第11章 整式的乘除（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材沪教版五四制七年级上册

**基本信息** 沪教版五四制七年级整式的乘除单元培优卷，28题覆盖选择（6/12）、填空（12/36）、解答（10/52），融合中考真题与各地期末题，通过生活情境（乒乓球旋转、月历探究）和数学文化（杨辉三角）考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配单元复习分层检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|幂运算、多项式乘法、面积计算|第5题以乒乓球旋转数据比较考查指数运算，体现数学眼光| |填空题|12题36分|整式运算、完全平方、实际应用|第15题镶边问题构建代数式，培养模型意识| |解答题|10题52分|综合计算、规律探究、跨学科|27题通过图形面积探究代数关系，28题引入虚数拓展运算能力，落实数学思维与表达|

第11章 整式的乘除·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2026·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则、完全平方公式逐一判断选项． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，∴A错误． B、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴B正确． C、展开得，∴C错误． D、根据完全平方公式得，∴D错误． 2．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先展开多项式乘积，合并同类项后，根据展开式不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：， 展开式中不含的一次项， 一次项系数为，即， 解得． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“底数相同的幂相等时，指数相等”逐一验证各选项即可得到不正确的关系式． 【详解】解：∵ ，，， 验证选项A：∵ ， ， ∴ ，可得，A正确，不符合题意； 验证选项B：∵ ， ∴ ，B正确，不符合题意； 验证选项C：∵ ， ∴ ，C正确，不符合题意； 验证选项D：∵ ， ， ∴ ，可得，D错误，符合题意． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，阴影部分面积，利用三角形面积公式分别计算即可求解； 【详解】解：四边形是边长为4的正方形， ， 四边形是长方形，，， ，， 由图可知，阴影部分面积 ． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·四川达州·期末）计算：_______ ． 【答案】 【分析】由同底数幂的乘方运算的逆运算、积的乘方运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 8．（25-26七年级下·河北衡水·期末）计算________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 9．若，则口内应填的单项式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式除以单项式．注意将求内应填的代数式转化为单项式的除法来解答． 根据乘除是互逆运算，此题实际上求的值，所以根据单项式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．若，则代数式的值为____________． 【答案】2 【分析】本题考查幂的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键，利用幂的乘方将原式进行化简，再整体代入求解． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：2． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____． 【答案】5 【分析】将所求多项式展开整理，整体代入已知和的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 12．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，是一块长方形场地，长，宽，从中间建成的小路宽都为，其余部分种植草坪，则草坪的面积为_______． 【答案】 【分析】将左右两块草坪向中间拼接，拼接后的草坪刚好形成一个长为，宽为的新长方形，据此计算即可． 【详解】解：由图可知，草坪的面积为． 13．若a，b为正整数，且，则_________． 【答案】 【分析】先将等式中各项都化为底数为的幂的形式，再根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则化简，最后根据相等的幂底数相同则指数相等，即可求出的值． 【详解】解：将原式中各项变形为底数为的幂，可得 ， 即， 根据幂的乘方法则，得 ， 根据同底数幂的乘法法则，得 ， 因为底数相等，所以指数相等，可得 ． 14．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若是一个完全平方式，则常数m的值为__________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分两种情况对比对应项系数，即可求出常数的值. 【详解】解：是一个完全平方式， 根据完全平方公式， 本题中，，可得， ， 即， ． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）贴福字是春节传统习俗．小明准备裁剪一张长方形彩纸（如图1），为一幅边长为a的正方形福字作品四周镶边（如图2），镶边要求正方形的四周边宽都为b．已知长方形彩纸的一边长为2b，且裁剪镶边均不浪费、无重叠（接缝处忽略不计），则长方形彩纸的另一边长为________．（用含a，b的代数式表示）      【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设长方形彩纸的另一边长为，根据长方形的面积等于镶边后大正方形面积减去福字作品面积建立方程求解． 【详解】解：设长方形彩纸的另一边长为， 由题意得： 解得：， 故答案为：． 16．（25-26八年级下·全国·暑假作业）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为________． 【答案】0 【分析】根据二阶行列式的运算法则将行列式转化为代数式，利用平方差公式计算，再代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 17．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题中排列方式知，展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， 展开式中项的系数为：， ， 所以展开式中项的系数为． 当时，展开式中，含项的系数是． 18．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 【答案】10 【分析】设正方形A，B的边长分别为，，结合题意可得，，进一步可得，从而可得答案. 【详解】解：设正方形A，B的边长分别为，， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为. 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式乘法运算，涉及幂的乘方、同底数幂的乘除、平方差公式、多项式乘多项式以及合并同类项的知识点．关键是严格遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，熟练运用整式运算法则计算． （1）先分别计算乘方、乘法、除法运算，再合并同类项得到结果； （2）先利用平方差公式计算第一部分，利用多项式乘多项式法则计算第二部分，再去括号合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（4分）（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用，能熟练利用幂的运算公式的逆用进行求解是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式逆用得，即可求解； （2）由幂的乘方及同底数幂的除法公式逆用得，即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 21．（4分）（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 22．（4分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）小颖利用某月的月历探究奥秘，先用如图1的“十字型”框架任意框住月历中的4个数(如图2阴影部分)，然后将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减．例如：___________，___________．他发现结果都是一个定值．他按照同样的方式在不同月份的月历中探究，发现都有同样的规律． (1)这个定值是___________； (2)请利用整式的运算证明这个规律． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】本题考查月历数字规律与整式的乘法运算，关键是利用月历中“同一行左右数相差1，同一列上下数相差7”的排列规律，通过设未知数表示出四个数，再通过整式运算验证结果为定值． （1）通过直接计算题目给出的两个示例算式，得到相同的结果，即可确定定值； （2）设十字型框架中间的数为，根据月历数字规律表示出、、、四个位置的数，再利用平方差公式展开计算两个乘积的差，验证结果为定值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：； （2）解：设月历中十字型框架中间的数为， 则位置的数为，位置的数为，位置的数为，位置的数为； ∴， 因此，无论取符合月历规则的任意整数，结果均为，即该规律成立． 23．（4分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时，． 24．（4分）（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图是某学校综合楼的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含，的多项式表示报告厅的占地面积__________平方米；办公室的占地面积__________平方米． (2)若，，则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大多少平方米？ 【答案】(1)， (2)报告厅的占地面积S1比办公室的占地面积S2的5倍大164平方米 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）作差计算得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， 又，， ， 则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大平方米． 25．（6分）（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 【答案】(1)，； (2)化简；值为12； 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程组，再求a、b的值； （2）把a、b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 所以 解得 （2）解：把，代入得 当时， 原式 26．（6分）（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律； （2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中、的情况，构造乘以该式后套用（1）中规律计算即可； ②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可． 【详解】（1）解：观察给出的特殊式子： ①， ②， ③， 以此类推，； （2）解：①由（1）知， ， ， ②， 即， ， ． 27．（8分）（24-25七年级下·广东茂名·期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①8；②1300 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①应用完全平方公式的变式进行计算即可得出答案；②设正方形边长为，可得，，令，，由长方形面积知，算出；阴影面积为，借助整体代入求值． 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵两个正方形的边长分别为p、q， ∴， 把，代入上式： ． ∴图2中阴影部分的面积为． ②设正方形边长，则． ∵，， ∴， 令，． 长方形相邻两边为、， ∴． ， 观察图形，阴影部分组合成边长为的正方形， 因此阴影面积． 由（1）得到的恒等式：， 代入，， ， ∴图3阴影部分面积为1300． 28．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·期末）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． (1)复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①_____；②_____； (2)若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则_____，_____，_____； (3)已知，其中为实数，求的值． 【答案】(1)①；② (2)；； (3) 【分析】（1）根据定义，运用整式的运算法则计算即可； （2）根据共轭复数的定义可得a，b的值，即可求出； （3）根据定义求出，结合得到，的值，进而根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：①； ②． （2）解：∵，是的共轭复数， ∴，即，， ∴． （3）解：∵， 又， ∴，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共28题，单选6题，填空12题，解答10题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（2026·四川甘孜·中考真题）下列计算正确的是(      ) A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）若的展开式中不含的一次项，则常数的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26七年级下·福建漳州·期末）已知，，，下列给出，，三个数之间的四个关系式，其中不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 6．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26七年级下·四川达州·期末）计算：_______ ． 8．（25-26七年级下·河北衡水·期末）计算________． 9．若，则口内应填的单项式是__________． 10．若，则代数式的值为____________． 11．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则_____． 12．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，是一块长方形场地，长，宽，从中间建成的小路宽都为，其余部分种植草坪，则草坪的面积为_______． 13．若a，b为正整数，且，则_________． 14．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若是一个完全平方式，则常数m的值为__________． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）贴福字是春节传统习俗．小明准备裁剪一张长方形彩纸（如图1），为一幅边长为a的正方形福字作品四周镶边（如图2），镶边要求正方形的四周边宽都为b．已知长方形彩纸的一边长为2b，且裁剪镶边均不浪费、无重叠（接缝处忽略不计），则长方形彩纸的另一边长为________．（用含a，b的代数式表示）      16．（25-26八年级下·全国·暑假作业）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为________． 17．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是______ ． 18．（25-26七年级下·浙江衢州·期末）如图，有两个正方形A，B，它们的边长分别为和，现将A放在B内部得到图1，图1中，将A，B并列放置后构成大正方形，如图2，图2中阴影部分的面积为10.5，则图1中阴影部分的面积为________． 三、解答题（本大题共10小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）计算： (1)； (2)． 20．（4分）（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 21．（4分）（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 22．（4分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）小颖利用某月的月历探究奥秘，先用如图1的“十字型”框架任意框住月历中的4个数(如图2阴影部分)，然后将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减．例如：___________，___________．他发现结果都是一个定值．他按照同样的方式在不同月份的月历中探究，发现都有同样的规律． (1)这个定值是___________； (2)请利用整式的运算证明这个规律． 23．（4分）（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 24．（4分）（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图是某学校综合楼的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含，的多项式表示报告厅的占地面积__________平方米；办公室的占地面积__________平方米． (2)若，，则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大多少平方米？ 25．（6分）（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）小明和小聪比赛做同一道整式乘法题目：，由于是第一次参加比赛都很紧张，小明将第二个多项式中的符号抄错，导致结果为；小聪错将第一个多项式的一次项系数看成2，导致结果为． (1)求出式子中的、值． (2)请计算出这道整式乘法的正确化简，并计算出当时这道题的结果． 26．（6分）（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 27．（8分）（24-25七年级下·广东茂名·期末）图1是四个全等的小长方形拼成的正方形，大正方形的边长为，小正方形（阴影部分）的边长为． (1)观察图1，直接写出，，三者的数量关系式； (2)用（1）的结论解答：①如图2，两个正方形的边长分别为p、q，且A、B、C三点在一条直线上，若，，求图2中阴影部分的面积； ②如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，若，，长方形的面积是300，求图3中阴影部分的面积． 28．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·期末）定义：规定的平方等于，即，则i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．如：复数的实部是1，虚部是． (1)复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似． 如：①；②； 填空：①_____；②_____； (2)若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如：的共轭复数为．若是的共轭复数，则_____，_____，_____； (3)已知，其中为实数，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $