第2章 4 课时2 一元二次方程的应用(二)-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 课时2一元二次方程的应用（二） [答案P14] 《基础巩固练 知织点（①销售问题 (1)已知该农产品的成本是每件200元，在保持 (江苏苏州期中)为提高经济效益，某公司决定 月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售 对一种电子产品进行降价促销.根据市场调查： 价应定为多少元？ 这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售 (2)小红发现在附近线下超市也有该农产品销 出300个；若销售单价每降低2元，则每天可多 售，并且标价为每件300元，买五送一，在 售出4个，已知每个电子产品的固定成本为100 (1)的条件下，小红想要用最优惠的价格购 元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这 买38件该农产品，应选择线上购买还是线 下超市购买？ 种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这 种电子产品降价后的销售单价为x元，则所列方 程为 A.(x-100)[300+4(200-x)]=30000 B.(x-200)[300+2(100-x)]=30000 C.(x-100)[300+2(200-x)]=30000 D.(x-200)[300+4(100-x)]=30000 2新情境南丰蜜桔加入农业品牌精品培育计划 知跟点②变化率问题 后，品牌效益显著提升.根据市场数据分析，南 6为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出 丰蜜桔每箱售价a元时，每天可卖出(100-2a) 部分资金用于购买书籍.已知该校2023年用 箱，已知每箱成本为15元，若想要每天获利600 于购买图书的费用为5000元，2025年用于购买 元，则可列方程为 图书的费用是7200元.求2023年至2025年该 A.(a+15)(100-2a)=600 校购书资金的年平均增长率. B.(a-15)(100-2a)=600 C.a-15=600(100-2a) D.100-2a=600(a+15) 3(河北邢台期中)某商店购入一批衬衫进行销 售，当每件盈利30元时，每星期可以卖出100 件，现需降价处理：每件衬衫每降价5元，每星期 7(湖南岳阳期中)某市开展全民阅读活动，利用 可以多卖出20件，店里每星期衬衫的利润要达 节假日面向社会开放图书馆.据统计，第一个月 到2800元.若可列方程为(30-x)(100+4x)= 进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进 2800,则x表示的实际意义是 馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同. A.每件衬衫的售价 (1)求进馆人次的月平均增长率； B.每件衬衫售价降低的金额 (2)因条件限制，该市图书馆每月接纳人数不能 C.每星期卖出衬衫的数量 超过500人次，在进馆人次的月平均增长率 D.每星期卖出衬衫增加的数量 不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个 4某商品每件进价为3元，当每件售价为x元时可 月的进馆人次？并说明理由. 销售该商品(x+3)件，此时获利160元，则该商 品每件售价为元. 5某电商平台对某贫困地区一种特色农产品进行 网上销售，按原价每件300元出售，一个月可售 出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低 10元，月销售量增加20件. 38 第二章 一元二次方程 《能力提升练 [答案P15] 1(云南中考)某书店今年3月份盈利6000元，5 了m%(m>10),但每件的售价比9月份在 月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增 (1)的条件下的最高售价减少 5m%.已知 长率为x.根据题意，下列方程正确的是( A.6000(1+x)2=6200 10月份的利润为3388元，求m的值. B.6000(1-x)2=6200 C.6000(1+2x)=6200 D.6000x2=6200 2某电影第一天票房约3亿元，以后每天票房按相 同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿 元，若把增长率记作x,则可以列方程为（) A.3(1+x)=18 7刀（安徽合肥期中）某运动品牌销售一款运动鞋， B.3(1+x)2=18 已知每双运动鞋的成本价为60元，当每双运动 C.3+3(1+x)2=18 鞋的售价为100元时，平均每天能售出200双； D.3+3(1+x)+3(1+x)2=18 经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动 3某景区2023年接待游客25万人，经过两年加大 鞋数量y(双)与降低价格x(元)之间存在如图 旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到36 所示的函数关系 万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增 (1)y与x的函数关系式为 长率为 ( (2)公司希望平均每天获得的利润达到8910 A.10%B.20%C.22% D.44% 元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价 ④平遥牛肉是我国美食文化的精华之一.已知某 应该定为多少？ 专卖店平遥牛肉的进价为每份10元，现在的售 (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价 价是每份16元，每天可卖出120份.据市场调 的50%，公司每天能否获得9000元的利润？ 查，每份的售价每涨价1元，每天要少卖出10 若能，求出定价；若不能，请说明理由， 份.如果专卖店每天要想获得770元的利润，且 ↑y/双 要尽可能的让利给顾客，那么售价应上涨 300- 元 200 5某区域有若干个飞机场，每两个飞机场之间都 010 玩 开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个区 7题图 域共有 个飞机场. 6某文具店去年8月底购进了一批文具1160件， 预计在9月份进行试销，进价为每件10元.若售 价为每件12元，则可全部售出.若每涨价0.1 元，则销售量就减少2件. (1)若该文具店9月份的销售量不低于1100件， 则每件的售价应不高于多少元？ (2)由于销量好，10月份该文具进价比8月底的 进价每件增加20%，该店主增加了进货量， 并加强了宣传力度，结果10月份的销售量 比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加 639同步练测·九年级数学·上册·北师版 (1)(名+2)（名+2）=+2（出1+）+4=- 2 -+2× （-2》+4=是 (2)点+女号+近_（+2-24 + x121x2 x1x2 (-2)2-2×-2 31 14 31 9.(1)证明：b2-4ac=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥ 0,∴.无论m取何值，方程总有两个实数根， (2)解：根据题意，得x1+x2=m+2,x1x2=2m (x1+2)(x2+2)=18, .名1x2+2(x1+2)+4=18, 即2m+2(m+2)+4=18, 整理，得4m=10, 5 解得m=2 (3)解：①当x1=3时，3-3<x2<3+3, 即0<x2<6. 名，x2是方程的两个实数根， ∴.3+x2=m+2,3x2=2m, .3(m-1)=2m, 解得m=3,此时x2=2,符合题意； 同理得，当x2=3时，m=3,此时x1=2,符合题意； ②当x1=:2时，即b2-4ac=0, 由(1)可知此时m=2, 此时方程的解为x1=x2=2,符合题意。 综上所述，m的值为3或2. 4一元二次方程的应用 课时1一元二次方程的应用（一） 【基础巩固练】 1.C2.A3.8m4.120 5.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为(20- 4x)m,宽为(14-4x)m的矩形 根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 1 解得x1=2名=8（不合题意，合去）. 1 答：小路的宽度为乞m 6.解：设经过xh能拦截住该可疑船只，则AB=24 x n mile,OB =30x n mile. 在Rt△A0B中，由勾股定理，得OA2+AB2=OB2, 即182+(24x)2=(30x)2, 解得1=1，x2=-1(不合题意，舍去). 答：经过1h能拦截住该可疑船只. 7.解：设出发xs时，△MCW的面积为2cm2,且x<3. 根据题意，得8-2x)3-=2, 2 解得x1=2,x2=5(舍去). 答：出发2s时，△MCN的面积为2cm2. 【能力提升练】 1.A2.D3.A 4.C[解析]设道路宽为xm,由题意，得(20-x)(32-x)= ·14· 540,整理，得x2-52x+100=0,解得x1=50(不合题意，舍 去)，x2=2,则道路宽为2m.故选C. 5.(1,4)或(2,2) 6.解：(1)设轮船出发th后，两艘轮船之间的直线距离为 50 n mile,则轮船甲与码头A的距离为40 t n mile,.轮船乙与 码头A的距离为(80-50t)n mile. 根据题意，得(80-50)2+(40)2=502， 解得=1=碧 艘轮船出发1h或是h后，两艘轮船之间的直线 为50 n mile. (2)设轮船甲出发xh后向轮船乙发出需要补充物资的指 令，则CD=50 x n mile,AC=AD-CD=(80-50x)n mile,AB =40x n mile,BC=50(9 -7-x)n mile. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+AC2=BC2, 即(40x)2+(80-50x)2=[50(9-7-x)]2, 整理，得4x2+5x-9=0, 解得=1，名=-？（不合题意，舍去）， .7+1=8, ∴.轮船甲上午8时向轮船乙发出需要补充物资的指令 7.解：(1)根据题意，得AQ=tcm,BP=2tcm,0≤t≤3. ,·四边形ABCD为矩形，AB=6cm,AD=4cm, ∴.DQ=(4-t)cm,AP=(6-2t)cm,∠A=90°， ∴Sa0=7D0:AP=2(4-0(6-20）=6 整理，得2-7t+6=0,解得1=1,2=6. 0≤t≤3，∴.t=1, .当t=1时，△PDQ的面积为6cm2 (2)不存在实数t,使得△PDQ为等腰三角形.理由如下： 由(1)知DQ=(4-t)cm,AP=(6-2t)cm,AQ=tcm, .PQ2=AQ2+4P2=t2+(6-2t)2 △PDQ为钝角三角形，且为等腰三角形，∴.DQ=PQ, 、.DQ2=PQ2,即(4-t)2=2+(6-2t)2, 2-4t+5=0. 4=(-4)2-4×1×5=-4<0, .原方程没有实数根， ∴.不存在实数t,使得△PDQ为等腰三角形. 课时2一元二次方程的应用（二） 【基础巩固练】 1.C2.B3.B4.13 5.解：(1)当售价为300元时，月利润为(300-200)×100= 10000(元). 设售价应定为x元，则每件的利润为(x-200)元，月销售量 为100+20(300-】=(700-2x)件. 10 依题意，得(x-200)(700-2x)=10000, 解得x1=250,x2=300(不合题意，舍去) 答：售价应定为250元. (2)线上购买所需费用为250×38=9500（元）. 因为线下购买，买五送一， 所以线下超市购买只需付32件的费用， 所以线下购买所需费用为300×32=9600（元）. .·9500<9600, ..选择在线上购买更优惠. 6.解：设2023年至2025年该校购书资金的年平均增长率为 x,由题意，得5000(1+x)2=7200, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 答：2023年至2025年该校购书资金的年平均增长率 为20%. 7.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x, 根据题意，得128(1+x)2=288, 解得x1=0.5=50%,2=-2.5(不合题意，舍去). 答：进馆人次的月平均增长率为50%. (2)能.理由：第四个月的进馆人次为288×(1+50%) =432 由于432<500，所以该市图书馆能接纳第四个月的进馆 人次 【能力提升练】 1.A2.D3.B4.15.5 6.解：(1)设每件的售价应为x元， 根据题意，得160-2-2≥110， 解得x≤15. 答：每件的售价应不高于15元. (2)10月份每件的进价为10×(1+20%)=12（元）. 根据题意，得10(1+m%)[15(1-名m%）-12-388, 设m%=t,则502-25t+2=0, 2 1 解得41=方，h=10,所以m1=40,m=10, 因为m>10,所以m=40. 答：m的值为40. 7.解：(1)y=10x+200 (2)根据题意，得(100-60-x)(10x+200)=8910, 整理，得x2-20x+91=0, 解得x1=7,x2=13. 要求优惠力度最大，∴x=13, .100-x=100-13=87. 答：每双运动鞋的售价应该定为87元 (3)定价为90元时，公司每天能获得9000元的利润. 根据题意，得(100-60-x)(10x+200)=9000, 整理，得x2-20x+100=0, 解得x1=x2=10. 每双运动鞋的利润不低于成本价的50%， .100-60-x≥60×50%，∴.x≤10， .x=10符合题意，此时100-x=90, ∴.定价为90元时，公司每天能获得9000元的利润。 专题5根的判别式和根与系数的关系的应用 1.C 2.解：(1)因为4=(-m)2-4×(2m-4)=m2-8m+16= (m-4)2. 因为(m-4)2≥0，所以方程总有两个实数根。 (2)方程x2-mx+2m-4=0可变形为 (x-2)(x-m+2)=0,解得x1=2,x2=m-2. 若方程有一个根为负数，则m-2<0, 所以m<2. 又因为m为正整数，所以m=1. 3.C4.k≤-1 5.解：根据题意，得4=4(a-b)2+4(a2+b2-c2)2=0, .(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0, .a-b=0且a2+b2-c2=0, 即a=b且a2+b2=c2, 参考答案及解析 .△ABC为等腰直角三角形. 6.A[解析]：方程x2-（2m-1)x+m2=0的两实数根为 名西4=[-(2m-10]2-4m2≥0，m≤}，+= 2m-1,x12=m2.(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1= 3,∴m2+2m-1+1=3,解得m=1(舍去)或m=-3.故 选A. 7.(1)证明：，a=1,b=-(m-1),c=-2(m+3), .4=62-4ac=[-(m-1)]2-4×1×[-2(m+3)]= m2+6m+25=(m+3)2+16. (m+3)2≥0，.(m+3)2+16>0,即4>0， ∴.无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：：x1,x2为方程x2-(m-1)x-2(m+3)=0的两 个实数根， .x1+2=m-1,1为2=-2(m+3), x号+x号=(x1+为)2-2x1x2=(m-1)2-2[-2(m+3)] =16, ∴.m2+2m-3=0,解得m1=-3,m2=1, .m的值为-3或1. 8.10 9.解：(1)设这个方程的两个根分别为a和2α， 则a+2a=-=6,解得a=2, 即这个方程的一个根为2. 将x=2代入方程x2-6x+k=0,得4-12+k=0, 解得k=8. (2)设这个方程的两个根分别为B和2B, B+28=3n+3m,① 由题意，得 n B·28=8m,② n 整理，得(m-n)2=0,m=n. 将m=n代入①，得B+28=3n+3m=6,解得B=2, ..2B=2×2=4,.该方程的根为x1=2,x2=4. 10.(1)证明：kx2-(4k+1)x+3k+3=0, .4=[-(4k+1)]2-4×k(3k+3)=162+8k+1- 122-12k=42-4k+1=(2k-1)2 k是整数，.2k-1≠0，.(2k-1)2>0, ·方程有两个不相等的实数根。 (2)解：关于x的一元二次方程x2-(4k+1)x+3k+3=0 的两个实数根分别为x1,2,k≠0， 名3张3 “名+名=46+1 k :西是斜边长为泸的直角三角形的两直角边长。 45 (-2() 整理，得5-8k-4=0,解得名=-子，=2 k是整数，.k的值为2. 11.解：四边形ABCD是菱形， .∴.AB=4,AC⊥BD,AC=2A0,BD=2B0 ∴.∠A0B=90°，.A02+B02=AB2=42=16. :对角线AC,BD的长分别是一元二次方程x2 ·15.