专题02 提公因式法和公式法因式分解十一大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题02 提公因式法和公式法因式分解 目录 A题型建模・专项突破 题型一 公因式 1 题型二 提公因式法分解因式 2 题型三 判断能否用公式法分解因式 5 题型四 平方差公式分解因式 7 题型五 完全平方公式分解因式 10 题型六 综合运用公式法分解因式 12 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 13 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 14 题型九 十字相乘法 16 题型十 分组分解法 19 题型十一 因式分解的应用 22 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 公因式 1．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式； 【规范解答】与的公因式是， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了公因式：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2．多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 【考点剖析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 3．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案． 【规范解答】解：， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 题型二 提公因式法分解因式 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26八年级上·河北承德·期末）下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 【答案】(1)A (2)见解析 【思路引导】‘ 本题主要考查了因式分解的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据提公因式法判断即可； （2）根据平方差公式和提公因式法计算即可； 【规范解答】（1）解：利用了提公因式法； 故选． （2）解：有其他解法，解法如下： 原式 ． 题型三 判断能否用公式法分解因式 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【思路引导】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【规范解答】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 8．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【规范解答】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 9．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型四 平方差公式分解因式 10．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①；② 【思路引导】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【规范解答】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 11．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）根据题意，利用作差法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由所给数轴可知，且， 则，． （2）解：，理由如下： ． 因为，， 所以， 所以． 12．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【思路引导】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【规范解答】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 题型五 完全平方公式分解因式 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2） ． 14．（25-26七年级下·福建莆田·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点Q到x轴，y轴的距离的较大值称为点Q的“长距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”． (1)点的“长距”为_______； (2)若点是“等距点”，求a的值； (3)若点是“等距点”，且点C在第一象限内，m为整数，若，求证：P一定是奇数． 【答案】(1)7 (2)或 (3)见解析 【思路引导】（1）先求出点到坐标轴的距离，再比较即可； （2）根据题意可得，再解方程即可； （3）根据“等距点”得到，可得，然后根据为整数即可证明． 【规范解答】（1）解： 到轴的距离为7，到轴的距离为2，且7， 点的“长距”为7； （2）解：点是“等距点”， ， ， 解得：或； （3）解：∵点在第一象限， ∴，， ∵点是“等距点”， ∴， ∴， ，， ∴ ， 为整数， ∴为偶数， ∴为奇数， 一定是奇数． 15．因式分解：． 【答案】 【思路引导】首先将原式中变形为，提取负号后将原式转化为含公因式的形式；接着提取公因式，对剩余多项式分组分解，先分组为，再分别提取公因式，最终分解为． 【规范解答】解： ． 题型六 综合运用公式法分解因式 16．因式分解：． 【答案】 【思路引导】先展开原式，再对多项式分组，运用完全平方公式和平方差公式完成因式分解． 【规范解答】解：原式 ． 17．（25-26七年级下·全国·单元测试）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）提取公因式即可分解因式； （2）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 18．因式分解：． 【答案】 【思路引导】先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式以及平方差公式分解即可． 【规范解答】解： ． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【答案】C 【思路引导】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【规范解答】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 20．因式分解：． 【答案】 【思路引导】利用分组分解法，先对式子变形，提取公因式，再结合完全平方公式和平方差公式进行分解． 【规范解答】解：原式 ． 21．因式分解：． 【答案】 【思路引导】先提公因式，再分解和，最后提公因式即可求解． 【规范解答】解： 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 22．（25-26七年级下·广东深圳·期中）计算或化简： (1) (2) (3) (4)如果，求的值 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：， ∴， ∴. 23．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【规范解答】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 24．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)4 【思路引导】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型九 十字相乘法 25．（2026·河南驻马店·二模）计算、因式分解 (1)计算：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用负整数指数幂，零次幂，二次根式的化简以及特殊角的锐角三角函数值求解； （2）利用完全平方公式以及十字相乘法进行因式分解 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 26．（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【思路引导】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【规范解答】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 27．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【思路引导】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 题型十 分组分解法 28．（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 29．（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到： ，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 30．因式分解：． 【答案】 【思路引导】先将原式看作平方差形式，利用平方差公式分解，再分组整理得到完全平方式，再次用平方差公式分解即可． 【规范解答】 解： 原式 ． 题型十一 因式分解的应用 30．（2026·湖北·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 【答案】A 【思路引导】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【规范解答】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 31．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 【答案】(1)或 (2)或 【思路引导】（1）根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集； （2）先把不等式整理为，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集． 【规范解答】（1）解： ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． （2）解： ∴， ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． 32．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 【答案】 大 9 【思路引导】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 1．（24-25八年级上·全国·期中）把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了提公因式． 将原多项式提取公因式计算即可． 【规范解答】解：， 即余下的部分是， 故选：B． 2．下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】本题主要考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式． 分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可． 【规范解答】解：A、与b有公因式b，故本选项不符合题意； B、与无公因式，故本选项符合题意； C、与有公因式，故本选项不符合题意； D、与有公因式2，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【思路引导】利用平方差公式解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】平方差公式分解因式要求多项式可化为两个平方项作差，即形如，据此判断各选项即可． 【规范解答】解：A、，两项符号相同，无法写成两个平方项作差的形式，因此不能用平方差公式分解因式，符合题意； B、符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意； D、 ，符合的形式，可以用平方差公式分解因式，不符合题意． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【规范解答】解：原式， ，，， ∴． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 【答案】 【思路引导】根据“和谐数”的定义，设出两个连续奇数，推导得到“和谐数”的表达式，结合不超过的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【规范解答】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得，， 令， 解得， ∴所有不超过的“和谐数”之和为： ． 8．（2023七年级下·浙江·竞赛）若，则________． 【答案】 【思路引导】将原式因式分解即可求解． 【规范解答】解：将原式用十字相乘法因式分解：， 则． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 见解析 【思路引导】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【规范解答】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【思路引导】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【规范解答】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）根据题意可得答案； （2）观察可知连续的两个偶数的平方差（大数减小数）等于这两个数的平均数的4倍，据此写出第n个等式，再利用平方差公式证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，第4个等式为； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知第个等式为， 证明如下： ， ∴第个等式为． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【思路引导】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 【答案】 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【规范解答】解：原式 ． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【思路引导】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【规范解答】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 15．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【答案】(1)40人 (2)16人 (3)13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵 【思路引导】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据题意列方程组求解即可； （3）设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且），根据题意可得方程，化简得，最后分情况求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，7列2层空心方阵的人数为：（人）． 答：7列2层空心方阵的人数为40人． （2）解：由题意得，， 解得，， ． 答：该代表队的人数为16人． （3）解：设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且）， 则由题意得，， 化简得，． ，为正整数，且， 当时，，解得，，即可以排成13列1层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成8列2层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成7列3层空心方阵． 答：所有的正方形方阵排列方式为：13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 提公因式法和公式法因式分解 目录 A题型建模・专项突破 题型一 公因式 1 题型二 提公因式法分解因式 1 题型三 判断能否用公式法分解因式 3 题型四 平方差公式分解因式 4 题型五 完全平方公式分解因式 5 题型六 综合运用公式法分解因式 6 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 6 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 7 题型九 十字相乘法 8 题型十 分组分解法 9 题型十一 因式分解的应用 11 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 公因式 1．单项式与的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．多项式的公因式是，则等于（    ） A． B． C． D． 题型二 提公因式法分解因式 4．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) ； (4)． 6．（25-26八年级上·河北承德·期末）下面是嘉琪同学对多项式进行因式分解的过程，请认真阅读并解答相关问题． 解：原式………………第一步 ………………第二步 ………………………………………………第三步 ………………………………………………第四步 ．…………………………………………第五步 (1)第三步到第四步运用了因式分解中的（    ） A．提取公因式                          B．两数的平方差公式   C．两数和的完全平方公式                D．两数差的完全平方公式 (2)除了嘉琪的解题方法，你还有没有其他的解题方法？请写出你的解题方法． 题型三 判断能否用公式法分解因式 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（25-26七年级上·上海·课后作业）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型四 平方差公式分解因式 10．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 11．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 12．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 题型五 完全平方公式分解因式 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 14．（25-26七年级下·福建莆田·月考）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点Q到x轴，y轴的距离的较大值称为点Q的“长距”，点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点”． (1)点的“长距”为_______； (2)若点是“等距点”，求a的值； (3)若点是“等距点”，且点C在第一象限内，m为整数，若，求证：P一定是奇数． 15．因式分解：． 题型六 综合运用公式法分解因式 16．因式分解：． 17．（25-26七年级下·全国·单元测试）因式分解： (1)； (2)． 18．因式分解：． 题型七 综合提公因式和公式法分解因式 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 20．因式分解：． 21．因式分解：． 题型八 因式分解在有理数简算中的应用 22．（25-26七年级下·广东深圳·期中）计算或化简： (1) (2) (4) (5) 如果，求的值 23．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 24．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）因式分解（或利用因式分解进行简便运算）： (1)； (2)； (3)． 题型九 十字相乘法 25．（2026·河南驻马店·二模）计算、因式分解 (1)计算：． (2)因式分解：． 26．（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 27．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 题型十 分组分解法 28．（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 29．（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到： ，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 题型十一 因式分解的应用 30．（2026·湖北·模拟预测）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 31．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 32．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 1．（24-25八年级上·全国·期中）把多项式提取公因式后，余下的部分是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组代数式中，没有公因式的是（　　） A．与b B．与 C．与 D．与 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 7．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 8．（2023七年级下·浙江·竞赛）若，则________． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 13．（25-26七年级上·上海虹口·期中）因式分解：． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 15．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $