第5章 2 课时2 二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的图象与性质 二次函数y＝ax2的图象与性质　　 下列图象中，可能是二次函数y＝5x2的图象的是(D) 　　　 (安徽阜阳期末)若抛物线y＝m开口向下，则m的值为(B) A．2 B．－2 C．±2 D．1或2 如图，函数y＝－4x2的图象是(C) 3题图 A．① B．② C．③ D．④ 抛物线y＝3x2，y＝－3x2，y＝x2的共同性质是(B) A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y的值随着x值的增大而增大 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8). (1)a的值为－2； (2)若该抛物线经过点(1，y1)，(2，y2)，试比较y1，y2的大小． 解：(2)由(1)知y＝－2x2. 因为－2<0， 所以当x>0时，y的值随着x值的增大而减小． 因为0<1<2，所以y1>y2. 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质　　 二次函数y＝x2＋1的图象大致是(C) 　　　 (山西朔州期末)关于二次函数y＝－2x2－2，下列说法正确的是(D) A．图象开口向上 B．图象的对称轴是直线x＝1 C．当x>0时，y的值随着x值的增大而增大 D．当x＝0时，y取得最大值－2 二次函数y＝3x2－2的图象开口向上，对称轴为y轴(或直线x＝0)，顶点坐标为(0，－2)． 若点A(－2，y1)，B(－5，y2)在抛物线y＝x2－1上，则y1，y2的大小关系为y1＜y2．(用“<”连接) 在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2和二次函数y＝x2＋1的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴及顶点坐标，并找出它们的相同点和不同点． 10题图 解：所画函数图象如答图所示． 10题答图 二次函数y＝x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)；二次函数y＝x2＋1的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，1). 相同点：它们都是抛物线，并且形状、开口方向、对称轴相同； 不同点：顶点坐标不同． 二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c的图象的平移　　 抛物线y＝3x2向下平移2个单位长度所得抛物线的表达式为y＝3x2－2． 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2＋1不动，把坐标系向上平移2个单位长度，那么在新坐标系中抛物线的表达式为y＝4x2－1． 已知二次函数y＝(a－1)x2，当x>0时，y的值随着x值的增大而增大，则实数a的取值范围是(B) A．a>0 B．a>1 C．a≠1 D．a<1 若点，，(1，y3)都在二次函数y＝x2－5的图象上，则有(D) A．y3<y2<y1 B．y2<y3<y1 C．y3<y1<y2 D．y2<y1<y3 (湖南长沙期末)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a的图象大致是(B) 　　　 已知二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝x2；④y＝3x2，则抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④．(请填写序号) 如图，过x轴上一点A作平行于y轴的直线分别与抛物线y＝x2及y＝x2交于B，C两点，若正方形BCDE的一边DE与y轴重合，则此正方形BCDE的面积为． 5题图 已知抛物线y＝ax2＋n(an>0)与抛物线y＝－2x2的形状相同，且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3. (1)求a，n的值； (2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴及顶点坐标． 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋n与抛物线y＝－2x2的形状相同，∴a＝±2.∵抛物线上与x轴最近的点到x轴的距离为3，∴n＝±3.∵an>0，∴a＝2，n＝3或a＝－2，n＝－3. (2)当a＝2，n＝3时，抛物线为y＝2x2＋3，开口向上，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是(0，3)；当a＝－2，n＝－3时，抛物线为y＝－2x2－3，开口向下，对称轴是直线x＝0，顶点坐标是(0，－3). 如图，抛物线y＝－x2＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式． 7题图 解：(1)A(－2，0)，B(2，0)， C(0，4). (2)∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，C(0，4)， ∴CD＝AB＝4，CD∥AB， ∴D(－4，4). 设平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋4＋m， 则4＝－(－4)2＋4＋m，解得m＝16， ∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋20. [核心素养]如图，抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8题图 解：(1)该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为(0，2). (2)不存在．理由如下： 对于y＝－x2＋2，令y＝0， 则－x2＋2＝0， 解得x1＝2，x2＝－2， 所以点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(－2，0)， 则OA＝OB＝OC＝2， 故三角形OAC是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使△MAC≌△OAC， 因为AC为公共边，OA＝OC， 所以点M和点O关于直线AC对称， 所以四边形OAMC是正方形， 所以点M的坐标为(2，2). 当x＝2时，y＝－x2＋2＝－×22＋2＝0≠2， 即点M不在抛物线y＝－x2＋2上， 所以在抛物线上不存在一点M，使△MAC≌△OAC. 学科网（北京）股份有限公司 $