度构建训练体系，聚焦乘法公式与整式除法的运算规律及几何应用，通过分层题型实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |乘法公式|7类题型（含几何应用、变形求值）|覆盖公式直接运算、几何直观验证、字母系数求解，突出公式逆用与变形|从平方差到完全平方公式，由代数运算延伸至几何意义，构建“运算-变形-应用”逻辑链| |整式除法|7类题型（含幂的混合运算）|包含同底数幂除法、零指数幂及整式四则混合运算，强调法则综合应用|遵循“幂的运算→单项式除法→多项式除法”递进关系，夯实代数运算基础|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04 乘法公式与整式的除法 常考题型精准突破 ·考点一乘法公式●— ◆题型1运用平方差公式进行运算 1.B 2.20 3.【详解】解：(a-2b+3c)(a+2b-3c) =[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)] =a2-(2b-3c2 =a2-(462-12bc+9c2)） =a2-4b2+12bc-9c2 4.【详解】(1)解： g号-oro-w-gg (2)解：762+752-76×150 =762+752-2×76×75 =(76-75)月 =12 =1. ◆题型2平方差公式与几何图形 5.c 6.29 7.①②③ 1/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.【详解】解：由题意得大三角形的高为：y-x,小三角形的高为：y-x, 的中明分的8积为：-动-宁方扩--， 1 2 -2w+2w-2 y2=x2+20 y2-x2=20,即： 2-)=×20=10, 2 ∴图中阴影部分的总面积为10 ◆题型3运用完全平方公式进行运算 9.D 10.4ab 11. 4x2+20xy+25y2 12.【详解】解：（-x+2y(-x-2y)-(x-3y}2 [(-(2]-[2-2xx3y+6] =(x2-4y2）-(x2-6y+9y2） =x2-4y2-x2+6y-9y2 =6xy-13y2 ◆题型4通过对完全平方公式变形求值 13.C 14.C 15.2 16.【详解】(1)解：，m+n=5,mn=-3, (m-2)(n-2) =mn-2m-2n+4 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =mn-2(m+n)+4 =-3-2×5+4 =9； (2)解：，m+n=5,mn=-3. :.(m+n)2=25 :m+n2+2mm=25 :m+m2+2x(←3)=25 .m2+n2=31 (a-m)2 =m2+n2-2mn =31-2×(-3) =37 17.【详解】(1)解：ab=2,a+b=5, .(a-b)2=(a+b)2-4ab =25-8 =17: (2)解：ab=2,a+b=5, ∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=25-4=21 (a2-1(62-) =a2b2-a2-b2+1 =4-21+1 =-16. ◆题型5完全平方公式在几何图形中的应用 18.95 3/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.38 20.2m+4/4+2m ◆题型6求完全平方式中的字母系数 21.D 22.-10或6 11.13 23.- 2或2 24.【详解】解：设m2+m+7=k, 127=k2 所以m+m+ 44 122=k2 所以m+2+ 4 所- 4 所以(2m+2k+10(2m-2k+1)=-27 因为 27=-1x27=1x(-27)=-3×9=3×(-9）,且m与都为整数， 所以2m+2k+1=27,2m-2k+1=-1,解得：m=6,k=7: 2m+2k+1=-1,2m-2k+1=27,解得：m=6,k=-7: 2m+2k+1=9,2m-2k+1=-3,解得：m=1,k=3: 2m+2k+1=-3,2m-2k+1=9,解得：m=1,k=-3: 2m+2k+1=3,2m-2k+1=-9,解得：m=-2,k=3: 2m+2k+1=-9,2m-2k+1=3,解得：m=-2,k=-3: 2m+2k+1=1,2m-2k+1=-27,解得：m=-7,k=7. 2m+2k+1=-27,2m-2k+1=1,解得：m=-7,k=-7. 所以所有m的和为 6+1+(-2)+(-7)=-2 4/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7整式的混合运算 25.【详解】解： (3x+y)(2x-y)-2x(x-2y) =6x2-3xy+2xy-y2-2x2+4xy =4x2+3xy-y2 26.【详解】解：原式4-4o+广-(：-9y2-2g+2y) =4x2-4xy+y2-(x2-7y2-2xy) =4x2-4xy+y2-x2+7y2+2xy =3x2-2xy+8y2 1 当x=-1,y=2时， 原武-2g+8=3x--2(-号48得-6 27.【详解】(4)解.(2xy-y3 =6xy2-3x2y2 (2)解.(x+-(+2x)0-2x) =x2+2y+y2-(y2-4x2） =x2+2xy+y2-y2+4x2 =5x2+2xy 28【详解1解.[-2列+3x-(2+2x-小-（ 5/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[r-4g+4r+3r-y-ax2-y】月-（之） =(-4+42+3x2-y-4r+y)(） =6-w)r】 =-10y+10x 。1 当x=-2,y=2时， 原式=-10x3+10x(-2)=-25. 2 ●考点二整式的除法 ◆题型1同底数幂的除法运算 29.D 30.a4 31.【详解】解：（2x)+(3x-(←x÷(x) =-8x+9xr5-(-x2x÷(-x) =-8x+9x6-(-x)(-x) =-8x6+9x6-1 =x6-1 32【详1解，（八-3y(片(2r （-3y(-2y =8y3-(9y）(8y） 6/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 =-2y 8 ◆题型2同底数幂除法的逆用 9 33.2 34.5 35.【详解】(1)解：2=5,2”=7， 2y=2÷2=5+7= 7 (2)解：x"=2, :.(3x）+4(x) =(3x+4x =(3x+4x月 =(3×2)2+4×2 =62+4×8 =36+32 =68」 36,【详解】(1)解：r2m=rx2=(, 当xm=3,x”=6时， 原式=r(x=6x32-54 2)解：r=÷r=(÷(x 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当xm=3,x”=6时， 原武=(r(e了=6- ◆题型3零指数幂 37.D 39.x≠2025 40.-1或2 ◆题型4幂的混合运算 41.D 42.【详解】解：（2a+(-3a-(-a） =-8a+9a-（-a） =a6+a =2a6 43.【详解解：aa+(2a-(-a÷(a》 =a8+16a8+a2÷a =a8+16a8+a =18a8 4.【详解】(1)解：(x(←-(x÷(x2) =x6.(-x)-x6÷(-x2) =-x3-(-x4) =-x7+x4 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解.(a+2y-(a-2)a+1)） =a2+4a+4-(a2-a-2) =a2+4a+4-a2+a+2 =5a+6 ◆题型5计算单项式除以单项式 45.3b 46 27x2y 7.【解1解〔小(4w)) =y(4w)(x） =-xy÷(xy） =-x2 1-3m2m+5,3-2m 48.【详解】(1)解：2-3 4 1325.31 1m--1m--+ 22 m 3342 -g】 58 23m: 2解，4ygj】 (-ygG （小列】 =-2xz 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6多项式除以单项式 49.2y2-y+3x 50.-4x2+6 51.【详解】解：（16r-8r+4r）(-2r) =16x÷(-2x2)-8x3÷(-2x2)+4xr2÷(2x2） =-8x2+4x-2 52.【详解1解 [x*2j-(+6x-)-5y]3 =[x2+4g+42-(3x2+3g-w-y）5y]*（ =(2+40+42-3x2-3w++-5y)(号 =2x+2w)片 =4x-4y 时，原44（←=+4=2 53.【详解】解：根据题意可知， (9a2-3ab+6a3)÷p=3a :p=(9a-3ab+6a）÷3a=3a-b+2a2 ◆题型7整式四则混合运算 54.【详解】解：原式=a+2a+1-(女-4)=a2+2a+1-a2+4=2a+5 55. 【详解)解：[(2x+-(2x+yx-刃-2](-2). 10/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[(4x2+4y+y2）-(2x2+y-2w-y2）-2x2]÷(-2y） =[4x2-2x2-2x2+40-y+2xy+y2+y2]÷(-2y） =(5y+2y2)÷(-2y) 8x2y6+4x2y6 56.【详解】(1)解：原式 =12x2y6 (2)解：原式=a2-2a+6a-12-a2-3a =a-12: (3)解：原式=2012+2×201×99+992 =(201+99)月 =3002 =90000 57.【详解】解：[a-36-(a+2b(a-2b)]+(-2b) =[(c2-6ab+9b2）-(a2-462)】÷(-2b) =(a2-6ab+9b2-a2+4b2）÷(-2b) =(-6ab+13b2）÷(-2b) =3a-13b 2 a-56-2所，武=写号(2-14 综合攻坚知能拔高 11/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.C 2.B 二、填空题 3.5或1 1音1 三、解答题 (x+3y-2)(x-3y+2) 5.【详解】解： =[x+(3y-2)][x-(3y-2] =x2-(3y-2)月 =x2-(9y2-12y+4) =x2-9y2+12y-4 6.【详解】解： (4xy-6x2y）÷2x2y+3yy =2y3-3y2+3y2 =2y3 7.【详解】解：(x+x-y+)-(x-+20-x) =x2-y+x+xy-y2+y-(x2-2xy+y2)+2y2-2xy =x2-xy+x+xy-y2+y-x2+2xy-y2+2y2-2xy =x+y, 24 23 =24,_23=576_575=1 当25，y=24时，原式25+2460060600 8.【详解】解： [(a+2b)2+(a-2b)(2b+a）-2a(2a-b)]÷2a 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(a2+4ab+4b2+a2-4b2-4a2+2ab)÷2a =（-2a2+6ab)÷2a =-a+3b, a-1+(b+3)2=0 a-1=0,b+3=0, 解得：a=1,b=-3, 六当0=1，h=-3时，原式=-1+3x(3)=-1-9=-10 9.【详解11少解，(2x子+(e+2+3(), =8x+sr2r-3x. =2x7+x4.2x3-3x7 =2x7+2x7-3x7 =x2; （2)（2ry-8ry）片4y+0y+x02y-3x) =3xy-2y2+2y2-3xy+2xy-3x2 =2xy-3x2 3)(3a-2b+c2(e2+3a+2b) [(3a+c2）-2b][(e2+3a+2b], =(3a+c2-(2b)}. =9a2+6ac2+c4-4b2 13/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.(1)2,4,6 a0log4+log,16=log,64:②og.(W） og。M=mlog。N=n ③设 ,(m,n是正整数) 则根据对数定义a"=M,a”=N, 利用同底数幂的乘法性质：a”a”=at", ,M,N=ama”=am+n o (M-N)=log,M+log,N M 801oN,②2 14/14 专题04 乘法公式与整式的除法 常考题型·精准突破 考点一 乘法公式 题型1 运用平方差公式进行运算（高频） 题型2 平方差公式与几何图形 题型3 运用完全平方公式进行运算 题型4 通过对完全平方公式变形求值（难） 题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 题型6 求完全平方式中的字母系数 题型7 整式的混合运算 考点二 整式的除法 题型1 同底数幂的除法运算（重） 题型2 同底数幂除法的逆用 题型3 零指数幂 题型4 幂的混合运算（高频） 题型5 计算单项式除以单项式 题型6 多项式除以单项式 题型7 整式四则混合运算（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 乘法公式 ◆题型1 运用平方差公式进行运算 1．下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，先观察式子特征，运用平方差公式进行计算，再运用完全平方公式进行运算，即可作答． 【详解】解： 4．用简便方法计算： (1)10 (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行简便运算． （2）应完全平方公式进行简便运算． 【详解】（1）解：． （2）解： ． ◆题型2 平方差公式与几何图形 5．如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片（），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的图解，关键是通过几何图形之间的数量关系推出平方差公式． 根据题中的两个图形分别表示出阴影部分的面积，再根据阴影部分的面积相等即可得到相应的等式，据此即可作答． 【详解】解：根据第一个图可知：阴影部分的面积为：； 根据第二个图可知：阴影部分的面积为：； ∴， 故选C． 6．有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面积、多项式乘多项式与图形面积，解题关键是从图中提取出正确信息． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，求出后可得、，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题得：， 得， 即， ， ，， ， ． 即正方形、的面积之和是． 故答案为：． 7．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 8．将边长分别为x，y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若，求图中阴影部分的总面积． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算．利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得大三角形的高为： ，小三角形的高为：， 图中阴影部分的总面积为： ， ， ，即：， 图中阴影部分的总面积为． ◆题型3 运用完全平方公式进行运算 9．若边长为的正方形边长减少以后，所得较小正方形的面积比原来正方形面积减少了（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出原正方形和边长减少后小正方形的面积，再计算面积的差，化简后得到结果即可选出正确选项． 【详解】解：∵原正方形边长为， ∴原正方形面积为．边长减少后，新正方形边长为 ， 新正方形面积为． 面积减少量为：． 10．填空：________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，分别展开两个完全平方，计算两者的差即可得到结果． 【详解】∵，， ∴． 11．计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 12．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、乘法公式，利用平方差公式和完全平方公式把整式中的各部分展开，再去括号、合并同类项． 【详解】解： ◆题型4 通过对完全平方公式变形求值 13．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, ． 故选：C． 14．整式可以变形为，由此可知的最小值是5．那么按此方法，整式的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：， 则代数式的最小值是． 故选：C． 15．已知，，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的变形，通过计算与的差得到，进而求出的值，即可作答． 【详解】解：，． 将两式相减，得， 即， ∴． 故答案为：． 16．已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 17．已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， ◆题型5 完全平方公式在几何图形中的应用 18．有两个正方形A，B，将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造一个大正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为___________． 【答案】95 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设两个正方形的边长分别为，图1和图2中阴影部分的面积分别为和，进而求出，则，即可得解． 【详解】解：设两个正方形的边长分别为， 由图1可得：， ， 由图2可得：， ， ， ， 图2中大正方形的面积为， 故答案为：95． 19．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为______． 【答案】38 【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解． 【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为， 图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，， 图3阴影部分的面积可以表示为 ， 故答案为：． 20．如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为_____．(用含的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是通过设未知数表示出相关线段长度，利用完全平方公式将两个正方形的面积和转化为含的代数式．设，先根据长方形的边长性质和已知条件表示出和的长度，结合长方形的面积得到，再利用完全平方公式，将两个正方形的面积和转化为含的式子，代入计算即可得出结果． 【详解】解：设， ∵四边形是长方形，，， ∴，，． ∵长方形的面积为， ∴． ， 根据完全平方公式：， 令，，则， ∴． 故答案为：． ◆题型6 求完全平方式中的字母系数 21．如果是一个完全平方式，那么可以等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ． 故选：D． 22．已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是______． 【答案】或6 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 23．若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 24．使得是完全平方数的整数m的和等于多少？ 【答案】． 【分析】本题考查完全平方数的知识．将表示为的形式，然后转化可得出，从而讨论可得出的值，从而得到所有整数的和． 【详解】解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，且与都为整数， 所以，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，． ，，解得：，． 所以所有的和为． ◆题型7 整式的混合运算 25．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用多项式乘多项式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 26．先化简，再求值：其中，，； 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式和平方差公式运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项化简，再计算多项式除以单项式得到最终化简的结果，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 考点二 整式的除法 ◆题型1 同底数幂的除法运算 29．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ，选项A错误； ∵， ∴ ，选项B错误； ，选项C错误； ∵， ∴ ，选项D正确． 30．计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法，先计算乘方，再从左到右进行乘除运算即可 【详解】解：， 故答案为： 31．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再合并同类项计算即可． 【详解】解： ． ◆题型2 同底数幂除法的逆用 33．已知，，那么__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，先计算出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 34．若，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用和幂的乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方可得，再把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴将代入上式可得：， ∴， 故答案为：． 35．解答下列各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)68 【分析】本题主要考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则和积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 36．已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法的逆用、幂的乘方的逆用，解决本题的关键是根据同底数幂的乘法和除法的逆用，幂的乘方的逆用求解即可． 首先逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可； 逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方的法则，可得：原式，再把，代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解：， 当，时， 原式． ◆题型3 零指数幂 37．下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 38．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先计算幂的乘方、负整数指数幂和零指数幂，再根据整式的乘除法则进行运算． 【详解】解： 故答案为． 39．若式子有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，解题关键是明确零指数幂中底数不能为． 根据零指数幂有意义的条件，底数不能为． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为 ． 40．已知：，则x的值是_________． 【答案】或2 【分析】本题考查零指数幂的性质和有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题的关键． 利用的偶次幂等于1，1的任意次幂等于1，任意非零数的零次幂等于1，分别列出方程，进一步可求出x的值． 【详解】解：∵， ∴或或， 当时，即，此时，故舍去； 当时，即，此时，满足等式； 当时，即， 时，，满足等式； 时，，无意义，不满足等式； ∴的值为：或2． 故答案为：或2 ． ◆题型4 幂的混合运算 41．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 42．计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式运算法则是解题的关键．先运算积和幂的乘方运算法则，再运用同底数幂相乘运算法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 43．计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 44．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，以及完全平方公式和多项式乘法．根据相关运算法则和公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ◆题型5 计算单项式除以单项式 45．计算：________________． 【答案】 【详解】解： ． 46．______． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 47．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式根据整式的加减运算法则化简合并同类项即可． （2）原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型6 多项式除以单项式 49．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 【答案】 【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为， ∴ 它的另一边长为：． 50．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的计算． 用多项式的每一项除以单项式即可求解． 【详解】解： ． 51．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 52．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则去中括号内的小括号，再合并同类项，接着计算多项式除以单项式，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 53．已知为，为，根据流程图列式计算，求． 【答案】 【分析】本题考查了流程图计算，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据流程图列式得到，即，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可解答． 【详解】解：根据题意可知，， ∴． ◆题型7 整式四则混合运算 54．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，先运用完全平方公式，平方差公式去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式． 55．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式、整式的四则混合运算，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 根据完全平方公式、整式的四则混合运算法则即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ． 56．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），先计算整式的乘除，再计算整式的加减； 对于（2），先计算整式的乘除，再算加减； 对于（3），根据完全平方公式计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 57．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算－化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若，那么a，b，c应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式右边展开整理，根据多项式相等时对应项系数相等，列方程求解a，b，c的值. 【详解】展开整理等式右边得：， ∵等式对应项系数相等 ， ∴，，， 将代入，得，解得， 将，代入，得，解得， 即． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、分式乘除法，根据相关运算法则逐项验证运算即可． 【详解】解：A：∵中没有同类项，不能合并，∴原运算错误． B：∵，∴原运算正确． C：∵，∴原运算错误． D：∵，∴原运算错误． 故选：B． 二、填空题 3．如果是完全平方式，则m的值是________________． 【答案】5或1 【分析】根据完全平方式的结构特征，可判断首末两项是和的平方，中间项应为加上或减去与乘积的倍，据此列方程求解． 【详解】解：是完全平方式， ， 当时，等式两边同除以得，解得， 当时，等式两边同除以得，解得． 4．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简，熟练掌握同底数幂的除法和积的乘方是解题的关键，先计算除数的值，然后将多项式中的每一项分别除以该除数，利用同底数幂的除法法则和有理数运算进行化简即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 5．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 6．计算：． 【答案】 【详解】解：      ． 7．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则以及完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 8．先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】； 【分析】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案． 【详解】解： ， ， ，， 解得：，， 当，时，原式 9．计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先进行乘方，再进行乘除，最后进行加减计算； （2）先进行多项式除单项式，多项式乘多项式，然后进行加减运算； （3）先根据加法交换律、结合律，然后运用平方差公式进行计算，最后运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ； （3）， ， ， ． 【点睛】本题考查了幂的运算、单项式乘单项式，单项式除以单项式，多项式乘多项式，多项式除以单项式，同类项的合并等知识点，解题的关键在于正确运用幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂的乘除法，同时注意在合并同类项时准确处理各项系数，确保最终结果的准确性. 10．阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②； ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③ 略 （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04 乘法公式与整式的除法 内容概览 常考题型·精准突破 考点一乘法公式 题型1运用平方差公式进行运算（高频） 题型2平方差公式与几何图形 题型3运用完全平方公式进行运算 题型4通过对完全平方公式变形求值（难） 题型5完全平方公式在儿何图形中的应用 题型6求完全平方式中的字母系数 题型7整式的混合运算 考点二整式的除法 题型1同底数幂的除法运算（重） 题型2同底数幂除法的逆用 题型3零指数幂 题型4幂的混合运算（高频） 题型5计算单项式除以单项式 题型6多项式除以单项式 题型7整式四则混合运算（难） 目 综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 一·考点一乘法公式 ● 1/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型1运用平方差公式进行运算 1.下列各式中能用平方差公式计算的是() A.(3a+2b)36-2a) B.(m+3n)3n-m)） c.(2x+0(-2x-1) D.(3x-y(-3x+) 2.已知a+b=5,a-b=4,则a2-b2= 3.计算：(a-2b+3c)(a+2b-3c) 4.用简便方法计算： (2)762+752-76x150 ◆题型2平方差公式与几何图形 5.如图，在边长为m正方形纸片中剪去一个边长为小正方形纸片(m>n),把剩余的部分拼成一个长 方形纸片.通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式() m m n m-n A.m+2mn+n=(m+n) B.m-2mn+n=(m-n) c.m-n=(m+njm-m） D.m-mn=m(m-r） 6.有两个正方形A、B,将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后得图2，如果图1和图2中阴影部 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分的面积分别为21和6，则正方形A、B的面积之和是 B B 图1 图2 7.某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验 证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有 (填图中的序号)· ←b ka-b a-b -ab习 ① ② b ←a a ←b b -a←b> ⊙ ④ 2=x2+20 8.将边长分别为x,y的小正方形和大正方形按如图所示摆放，若 ,求图中阴影部分的总面积 ◆题型3运用完全平方公式进行运算 9.若边长为“的正方形边长减少 b(a>b) 以后，所得较小正方形的面积比原来正方形面积减少了() A.b2 B.2ab C.2ab+b2 D.2ab-b2 10.填空：(a-b}=(a+b2- 1L.计算：（-2x-5}= 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12.计算：（x+2y-x-2y)-(x-3y ◆题型4通过对完全平方公式变形求值 13.已知长方形的长为，宽为b,用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一 个面积为16的小正方形.用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方 形，空白部分的面积为65，则a+b的值为() 图1 图2 A.12 B.9 C.7 D.5 4整式2-2x+6可以变形为仁-旷+5，自此可如-2x+6的最小值是5，罪么按t方法，整式 y2+y-4 的最小值是(). A.4 B.-5 C.41 4 D.33 15,已知（x+=18,（K-八=12，郑么的值为一 16.已知m+n=5,mn=-3, 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求(m-2)n-2)的值 2求m-)2 17.已知ab=2,a+b=5,求： (1)(a-6) aa2-62-) ◆题型5完全平方公式在几何图形中的应用 18.有两个正方形A,B,将B放在A的内部得图1，将A,B并列放置后构造一个大正方形得图2.若图1 和图2中阴影部分的面积分别为5和45，则图2中大正方形的面积为_ B A B 图1 图2 19.如图有两张正方形纸片A和B,图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并 列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为18，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正 方形如图3，（图2、图3中正方形AB纸片均无重叠部分），则图3阴影部分面积为一· 5/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B A B B A A B 图1 图2 图3 20.如图，在长方形ABCD中，AB=16,BC=14,点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF,分别以 FCCE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,在长方形ABCD内侧作长方形CEPF, 若长方形CEPF的面积为m,则图中阴影部分的面积和为一·（用含m的代数式表示） G H DF C E ◆题型6求完全平方式中的字母系数 21.如果r+v+4y是一个完全平方式，那么a可以等于() A.±2 B.2 C.-1 D.±1 2.已知关于x的整式r-(k+2)x+16 是某个关于x的整式的平方，则k的值是一 x2-(2k-1)x+4 23.若关于x的整式 是某个关于x的整式的平方，则k的值为 24.使得m2+m+7是完全平方数的整数的和等于多少？ ◆题型7整式的混合运算 25.计算： (3x+y)(2x-y)-2x(x-2y) 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26先化简。再求：2x-r-[K-3r32e-]共中：-1方： 27.计算： 2x-)3 2x+y-(0+2x0y-2x) 28化简求值，【-2+3--2x+2x-川（.共p2.. ●考点二整式的除法●一 ◆题型1同底数幂的除法运算 29.下列计算正确的是（) A.a2.a=a B.（a2=a 7/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.a3+a3=a6 D.a2÷a6-=a6 30.计算：（a°÷aa= 31.计算：（-2x+(3x-(xx÷() 2.计算（y八-3y(y(2) ◆题型2同底数幂除法的逆用 33.已知a"=3,a”=2,那么a2m"= 34者”=2=5 那么术 35.解答下列各题： (1)已知2=5,2”=7，求2y的值； ②已知r=2,求6x+4(r)的值. 36.己知xm=3,x”=6,求 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值： 的值. ◆题型3零指数幂 37.下列计算结果正确的是() A.a2+a=as B.a3.a=a2 c.(3ab）=6ab D.a°=1(a≠0) 38计算：（←3a(2a)÷(-9= 39.若式子-2025)有意义，则实数x的取值范围是 40.已知：(x+2)2=1 则x的值是 ◆题型4幂的混合运算 41.下列运算正确的是()· A.3m+n=3mn B.（mn)}'=-m2n2 C.m3.m=m D.m3÷m3=m 42.计算：（-2a+(←3a-（-a）a 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43.计算：aa+(2a-(-a÷(a2} 44.计算： )x（x)-(x÷(-2） 2(a+2y°-(a-2)(a+1) ◆题型5计算单项式除以单项式 3a2b3÷(ab)2= 45.计算： 46(←3x÷—=写y. .计（兮j(g)-) 48.计算： 1-3m2m+53-2m (1)2 3 4 aygj-j月 10/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6多项式除以单项式 6y4-3x2y3+y2 3y2 49.已知长方形面积为 它的一边长为”，则这个长方形另外一边长为 50.计算： (2ax-samj-(r月 51.计算：(16r-8r+4x):(-2x) 52.先化简，再求值： [【+2f-(+-小5]-，共中=1 53.己知m为9a2-3ab,x为3a,根据流程图列式计算，求p. 输入m +6d得到→计算np 输出x 11/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型7整式四则混合运算 54.计算：(a+l)-(a-2)(a+2) 5.计算：[《2x+-(2x+y0x-以-2x]*(-2列) 56.计算： (14w2.2y+(-2y2） 2a+6a-2)-a(a+3) 6)201+201x198+99 57.先化简，再求值：a-30-u+26a-2]*(-20,其中a-号，为=-2 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.若2r+5x+1=a(x++b(x+1)+c,那么a,,c应为() A.a=2,b=-2,c=-1 B.a=2,b=2,c=-1 C.a=2,b=1,c=-2 D.a=2,b=-1,c=2 2.下列运算正确的是() A.b3+b2=bs B.2b3÷b2=2b c.b÷gb=b b a D.(-2b2）3=-666 二、填空题 2-2(m-3)x+4 3.如果 是完全平方式，则m的值是 4.计算：（18ry+12xy-27xy）(←3y= 三、解答题 5.计算：(x+3y-2x-3y+2) 13/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6计算：（4r-6ry)2+3y 7.充化筒，再求值：(+0-y+)仁-旷+20-小其中=尝。y=没 24· 8.先化简，再求值.[a+2+(a-2b2b+)-2a(2a-b]+2a,其中a,b满足la-+6+3=0 9.计算下列各题： )2x+(xy÷.2x+3x(←r) a2ry-8ry）÷4ry2+0+x02y-3x) 8)3a-2b+c2)0e2+3a+2b) 10.阅读材料，并解决问题. 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.pl,1550-l1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前， 14/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直到18世纪瑞士数学家欧拉(Blr,1707-1783)才发现指数与对数之间的联系.我们知道，n个相同的 23=8 因数a相乘0aa记为4，如2 ,此时，3叫做以2为底8的对数，记为 og2810g28=3 ,即 一般地，若a=b(a>0且a1,b>0 ),则n叫做以a为底b的对数，记为 log b log b=n ,即 .如 子=81，则4叫微以3为底81的对数，记为 g381log81=4 ,即 l0g2 4= l0g216= 10g264= ()【概念理解】计算下列各对数的值： (2)【性质发现】 log24 log,16 l0g,64 ①观察 之间满足的关系式是 log M+log N= ②归纳： (a>0,且a1,M>0,N>0 ). ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质a”·a”=am+"(,n是正整数)以及对数的含义说明上述结论. (3)【拓展延伸】 ①当a>0且a≠1，M>0.N>0时，1og.M-log,N= 时， 1og336-10g34= ②计算： 15/15