第1章 3 课时1 矩形的性质&微专题2 遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 3矩形的性质与判定 课时1矩形的性质 《基础巩固练， [答案P2] 知跟点①矩形的边、角的性质 6如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分 1①在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,则对角线AC的 ∠BAD,交BC于点E,∠CAE=15°，求∠BOE的 长为 度数 A.25B.45 C.25D.45 2将两个直尺按如图所示方式放置，其中一个直 尺的两个顶点与另一直尺的两个顶点重合，点E 落在BC边上，若∠1=30°，则∠2的度数为 E 6题图 A.30° B.40° C.50° D.60° 如限点③直角三角形斜边上的中线的性质_/ 7如图，公路AC,BC互相垂直，M为公路AB的中 点，为测量湖泊两侧C,M两点间的距离，工人师 B E 傅测得AC=3km,BC=4km,则M,C两点间的 2题图 3题图 距离为 3如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,CD 上，BF∥DE.若AD=12cm,AB=7cm,且 A.km B.3 km C.4 km D.5 km AE:EB=5:2,则图中阴影部分EBFD的面积 为 4(无锡中考)如图，在矩形ABCD中，点E在CB 延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF,连 接AE,DF求证： 7题图 8题图 (1)△ABE≌△DCF; 8如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，D为AB的 (2)∠EAD=∠FDA. 中点. (1)若AB=16,则CD= (2)若∠ACD=20°，则∠B= 9(四川成都期中)如图，在四边形ABCD中， ∠BAD=90°，∠DCB=90°，E,F分别是BD,AC 4题图 的中点 (1)请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； (2)当AC=8,BD=10时，求EF的长. 9题图 知跟点③矩形的对角线的性质 5矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( A.对边相等 B.对角相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分 6 第一章特殊平行四边形 《能力提升练> [答案P3] ①（陕西西安期中）如图，小宇用刻度尺测量了一 5[核心素养]准备一张矩形纸片，将它进行如下 个直角三角形斜边的长度.已知∠ACB=90°，D 操作： 为边AB的中点，且点A,B对应的刻度分别为2， ①如图①，把矩形纸片ABCD对折，得折痕MN, 8,则CD的长为 ( 再把纸片展平； ②将纸片过点E沿BE所在直线折叠，使点A落 在MN上，对应点为F. D/ 012345678910 【实践探究】 c (1)求证：∠1=∠2=∠3； 1题图 A.4cm B.3 cm C.3.5 cm D.4.5 cm 【拓展应用】 2如果矩形两条对角线所成的钝角是120°，那么 (2)若AB=4,AD=6,求FN的长； 对角线与矩形短边长度的比是 ( (3)如图②，延长EF交BC于点G,过点E作EH A.3:2B.2:1 C.2:3 D.1:1 ⊥BC于点H,交BF于点Q,则BQ和FQ的 3(西宁中考)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD 数量关系为」 相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,连接OE.若BD =6,OE=√5，则菱形ABCD的面积是 B HG 5题图① 5题图② 3题图 4题图 ④如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,过点O 作OG⊥AC,交AB于点G,连接CG,若∠BOG= 16°，则∠BCG的度数是 微专题2 遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 方法指导： 2如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC= (1)已知直角三角形斜边的中点时，可以构造斜 BE,DG⊥CE于点G 边上的中线， (1)求证：G是CE的中点； (2)若两个直角三角形共斜边，则可连接斜边上 (2)若∠B=70°，则∠BCE的度数为 的中线，构造等腰三角形解题. 1如图，在△ABC中，BC=18,BD⊥AC于点D, CE⊥AB于点E,连接DE,F,G分别为BC,DE 的中点，若DE=10,则FG的长为 D 2题图 1题图 7同步练测·九年级数学·上册·北师版 2.(1)证明：根据题意，得CD=C'D, ∠C'DE=∠CDE,CE=CE. .·AD∥BC,∴.∠CDE=∠CED, ∴.∠CDE=∠CED,.CD=CE ∴CD=C'D=C'E=CE, ∴.四边形CDCE是菱形 (2)解：当BC=CD+AD时，四边形ABED是平行四边形 证明如下： 由(1)知CE=CD .BC=CD +AD,.'.BE =AD. 又.·AD∥BC,.四边形ABED是平行四边形 3.对角线互相平分对角线互相垂直 4.证明：AB=5,0A=4,0B=3, .AB2=25=16+9=0A2+0B2, .∠A0B=90°， ∴.AC⊥BD, .口ABCD是菱形 5.46.①②③ AB =AD. 7.(1)证明：在△ABC和△ADC中，BC=DC, AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS),∴.∠BAC=∠DAC rAB =AD, 在△ABF和△ADF中， ∠BAF=∠DAF, LAF=AF, .△ABF≌△ADF(SAS),∴.∠AFB=∠AFD. ∠AFB=∠CFE,∴.∠AFD=∠CFE. (2)证明：：AB∥CD,∴.∠BAC=∠ACD. 又.∠BAC=∠DAC,∴.∠CAD=∠ACD,∴.AD=CD AB=AD,CB=CD,..AB=CB=CD=AD, ∴.四边形ABCD是菱形 (3)解：当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由如下： 四边形ABCD为菱形，∴.∠BCF=∠DCF BC=DC. 在△BCF和△DCF中， ∠BCF=∠DCF CF =CF, ∴.△BCF≌△DCF(SAS),∴.∠CBF=∠CDF BE⊥CD,∴.∠BEC=∠DEF=90°， .∠EFD=90°-∠EDF=90°-∠CBF=∠BCD. 【能力提升练】 1.C 2.AC1BD(答案不唯一)3.124.①② 5.解：(1)2a[解析]PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE为 平行四边形，∴AD=PE,DP=AE.AB=AC,∠B=∠C. ,PD∥AC,∴，∠DPB=∠C,∴.∠B=∠DPB,∴BD=DP ∴，四边形ADPE的周长为2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB =2a. (2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形.理 由如下： 如答图①，连接AP. ,PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE为平行四边形 ,AB=AC,P为BC的中点，∴，∠PAD=∠PAE. .PE∥AB,∴.∠PAD=∠APE, ,∠PAE=∠APE,.EA=EP, 四边形ADPE是菱形 ·2· 5题答图① 5题答图② (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是 菱形. 如答图②，连接AP. PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE是平行四边形. AP平分∠BAC,∠1=∠2. AB∥EP,.∠1=∠3，∴∠2=∠3， .AE=EP,.平行四边形ADPE是菱形 微专题1对角线互相垂直的四边形的面积 1AC.OB 1.解：Sa形aD=SAe+SaBc=子AC·0D+ =24C(0D+0B)=24C.BD=7×20×15=150. 2.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠OAF=∠OCE. .EF垂直平分AC,∴.EF⊥AC,OA=OC r∠OAF=∠OCE, 在△AOF和△COE中，OA=OC, ∠AOF=∠COE. .△AOF≌△COE(ASA),.OE=OF. OA=OC,.四边形AECF是平行四边形 又，EF⊥AC,.平行四边形AECF是菱形. (2)解：725 3矩形的性质与判定 课时1矩形的性质 【甚础巩固练】 1.D2.D3.24cm2 4.证明：(1)：四边形ABCD为矩形， .∠ABE=∠DCF=90°，AB=CD. AB=CD. 在△ABE和△DCF中， ∠ABE=∠DCF, BE=CF. .△ABE≌△DCF(SAS). (2):△ABE≌△DCF,.∠EAB=∠FDC. 四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠CDA=90°， ∴.∠BAD+∠EMB=∠CDA+∠FDC, .∠EAD=∠FDA. 5.C 6.解：.四边形ABCD是矩形， ∴.∠DAB=∠ABC=90°，OA=OB. 又：AE平分LBAD.BAE=号∠BMD=45, .∠AEB=45°，∠BAE=∠BEA,∴.AB=BE. .:∠CAE=15°， ∴.∠CAB=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°， .△ABO是等边三角形， ∴.AB=OB,∠AB0=60°，∴.OB=BE,∠OBE=30°， LB0B=7×(180°-∠0BE)=7×(180°-30)=750 7.A8.(1)8(2)70 9.解：(1)EF⊥AC.证明如下： 如答图，连接AE,CE. ∠BAD=90°，∠DCB=90°，E为BD的中点， AE=2BD,CE=BDAF=CE. 又F是AC的中点，EF⊥AC. B 9题答图 (2)由(1)知AE=CE= BD,EFLAC BD=10,.AE=CE=5. F是AC的中点，4C=8,CF=子4C=4, .EF=√CE2-CF=√52-42=3. 【能力提升练】 1.B2.B 3.65[解析]四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交 于点O,,AC⊥BD,OA=OC.AE⊥BC,垂足为E,OE= 5,∠ABC=90°，0E=0A=0C=24C,AC=-20E= 25.:BD=6,Sm=号4C,BD=号x25x6= 65. 4.16°[解析]：四边形ABCD是矩形，AC=BD,AB∥DC, D0=OA=0B=OC,.∠0CB=∠OBC.OG⊥AC,∴.OG 是AC的垂直平分线，.AG=CG,.∠OAG=LOCG. AB∥DC,∴.∠OAG=∠0CD.:∠B0G=16°，∠C0G= 90°，∴.∠C0B=74°.∠0CB=∠OBC,.∠OCB=∠0BC =180°-74°=53°.：∠BCD-90°，L0CD=∠BCD- ∠0CB=90°-53°=37°，∴.∠0CG=∠0AG=∠0CD= 37°，∴.∠BCG=∠0CB-∠0CG=53°-37°=16. 5.(1)证明：如答图，连接AF,由题意可知MW垂直平分AB, ∴.AF=BF 由折叠性质可得AB=BF,∠1=∠2， ∴.AF=BF=AB,,△ABF为等边三角形， .∠ABF=60°. 即∠1+∠2=60°， ∴.∠1=∠2=30°. N 又，∠ABC=90°， 3 .∠3=30°，.∠1=∠2=∠3. B 5题答图 (2)解：由折叠的性质可知AM=BM,AB=BF=4, .BM=2,由题意得，MN垂直平分AB. 在Rt△BMF中，由勾股定理，得 MF=√BF2-BM=√42-22=25. 由对折的性质易得MN=AD=6, .FN=MW-MF=6-23. (3)解：BQ=2FQ[解析]由折叠可得∠BFE=∠BAE= 参考答案及解析 90°，.∠BFE=∠BFG=90°.在△EBF和△GBF中， r∠EBF=∠GBF, BFBF, .△EBF≌△GBF(ASA),.BE=BG. L∠BFE=∠BFG, ∠EBG=60°，∴△EBG是等边三角形.EH⊥BG,EH 平分∠BEG,即∠BEH=∠GEH=30°."'∠EBF=30°，∴.EQ =BQ,在Rt△EQF中，EQ=2FQ,.BQ=2FQ. 微专题2遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 1.214 2.(1)证明：如答图，连接DE. AD⊥BC,.∠ADB=90 CE是△ABC的中线， E是AB的中点，DB=之4B=BE DC=BE,.'.DE DC. 又.DG⊥CE,.G是CE的中点， B D (2)解：35° 2题答图 课时2矩形的判定 【基础巩固练】 1.C 2.证明：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠B+∠C=180° .·M是BC边的中点，.BM=CM. ,'∠MAD=∠MDA, ∴.AM=DM,∴.△ABM≌△DCM,∴.∠B=∠C ,·∠B+∠C=180°，.∠B=∠C=90°， ∴.四边形ABCD是矩形 3.12 4.(1)证明：.0是AC的中点，∴，OA=OC OB=OD,.四边形ABCD是平行四边形. :∠ABC=90°，.平行四边形ABCD是矩形. (2)解：.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为U1,△BOC的 周长为2，四边形ABCD的周长为3， ∴.2-l1=BC-AB=b-a=2,43=2(AB+BC)=2(a+b) =28 b-a=2, .「a=6, 六{6+a=14,“1b=8, .AB=6,BC=8 .AC=V√AB2+BC2=10. 5.C 6.证明：四边形AEB0是菱形，∴.OA=OB. .·AB=CD,AB∥CD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， .OA-OC-AC.OD-OB-BD..AC-BD .平行四边形ABCD是矩形. 7.AB-2 BC 8.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∴.∠DAB+∠ABC=180° AH,BH分别平分∠DAB与∠ABC, ∠HB=分∠DAB,∠HBA=号∠ABC, ∠HAB+∠BA=之（∠DAB+LABC)=号×180©= ·3…